2011年高考数学 第三章 第三节等比数列

1 同步检测训练同步检测训练 一 选择题 1 2008 全国 已知等比数列 an 满足 a1 a2 3 a2 a3 6 则 a7 A 64 B 81 C 128 D 243 答案 A 解析 an 是等比数列 q 2 又 a2 a3 a1 a2 6 3 a1 a1q 3 a1 1 a7 a1q6 26 64 故选 A 2 各项均为正数的等比数列 an 的前 n 项和为 Sn 若 Sn 2 S3n 14 则 S4n等于 A 80 B 30 C 26 D 16 答案 B 解析 Sn S2n Sn S3n S2n S4n S3n成等比数列 则 S2n Sn 2 Sn S3n S2n S2n 2 2 2 14 S2n 又 S2n 0 得 S2n 6 又 S3n S2n 2 S2n Sn S4n S3n 14 6 2 6 2 S4n 14 解得 S4n 30 故选 B 3 设等差数列 an 的公差 d 不为 0 a1 9d 若 ak是 a1与 a2k的等比中项 则 k 等于 A 2 B 4 C 6 D 8 答案 B 解析 an n 8 d 又 a a1 a2k 2 k k 8 d 2 9d 2k 8 d 解得 k 2 舍去 k 4 故选 B 4 2009 北京宣武 4 月 已知 an 是等比数列 a2 2 a5 则 1 4 a1a2 a2a3 anan 1 n N 的取值范围是 A 12 16 B 8 32 3 C 8 D 32 3 16 3 32 3 答案 C 解析 an 是等比数列 a2 2 a5 则 1 4 q3 q a1a2 a2a3 anan 1 1 q2n 8 故选 C a5 a2 1 8 1 2 a1a2 1 q2n 1 q2 32 3 32 3 5 2009 北京西城 4 月 若数列 an 是公比为 4 的等比数列 且 a1 2 则数列 log2an 是 A 公差为 2 的等差数列 B 公差为 lg2 的等差数列 C 公比为 2 的等比数列 D 公比为 lg2 的等比数列 答案 A 解析 数列 an 是公比为 4 的等比数列 且 a1 2 则 log2an 1 log2an log2 2 数列 log2an 是以 1 为首项 公差为 2 的等差数列 故选 A an 1 an 6 2009 河南实验中学 3 月 设各项都为正数的等比数列 an 中 若第五项与第六项的 积为 81 则 log3a1 log3a2 log3a10的值是 A 5 B 10 C 20 D 40 2 答案 C 解析 由题意得 a5a6 81 再根据等比数列的性质 log3a1 log3a2 log3a10 log3a1a2 a10 log3 a5a6 5 20 故选 C 7 2009 河南六市一模 设各项均为实数的等比数列 an 的前 n 项为 Sn 若 S10 10 S30 70 则 S40 A 150 B 200 C 150 或 200 D 400 或 50 答案 A 解析 由题意得 S10 S30 1 q10 q20 7 q10 2 10 S4 a1 1 q10 1 q a1 1 q30 1 q S30 S10 1 q30 1 q10 a1 1 q 0 10 15 150 故选 A a1 1 q40 1 q 8 2009 郑州二模 在等比数列 an 中 若 a1 a2 a3 a4 a2a3 则 15 8 9 8 1 a1 1 a2 1 a3 1 a4 A B 5 3 3 5 C D 5 3 3 5 答案 C 解析 在等比数列 an 中 由于 a1 a2 a3 a4 a2a3 且 a1a4 则 15 8 9 8 9 8 故选 C a1 a2 a3 a4 a2a3 a1 a4 a2a3 a2 a3 a2a3 a1 a4 a1a4 a2 a3 a2a3 1 a1 1 a2 1 a3 1 a4 5 3 二 填空题 9 2009 江苏 设 an 是公比为 q 的等比数列 q 1 令 bn an 1 n 1 2 若数 列 bn 有连续四项在集合 53 23 19 37 82 中 则 6q 答案 9 解析 本题考查了等比数列的通项与基本量的求解问题 此题利用等比数列构造另一个 数列 利用所构造数列的性质去研究等比数列是高考的热点问题 由已知数列 bn 有连续四 项在集合 53 23 19 37 82 中 则数列 an 必有连续四项在集合 54 24 18 36 81 中 若公比 q 为正则该数列的四项必均为正或均为负值 显然不合题意 所以公比 q 必为负 值 又由 q 1 知 q 1 按此要求在集合 54 24 18 36 81 中取四个数排成数列可得数 列 24 36 54 81 或 18 24 36 54 此数列不成等比数列 故舍去 数列 24 36 54 81 的公比 q 6q 9 3 2 10 2008 全国联考 数列 an 的前 n 项和 Sn n2 1 数列 bn 满足 b1 1 当 n 2 时 bn abn 1 设数列 bn 的前 n 项和为 Tn 则 T5 答案 20 解析 an Error Error Error Error b1 1 b2 ab1 a1 2 当 n 3 时 bn abn 1 2bn 1 1 bn 1 2 bn 1 1 bn 1 2n 2 b2 1 2n 2 bn 2n 2 1 则 bn Error Error T5 1 20 1 21 1 22 1 23 1 20 故填 20 11 2008 杭州学军中学 已知函数 f x 2x 3 数列 an 满足 a1 1 且 an 1 f an n N 则该数列的通项公式为 3 答案 an 2n 1 3 解析 f x 2x 3 数列 an 满足 a1 1 且 an 1 f an n N 则 an 1 2an 3 an 1 3 2 an 3 数列 an 3 是以 a1 3 4 为首项 2 为公比的等比数列 an 3 4 2n 1 an 2n 1 3 故填 an 2n 1 3 三 解答题 12 数列 an 的前 n 项和为 Sn 且 Sn an 1 1 3 1 求 a1 a2 2 证明 数列 an 是等比数列 3 求 an及 Sn 1 解 a1 S1 a1 1 a1 1 3 1 2 又 a1 a2 S2 a2 1 a2 1 3 1 4 2 证明 Sn an 1 1 3 Sn 1 an 1 1 两式相减 1 3 得 an 1 an 1 an 即 an 1 an 1 3 1 3 1 2 数列 an 是首项为 公比为 的等比数列 1 2 1 2 3 解 由 2 得 an n 1 n 1 2 1 2 1 2 Sn n 1 1 3 1 2 13 数列 an 中 a1 2 a2 3 且 anan 1 是以 3 为公比的等比数列 记 bn a2n 1 a2n n N 1 求 a3 a4 a5 a6的值 2 求证 bn 是等比数列 分析 通过两个数列间的相互关系式 递推出数列 bn 的通项公式 1 解 anan 1 是公比为 3 的等比数列 anan 1 a1a2 3n 1 2 3n a3 6 a4 9 2 32 a2 2 32 a3 a5 18 a6 27 2 34 a4 2 35 a5 2 证明 anan 1 是公比为 3 的等比数列 anan 1 3an 1an 即 an 1 3an 1 a1 a3 a5 a2n 1 与 a2 a4 a6 a2n 都是公比为 3 的等比数列 a2n 1 2 3n 1 a2n 3 3n 1 bn a2n 1 a2n 5 3n 1 3 故 bn 是以 5 为首项 3 为公比的等比数列 bn 1 bn 5 3n 5 3n 1 14 2009 北京宣武 4 月 已知数列 an 中 a1 t t R 且 t 0 1 a2 t2 且当 x t 时 函数 f x an an 1 x2 an 1 an x n 2 n N 取得极值 1 2 4 1 求证 数列 an 1 an 是等比数列 2 若 bn anln an n N 求数列 bn 的前 n 项和 Sn 3 当 t 时 数列 bn 中是否存在最大项 如果存在 说明是第几项 如果不存 7 10 在 请说明理由 解 1 证明 由 f t 0 得 an an 1 t an 1 an n 2 又 a2 a1 t t 1 t 0 且 t 1 a2 a1 0 t an 1 an an an 1 数列 an 1 an 是首项为 t2 t 公比为 t 的等比数列 2 由 1 知 an 1 an tn 1 tn an an 1 tn tn 1 an 1 an 2 tn 1 tn 2 a2 a1 t2 t 上面 n 1 个等式相等并整理得 an tn t 0 且 t 1 bn anln an tn ln tn ntn ln t Sn t 2 t2 3 t3 n tn ln t tSn t2 2 t3 n 1 tn n tn 1 ln t 两式相减 并整理得 Sn ln t t 1 tn 1 t 2 ntn 1 1 t 3 t 即 1 t 0 7 10 当 n 为偶数时 bn ntnln t 0 最大项必须为奇数项 设最大项为 b2k 1 则有Error Error 即Error Error 整理得Error Error 将 t2 代入上式 解得 k 7 10 11 6 17 6 k N k 2 即数列 bn 中的最大项是第 5 项 15 已知数列 an 中 前 n 项和为 Sn 点 an 1 Sn 1 在直线 y 4x 2 上 其中 n 1 2 3 1 设 bn an 1 2an 且 a1 1 求证数列 bn 是等比数列 2 令 f x b1x b2x2 bnxn 求函数 f x 在点 x 1 处的导数 f 1 并比较 f 1 与 6n2 3n 的大小 解 1 由已知点 an 1 Sn 1 在直线 y 4x 2 上 Sn 1 4 an 1 2 即 Sn 1 4an 2 n 1 2 3 Sn 2 4an 1 2 两式相减 得 Sn 2 Sn 1 4an 1 4an 即 an 2 4an 1 4an an 2 2an 1 2 an 1 2an bn an 1 2an n 1 2 3 5 bn 1 2bn 由 S2 a1 a2 4a1 2 a1 1 解得 a2 5 b1 a2 2a1 3 数列 bn 是首项为 3 公比为 2 的等比数列 2 由 1 知 bn 3 2n 1 f x b1x b2x2 bnxn f x b1 2b2x nbnxn 1 从而 f 1 b1 2b2 nbn 3 2 3 2 3 3 22 n 3 2n 1 3 1 2 2 3 22 n 2n 1 设 Tn 1 2 2 3 22 n 2n 1 设 2Tn 2 2 22 3 23 n 1 2n 1 n 2n 两式相减 得 Tn 1 2 22 23