2012届高考数学一轮复习 3.4 等差数列与等比数列的综合问题教案

1 3 43 4 等差数列与等比数列的综合问题等差数列与等比数列的综合问题 知识梳理 一 等差 等比数列的性质 1 等差数列 an 的性质 1 am ak m k d d km aa km 2 若数列 an 是公差为d的等差数列 则数列 an b b为常数 是公差为 d的等差数列 若 bn 也是公差为d的等差数列 则 1an 2bn 1 2为常数 也是 等差数列且公差为 1d 2d 3 下标成等差数列且公差为m的项ak ak m ak 2m 组成的数列仍为等差数列 公 差为md 4 若m n l k N N 且m n k l 则am an ak al 反之不成立 5 设A a1 a2 a3 an B an 1 an 2 an 3 a2n C a2n 1 a2n 2 a2n 3 a3n 则 A B C成等差数列 6 若数列 an 的项数为 2n n N N 则S偶 S奇 nd S2n n an an 1 奇 偶 S S n n a a 1 an an 1为中间两项 若数列 an 的项数为 2n 1 n N N 则S奇 S偶 an S2n 1 2n 1 奇 偶 S S n n1 an an为中间项 2 等比数列 an 的性质 1 am ak qm k 2 若数列 an 是等比数列 则数列 1an 1为常数 是公比为q的等比数列 若 bn 也是公比为q2的等比数列 则 1an 2bn 1 2为常数 也是等比数列 公比为 q q2 3 下标成等差数列且公差为m的项ak ak m ak 2m 组成的数列仍为等比数列 公 比为qm 4 若m n l k N N 且m n k l 则am an ak al 反之不成立 5 设A a1 a2 a3 an B an 1 an 2 an 3 a2n C a2n 1 a2n 2 a2n 3 a3n 则 A B C成等比数列 设 M a1 a2 an N an 1 an 2 a2n P a2n 1 a2n 2 a3n 则M N P也成等比数 列 二 对于等差 等比数列注意以下设法 如三个数成等差数列 可设为a d a a d 若四个符号相同的数成等差数列 知其和 可设为a 3d a d a d a 3d 三个数成等比数列 可设为 a aq 若四个符号相同的 q a 数成等比数列 知其积 可设为 aq aq3 3 q a q a 2 三 用函数的观点理解等差数列 等比数列 1 对于等差数列 an a1 n 1 d dn a1 d 当d 0 时 an是n的一次函数 对应的点 n an 是位于直线上的若干个点 当d 0 时 函数是增函数 对应的数列是递增 数列 同理 d 0 时 函数是常数函数 对应的数列是常数列 d 0 时 函数是减函数 对 应的数列是递减函数 若等差数列的前n项和为Sn 则Sn pn2 qn p q R R 当p 0 时 an 为常数列 当 p 0 时 可用二次函数的方法解决等差数列问题 2 对于等比数列 an a1qn 1 可用指数函数的性质来理解 当a1 0 q 1 或a1 0 0 q 1 时 等比数列是递增数列 当a1 0 0 q 1 或a1 0 q 1 时 等比数列 an 是递减数列 当q 1 时 是一个常数列 当q 0 时 无法判断数列的单调性 它是一个摆动数列 点击双基 1 等比数列 an 的公比为q 则 q 1 是 对于任意自然数n 都有an 1 an 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分又不必要条件 解析 当a1 0 时 条件与结论均不能由一方推出另一方 答案 D 2 已知数列 an 满足an 2 an n N N 且a1 1 a2 2 则该数列前 2002 项的和为 A 0 B 3 C 3 D 1 解析 由题意 我们发现 a1 1 a2 2 a3 a1 1 a4 a2 2 a5 a3 1 a6 a4 2 a2001 a1999 1 a2002 a2000 2 a1 a2 a3 a4 0 a1 a2 a3 a2002 a2001 a2002 a1 a2 1 2 3 答案 C 3 若关于x的方程x2 x a 0 和x2 x b 0 a b 的四个根可组成首项为的等差数列 4 1 则a b的值是 A B C D 8 3 24 11 24 13 72 31 解析 依题意设四根分别为a1 a2 a3 a4 公差为d 其中a1 即 4 1 a1 a2 a3 a4 1 1 2 又a1 a4 a2 a3 所以a1 a4 a2 a3 1 由此求得a4 d 于是a2 a3 4 3 6 1 12 5 12 7 故a b a1a4 a2a3 4 1 4 3 12 5 12 7 144 62 72 31 答案 D 4 2004 年春季上海 12 在等差数列 an 中 当ar as r s 时 数列 an 必定是常 数列 然而在等比数列 an 中 对某些正整数r s r s 当ar as时 非常数列 an 的一 个例子是 解析 只需选取首项不为 0 公比为 1 的等比数列即可 答案 a a a a a 0 5 2002 年北京 14 等差数列 an 中 a1 2 公差不为零 且a1 a3 a11恰好是某等 比数列的前三项 那么该等比数列公比的值等于 3 解析 设a1 a3 a11成等比 公比为q a3 a1 q 2q a11 a1 q2 2q2 又 an 是等差数 列 a11 a1 5 a3 a1 q 4 答案 4 典例剖析 例 1 2005 年春季北京 17 已知 an 是等比数列 a1 2 a3 18 bn 是等差数列 b1 2 b1 b2 b3 b4 a1 a2 a3 20 1 求数列 bn 的通项公式 2 求数列 bn 的前n项和Sn的公式 3 设Pn b1 b4 b7 b3n 2 Qn b10 b12 b14 b2n 8 其中n 1 2 试比较Pn与Qn的大小 并证明你的结论 剖析 将已知转化成基本量 求出首项和公比后 再进行其他运算 解 1 设 an 的公比为q 由a3 a1q2得q2 9 q 3 1 3 a a 当q 3 时 a1 a2 a3 2 6 18 14 20 这与a1 a2 a3 20 矛盾 故舍去 当q 3 时 a1 a2 a3 2 6 18 26 20 故符合题意 设数列 bn 的公差为d 由b1 b2 b3 b4 26 得 4b1 d 26 2 34 又b1 2 解得d 3 所以bn 3n 1 2 Sn n2 n 2 1n bbn 2 3 2 1 3 b1 b4 b7 b3n 2组成以 3d为公差的等差数列 所以Pn nb1 3d n2 n 2 1 nn 2 9 2 5 b10 b12 b14 b2n 8组成以 2d为公差的等差数列 b10 29 所以Qn nb10 2d 3n2 26n 2 1 nn Pn Qn n2 n 3n2 26n n n 19 2 9 2 5 2 3 所以 对于正整数n 当n 20 时 Pn Qn 当n 19 时 Pn Qn 当n 18 时 Pn Qn 评述 本题主要考查等差数列 等比数列等基本知识 考查逻辑思维能力 分析问题和 解决问题的能力 例 2 2005 年北京东城区模拟题 已知等差数列 an 的首项a1 1 公差d 0 且 第二项 第五项 第十四项分别是等比数列 bn 的第二项 第三项 第四项 1 求数列 an 与 bn 的通项公式 2 设数列 cn 对任意正整数n均有 n 1 an 1成立 1 1 b c 2 2 mb c 3 2 3 bm c n n n bm c 1 其中m为不等于零的常数 求数列 cn 的前n项和Sn 剖析 1 依已知可先求首项和公差 进而求出通项an和bn 2 由题先求出 an 的 通项公式后再求Sn 解 1 由题意得 a1 d a1 13d a1 4d 2 整理得 2a1d d2 4 a1 1 解得d 2 d 0 不合题意舍去 an 2n 1 n 1 2 3 由b2 a2 3 b3 a5 9 易求得bn 3n 1 n 1 2 3 2 当n 1 时 c1 6 当n 2 时 n 1 an 1 nan 4n 1 n n n bm c 1 cn 4n 1 mn 1bn 4n 1 3m n 1 cn 1 3 14 6 n mn 4 3 2 1 n n 当 3m 1 即m 时 Sn 6 9 13 4n 1 3 1 6 6 n 1 2n 5 2n2 3n 1 2 149 1 nn 当 3m 1 即m 时 Sn c1 c2 cn 即 3 1 Sn 6 9 3m 13 3m 2 4n 3 3m n 2 4n 1 3m n 1 3mSn 6 3m 9 3m 2 13 3m 3 4n 3 3m n 1 4n 1 3m n 得 1 3m Sn 6 3 3m 4 3m 2 4 3m 3 4 3m n 1 4n 1 3m n 6 9m 4 3m 2 3m 3 3m n 1 4n 1 3m n 6 9m 4n 1 3m n m mm n 31 3 3 4 2 Sn m mnm n 31 3 14 96 2 2 31 3 3 4 m mm n Sn 2 2 2 31 3 3 4 31 3 14 96 132 m mm m mnm nn nn 3 1 3 1 m m 评述 本题主要考查了数列的基本知识和解决数列问题的基本方法 如 基本量法 错 位相减求和法 等 例 3 2005 年北京海淀区模拟题 在等比数列 an n N N 中 a1 1 公比q 0 设 bn log2an 且b1 b3 b5 6 b1b3b5 0 1 求证 数列 bn 是等差数列 2 求 bn 的前n项和Sn及 an 的通项an 3 试比较an与Sn的大小 剖析 1 定义法即可解决 2 先求首项和公差及公比 3 分情况讨论 1 证明 bn log2an bn 1 bn log2 log2q为常数 数列 bn 为等差数列且 n n a a 1 公差d log2q 2 解 b1 b3 b5 6 b3 2 a1 1 b1 log2a1 0 b1b3b5 0 b5 0 5 解得 Sn 4n 1 0 4 22 1 1 db db 1 4 1 d b 2 1 nn 2 9 2 nn 4log 1log 12 2 a q 16 2 1 1 a q an 25 n n N N 3 解 显然an 25 n 0 当n 9 时 Sn 0 2 9 nn n 9 时 an Sn a1 16 a2 8 a3 4 a4 2 a5 1 a6 a7 a8 S1 4 S2 7 S3 9 S4 10 S 2 1 4 1 8 1 5 10 S6 9 S7 7 S8 4 当n 3 4 5 6 7 8 时 an Sn 当n 1 2 或n 9 时 an Sn 评述 本题主要考查了数列的基本知识和分类讨论的思想 闯关训练 夯实基础夯实基础 1 在等比数列 an 中 a5 a6 a a 0 a15 a16 b 则a25 a26的值是 A B C D a b 2 2 a b a b2 2 a b 解析 由等比数列的性质得三个和成等比数列 由等比中项公式可得选项为 C 答案 C 2 公差不为零的等差数列 an 的第二 三及第六项构成等比数列 则 642 531 aaa aaa 解析 设公差为d d 0 由题意a32 a2 a6 即 a1 2d 2 a1 d a1 5d 解得 d 2a1 故 642 531 aaa aaa da da 93 63 1 1 1 1 15 9 a a 5 3 答案 5 3 3 若数列x a1 a2 y成等差数列 x b1 b2 y成等比数列 则的取值范 21 2 21 bb aa 围是 解析 在等差数列中 a1 a2 x y 在等比数列中 xy b1 b2 2 21 2 21 bb aa yx yx 2 yx yxyx 22 2 y x x y 6 当x y 0 时 2 故 4 y x x y 21 2 21 bb aa 当x y 0 时 2 故 0 y x x y 21 2 21 bb aa 答案 4 或 0 4 已知数列 an 中 a1 且对任意非零自然数n都有an 1 an n 1 数列 bn 对任 6 5 3 1 2 1 意非零自然数n都有bn an 1 an 2 1 1 求证 数列 bn 是等比数列 2 求数列 an 的通项公式 1 证明 bn an 1 an an n 1 an n 1 an bn 1 n 2 2 1 3 1 2 1 2 1 2 1 6 1 2 1 an 1 n 2 an n 1 n 1 an 6 1 2 1 6 1 3 1 2 1 2 1 2 1 18 1 6 1 2 1 n 1 n 1 an n 1 an 3 1 2 1 18 1 3 1 2 1 6 1 n 1 2 3 n n b b 1 3 1 bn 是公比为的等比数列 3 1 2 解 b1 2 a1 bn n 1 n 1 由 2 1 6 1 4 1 6 1 6 5 9 1 9 1 3 1 3 1 bn n 1 an 得 n 1 n 1 an 解得an 6 n 1 n 1 2 1 6 1 3 1 2 1 6 1 2 1 3 1 5 设 an 为等比数列 a1 b1 1 a2 a4 b3 b2b4 a3 分别求出 an 及 bn 的前 10 项的和 S10及T10 解 设公差为d 公比为q 由题意知 21 42 4 2 qd qd 或 S10 10 2 2 8 3 q d 2 2 8 3 q d 2 910 8 3 8 55 当q 时 T10 2 2 32 22 31 当q 时 T10 2 2 32 22 31 培养能力培养能力 6 2003 年北京高考 文 16 已知数列 an 是等差数列 且a1 2 a1 a2 a3 12 7 1 求数列 an 的通项公式 2 令bn anxn x R R 求数列 bn 前n项和的公式 解 1 设数列 an 的公差为d 则a1 a2 a3 3a1 3d 12 又a1 2 得d 2 所以an 2n 2 令Sn b1 b2 bn 则由bn anxn 2nxn 得 Sn 2x 4x2 2n 2 xn 1 2nxn xSn 2x2 4x3 2n 2 xn 2nxn 1 当x 1 时 式减去 式 得 1 x Sn 2 x x2 xn 2nxn 1 2nxn 1 x xx n 1 1 2 所以Sn 2 1 1 2 x xx n x nxn 1 2 1 当x 1 时 Sn 2 4 2n n n 1 综上可得 当x 1 时 Sn n n 1 当x 1 时 Sn 2 1 1 2 x xx n x nxn 1 2 1 7 数列 an 中 a1 8 a4 2 且满足an 2 2an 1 an 0 n N N 1 求数列 an 的通项公式 2 设bn n N N Sn b1 b2 bn 是否存在最大的整数m 使得任意的 12 1 n an n均有Sn 总成立 若存在 求出m 若不存在 请说明理由 32 m 解 1 an 2 2an 1 an 0 an 2 an 1 an 1 an n N N an 是等差数列 设公差为d 又a1 8 a4 a1 3d 8 3d 2 d 2 an 2n 10 2 bn 12 1 n an 1 2 1 nn 2 1 n 1 1 1 n Sn b1 b2 bn 1 2 1 2 1 2 1 3 1 n 1 1 1 n 1 2 1 1 1 n 1 2 n n 假设存在整数m满足Sn 总成立 32 m 又Sn 1 Sn 2 2 1 n n 1 2 n n 8 0 1 2 2 1 nn 数列 Sn 是单调递增的 S1 为Sn的最小值 故 即m 8 又m N N 4 1 32 m 4 1 适合条件的m的最大值为 7 探究创新探究创新 8 有点难度哟 理 已知数列 an 的各项均为正整数 且满足an 1 an2 2nan 2 n N N 又a5 11 1 求a1 a2 a3 a4的值 并由此推测出 an 的通项公式 不要求证明 2 设bn 11 an Sn b1 b2 bn Sn b1 b2 bn 求 n n S S 解 1 由a5 11 得 11 a42 8a4 2 即a42 8a4 9 0 解得a4 9 或a4 1 舍 由a4 9 得a32 6a3 7 0 解得a3 7 或a3 1 舍 同理可求出a2 5 a1 3 由此推测an的一个通项公式an 2n 1 n N N 2 bn 11 an 10 2n n N N 可知数列 bn 是等差数列 Sn n2 9n 2 1n bbn 2 2108 nn 当n 5 时 Sn Sn n2 9n 当n 5 时 Sn Sn 2S5 Sn 40 n2 9n 40 当n 5 时 1 n n S S 当n 5 时 n n S S 409 9 2 2 nn nn n n S S 409 9 2 2 nn nn 文 设f k 是满足不等式 log2x log2 3 2k 1 x 2k 1 k N N 的自然数x 的个数 1 求f k 的表达式 2 记Sn f 1 f 2 f n P