奥数——行程、多次相遇和追及问题

1 知识框架 一 由简单行程问题拓展出的多次相遇问题 所有行程问题都是围绕 这一条基本关系式展开的 多人相遇与追及问题虽然 度度度度度度 较复杂 但只要抓住这个公式 逐步表征题目中所涉及的数量 问题即可迎刃而解 二 多次相遇与全程的关系 1 两地相向出发 第 1 次相遇 共走 1 个全程 第 2 次相遇 共走 3 个全程 第 3 次相遇 共走 5 个全程 第 N 次相遇 共走 2N 1 个全程 注意 除了第 1 次 剩下的次与次之间都是 2 个全程 即甲第 1 次如果走了 N 米 以后每次都走 2N 米 2 同地同向出发 第 1 次相遇 共走 2 个全程 第 2 次相遇 共走 4 个全程 第 3 次相遇 共走 6 个全程 第 N 次相遇 共走 2N 个全程 3 多人多次相遇追及的解题关键 多次相遇追及的解题关键 几个全程 多人相遇追及的解题关键 路程差 三 解多次相遇问题的工具 柳卡 多次相遇与追及问题 2 柳卡图 不用基本公式解决 快速的解法是直接画时间 距离图 再画上密密麻麻的交叉线 按要 求数交点个数即可完成 折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中 相遇的次数 相遇的地点 以 及 由相遇的地点求出全程 使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间 是多少 如果不画图 单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易 例题精讲 例例 1 1 甲 乙两名同学在周长为米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步 甲每秒钟跑米 3003 5 乙每秒钟跑米 问 他们第十次相遇时 甲还需跑多少米才能回到出发点 4 甲乙两人在相距 90 米的直路上来回跑步 甲的速度是每秒 3 米 乙的速度是每秒 2 米 如果他 们同时分别从直路两端出发 10 分钟内共相遇几次 例例 2 2 甲 乙两车同时从 A 地出发 不停的往返行驶于 A B 两地之间 已知甲车的速度比乙车快 并 且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中 C 地 问 甲车的速度是乙车的多少倍 甲 乙二人从相距 60 千米的两地同时相向而行 6 时后相遇 如果二人的速度各增加 1 千米 时 那么相遇地点距前一次相遇地点 1 千米 问 甲 乙二人的速度各是多少 3 例例 3 3 如图 甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线 运动 当乙走了 100 米以后 他们第一次相遇 在甲走完一周前 60 米处又第二次相遇 求此圆 形场地的周长 A B 是圆的直径的两端 甲在 A 点 乙在 B 点同时出发反向而行 两人在 C 点第一次相遇 在 D 点第二次相遇 已知 C 离 A 有 75 米 D 离 B 有 55 米 求这个圆的周长是多少米 例例 4 4 甲 乙两车分别同时从 A B 两地相对开出 第一次在离 A 地 95 千米处相遇 相遇后继续前进 到达目的地后又立刻返回 第二次在离 B 地 25 千米处相遇 求 A B 两地间的距离是多少千米 甲 乙二人以均匀的速度分别从 A B 两地同时出发 相向而行 他们第一次相遇地点离 A 地 4 千米 相遇后二人继续前进 走到对方出发点后立即返回 在距 B 地 3 千米处第二次相遇 求 两次相遇地点之间的距离 4 例例 5 5 甲 乙二人以均匀的速度分别从 A B 两地同时出发 相向而行 他们第一次相遇地点离 A 地 18 千米 相遇后二人继续前进 走到对方出发点后立即返回 在距 B 地 13 千米处第二次相遇 求 AB 两地之间的距离 甲 乙两车同时从 A B 两地相向而行 在距 B 地 54 千米处相遇 他们各自到达对方车站后立 即返回原地 途中又在距 A 地 42 千米处相遇 求两次相遇地点的距离 例例 6 6 甲 乙二人以均匀的速度分别从 A B 两地同时出发 相向而行 他们第一次相遇地点离 A 地 3 千米 相遇后二人继续前进 走到对方出发点后立即返回 在距 B 地 2 千米处第二次相遇 求 第 2000 次相遇地点与第 2001 次相遇地点之间的距离 甲 乙二人以均匀的速度分别从 A B 两地同时出发 相向而行 他们第一次相遇地点离 A 地 7 千米 相遇后二人继续前进 走到对方出发点后立即返回 在距 B 地 3 千米处第二次相遇 求 第三次相遇时共走了多少千米 5 例例 7 7 A B两地相距 2400 米 甲从A地 乙从B地同时出发 在A B间往返长跑 甲每分钟跑 300 米 乙每分钟跑 240 米 在 30 分钟后停止运动 甲 乙两人在第几次相遇时A地最近 最近距 离是多少米 A B两地相距 950 米 甲 乙两人同时由A 地出发往返锻炼半小时 甲步行 每分钟走 40 米 乙跑步 每分钟行 150 米 则甲 乙二人第 次迎面相遇时距B地最近 例例 8 8 甲 乙两车分别从 A B 两地出发 并在 A B 两地间不断往返行驶 已知甲车的速度是 15 千米 时 乙车的速度是 25 千米 时 甲 乙两车第三次相遇地点与第四次相遇地点相差 100 千米 求 A B 两地的距离 欢欢和乐乐在操场上的 A B 两点之间练习往返跑 欢欢的速度是每秒 8 米 乐乐的速度是每秒 5 米 两人同时从 A 点出发 到达 B 点后返回 已知他们第二次迎面相遇的地点距离的中点AB 5 米 之间的距离是 AB 6 例例 9 9 甲 乙二人进行游泳追逐赛 规定两人分别从游泳池 50 米泳道的两端同时开始游 直到一方追 上另一方为止 追上者为胜 已知甲 乙的速度分别为 1 0 米 秒和 0 8 米 秒 问 1 比 赛开始后多长时间甲追上乙 2 甲追上乙时两人共迎面相遇了几次 小明和小红两人在长 100 米的直线跑道上来回跑步 做体能训练 小明的速度为 6 米 秒 小红 的速度为 4 米 秒 他们同时从跑道两端出发 连续跑了 12 分钟 在这段时间内 他们迎面相 遇了多少次 例例 10 10 每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约 且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛 轮船在 途中均要航行七天七夜 试问 某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前 途中 能遇上几艘从纽 约开来的轮船 一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站 每隔 5 分钟有一辆电车从甲站发出开往乙 站 全程要走 15 分钟 有一个人从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站 他出发的时候 恰好有 一辆电车到达乙站 在路上他又遇到了 10 辆迎面开来的电车 到达甲站时 恰好又有一辆电车 从甲站开出 问他从乙站到甲站用了多少分钟 7 课堂检测 随练随练 1 1 如右图 A B 是圆的直径的两端 甲在 A 点 乙在 B 点同时出发反向而行 两人在 C 点第一 次相遇 在 D 点第二次相遇 已知 C 离 A 有 80 米 D 离 B 有 60 米 求这个圆的周长 乙 乙 C D BA 随练随练 2 2 甲 乙二人以均匀的速度分别从 A B 两地同时出发 相向而行 他们第一次相遇地点离 A 地 7 千米 相遇后二人继续前进 走到对方出发点后立即返回 在距 B 地 5 千米处第二次相遇 求两次相遇地点之间的距离 随练随练 3 3 两地间有条公路 甲从地出发 步行到地 乙骑摩托车从地出发 不停地往返ABABB 于 两地之间 他们同时出发 80 分钟后两人第一次相遇 100 分钟后乙第一次追上甲 AB 问 当甲到达地时 乙追上甲几次 B 随练随练 4 4 甲 乙两人在一条长为 30 米的直路上来回跑步 甲的速度是每秒 1 米 乙的速度是每秒 8 米 如果他们同时分别从直路的两端出发 当他们跑了 10 分钟后 共相遇几次 0 6 家庭作业 作业检测 作业作业 1 1 甲 乙两人从 400 米的环形跑道上一点 A 背向同时出发 8 分钟后两人第五次相遇 已知每秒 钟甲比乙多走 0 1 米 那么两人第五次相遇的地点与点 A 沿跑道上的最短路程是多少米 作业作业 2 2 上午 8 点 8 分 小明骑自行车从家里出发 8 分钟后 爸爸骑摩托车去追他 在离家 4 千米的 地方追上了他 然后爸爸立即回家 到家后又立刻回头去追小明 再追上小明的时候 离家恰 好是 8 千米 这时是几点几分 作业作业 3 3 甲 乙二人以均匀的速度分别从 A B 两地同时出发 相向而行 他们第一次相遇地点离 A 地 6 千米 相遇后二人继续前进 走到对方出发点后立即返回 在距 B 地 4 千米处第二次相遇 求两人第 5 次相遇地点距 B 多远 9 作业作业 4 4 湖中有 A B 两岛 甲 乙二人都要在两岛间游一个来回 两人分别从 A B 两岛同时出发 他 们第一次相遇时距 A 岛 700 米 第二次相遇时距 B 岛 400 米 问 两岛相距多远 作业作业 5 5 在一圆形跑道上 甲从 A 点 乙从 B 点同时出发反向而行 6 分后两人相遇 再过 4 分甲到达 B 点 又过 8 分两人再次相遇 甲 乙环行一周各