2012年高考数学压轴卷试题 理 大纲版

用心 爱心 专心 1 数学 理 试题数学 理 试题 注意事项 注意事项 1 答题前 考生务必先将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上 认真核对条形码上的 姓名 准考证号 并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置上 2 选择题答案使用 2B 铅笔填涂 如需改动 用橡皮擦擦干净后 再选涂其它答案标号 非选择题答案实用 0 5 毫米的黑色中性 签字 笔或碳素笔书写 字体工整 笔迹清楚 3 请按题号在各题的答题区域 黑色线框 内作答 超出答题区域书写的答案无效 4 保持卡面清洁 不折叠 不破损 5 做选考题时 考生按照题目要求作答 并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题 号涂黑 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 1 设集合 A N B 则 A B 等于 15 kxxkQxxx 6 A 1 4 B 1 6 C 4 6 D 1 4 6 2 复数 i i 1 1 A i B C iD 1 1 3 若是等差数列 则使前项和成立 n a0 0 0 242324231 aaaaan0 n S 的最大正数是 n A 48 B 47 C 46 D 45 4 在区间 内随机取两个数分别记为a b 则使得函数 22 2 f xxaxb 有零点的概率为 A B C D 7 8 3 4 1 2 1 4 5 设表示 两者中的较小的一个 若函数 min p qpq 22 1 min 3log log 2 f xxx 则满足的的集合为 1f x x A B C D 0 2 0 0 2 16 U 1 16 6 函数的定义域为 R 且满足 是偶函数 是奇函数 若 9 f x f x 1 f x 0 5 f 则等于 8 5 f A 9B 9C 3 D 0 7 已知x y使方程x2 y2 2x 4y 4 0 则的最小值是 3xy 用心 爱心 专心 2 A B C 2 D 323 3 8 若动直线与函数和的图像分别交于两点 则xa sinf xx cosg xx MN 的最大值为 MN A 1 B C D 223 9 过原点与曲线相切的切线方程为 1yx A B C D 1 2 yx 2yx yx 1 3 yx 10 已知 则是 q 的 1 1 1 pxq x p A 充分不必要条件 B 必要充分不条件 C 充要条件 D 既非充分又非必要条件 11 若实数满足不等式组 目标函数的最大值为 2 则实数a x y 20 10 220 x y ya 2txy 的值是 A 2 B 0 C 1 D 2 12 设a b为大于 1 的正数 并且 如果的最小值为m 则满足100abab ab 的整点的个数为 22 32xym x y A 5 B 7 C 9 D 11 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 把答案填在横线上 13 设l为平面上过点 0 l 的直线 l的斜率等可能地取 0 2 2 3 5 2 用 表示坐标原点到直线l的距离 则随机变量 的数学期望2 23 5 2 E 14 已知抛物线与双曲线有相同的焦点 点是两曲线的 0 2 2 ppxy1 2 2 2 2 b y a x FA 一个交点 且 轴 则双曲线的离心率为 AFx 15 设a b c依次是的角 A B C 所对的边 若 且 ABC tantan 1005tan tantan AB C AB 则m 222 abmc 用心 爱心 专心 3 16 在平面直角坐标系中 点集 22 1 Ax yxy 则 1 点集所 4 0 340 Bx yxyxy 1111 3 1 Px y xxyyx yA 表示的区域的面积为 2 点集所表示的区域的面积为 12121122 Qx y xxxyyyx yA xyB 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 10 分 在中 分别为角所对的三边 已知 ABC cba CBA 222 cbabc 求角的值 A 若 求的长 3a 3 cos 3 C c 18 本小题满分 12 分 如图 四棱锥PABCD 的底面为正方形 侧棱PA 底面ABCD 且 2PAAD E F H分别是线段 PA PD AB的中点 求证 PB 平面EFH 求证 PD 平面AHF 求二面角HEFA 的大小 19 本小题满分 12 分 为了参加广州亚运会 从四支较强的排球队中选出 18 人组成女子排球国家队 队员来 源人数如下表 队别北京上海天津八一 人数 4635 从这 18 名队员中随机选出两名 求两人来自同一支队的概率 中国女排奋力拼搏 战胜韩国队获得冠军 若要求选出两位队员代表发言 设其中来 自北京队的人数为 求随机变量的分布列 及数学期望 E 用心 爱心 专心 4 20 本小题满分 12 分 已知函数 实数 为常数 2 lnf xxaxbx 0 x ab 若 求在处的切线方程 1 1ab xf1 x 若 讨论函数的单调性 2ab f x 21 本小题满分 12 分 已知点是离心率为的椭圆 上的一点 斜率为 2 1 A 2 2 C 0 1 2 2 2 2 ba a y b x 的直线交椭圆于 两点 且 三点不重合 2BDCBDABD 求椭圆的方程 C 的面积是否存在最大值 若存在 求出这个最大值 若不存在 请说明理由 ABD 求证 直线 的斜率之和为定值 ABAD 22 本小题满分 12 分 已知集合中的元素都是正整数 且 对任意的 21n aaaA n aaa 21 且 有 Ayx xy 25 xy yx 求证 25 111 1 n aa n 求证 9 n 对于 试给出一个满足条件的集合 9 nA 用心 爱心 专心 5 参考答案 一 选择题 每小题一 选择题 每小题 5 5 分 满分分 满分 6060 分 分 题 号 123456789101112 答 案 DCCBCBBBAADA 二 填空题 每小题二 填空题 每小题 5 5 分 满分分 满分 2020 分 分 13 4 提示 显然本程序框图反映的是统计产量大于 950 件的车间个数的一个算法流程图 故答案 为 4 14 直线l的方程分别为 4 7 y x 1 y x 1 y x 1 y 1 y x 1 y x 1 y 2 2 3 5 2 2 23 x 1 原点到它们的距离分别为 1 所以随机变量 的分布 5 2 1 3 1 2 2 3 2 3 1 2 1 3 列为 1 3 1 2 2 3 1 P 2 7 2 7 2 7 1 7 所以 E 1 2 7 1 3 2 7 1 2 2 7 2 3 1 7 4 7 15 2011 提示 由已知 tantansinsinsinsinsin 1005 tantansincoscossinsincos ABABABC ABABABABC 即 亦即 sinsinsin 1004 sincos ABC CC 2 sinsincos 1005 sin ABC C 由正余弦定理有 222 2 2 1005 abc ab ab c 即 将代入 222 2 1005 2 abc c 222 abmc 用心 爱心 专心 6 得 于是 1 1005 2 m 2011m 16 18 提示 已知点集 A 表示以原点为圆心 半径为 1 的圆的边界及其内部 点集 B 表示以点 0 0 0 M 4 0 N 4 3 为顶点的三角形及其内部 1 本题相当于把点集 A 中的圆向右平移 3 个单位 向上平移 1 个单位 因此其面积不变 为 2 相当于把点集 A 沿点集 B 扩大如图所示 其面积为 1 3 45 14 1 3 118 2 S 三 解答题 三 解答题 17 本小题主要考查三角变换公式 正弦定理 余弦定理 考查三角基础知识和基本运算能 力 满分 10 分 解析 3 分 222 cbabc 222 1 cos 22 bca A bc A0 5 分 3 A 在中 ABC 3 A3a 3 cos 3 C 7 分 2 16 sin1 cos1 33 CC 由正弦定理知 sinsin ac AC 9 分 A Ca c sin sin 6 3 2 6 3 33 2 用心 爱心 专心 7 10 分 3 62 c 18 本小题主要考查空间直线与平面的位置关系 线面平行与垂直的论证 二面角的计算等 基础知识 考查空间想象能力 思维能力和运算能力 满分 12 分 解析 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz 0 0 0 2 0 0 2 2 0 0 2 0 ABCD 2 0 0 P 1 0 0 E 1 1 0 F 1 0 0 H 1 分 证明 2 0 2 PB 1 0 1 EH 2PBEH PB平面EFH 且EH 平面EFH PB 平面EFH 4 分 证明 0 2 2 PD 1 0 0 AH 0 1 1 AF 002 1 2 10 0 120 2 00 PD AF PD AH PDAF PDAH 又AFAHA 平面AHF 8 分PD 设平面HEF的法向量为 zyxn 因为 0 1 0 EF 1 0 1 EH 则 0 0 n EFy n EHxz 取 1 0 1 n 又因为平面AEF的法向量为 0 0 1 m 所以 10012 cos 2 212 m n m n mn 45 m n 用心 爱心 专心 8 所以二面角HEFA 的大小为 45 12 分 19 本小题主要考查概率统计的概念 考查随机变量的分布列和数学期望的计算 以及利用 概率统计的基础知识解决实际问题的能力 满分 12 分 解析 从这 18 名队员中随机选出两名 两人来自于同一队 记作事件 A 则 2222 4635 2 18 2 9 CCCC P A C 5 分 的所有可能取值为 0 1 2 7 分 2 14 2 18 91 0 153 C P C 11 414 2 18 56 1 153 C C P C 2 4 2 18 6 2 153 C P C 的分布列为 012 P 91 153 56 153 6 153 10 分 915664 012 1531531539 E 12 分 20 本小题主要考查导函数的求法 导数的几何意义 函数单调区间的求法 考查运用基本 概念进行论证和计算的能力 满分 12 分 解析 因为 所以函数 1 1ab 2 lnf xxxx 2 1 f 又 2 分 1 21fxx x 2 1 f 所以 1 22 xy 即在处的切线方程为 5 分 xf1 x02 yx 因为 所以 则2ab 2 2 lnf xxb xbx 2 1 2 2 bxb x fxxb xx 0 x 令 得 7 分 0fx 1 2 b x 2 1x 1 当 即时 函数的单调递减区间为 0 2 b 0 b f x 0 1 单调递增区间为 8 分 1 2 当 即时 的变化情况如下表 01 2 b 02b x f xf 用心 爱心 专心 9 x 0 2 b 1 2 b 1 fx f x AAA 所以 函数的单调递增区间为 f x 0 2 b 1 单调递减区间为 9 分 1 2 b 3 当 即时 函数的单调递增区间为 10 分1 2 b 2b f x 0 4 当 即时 的变化情况如下表 1 2 b 2b x f xf x 0 1 1 2 b 2 b fx f x AAA 所以函数的单调递增区间为 f x 0 1 2 b 单调递减区间为 11 分 1 2 b 综上 当时 函数的单调递减区间为 单调递增区间为 0 b f x 0 1 1 当时 函数的单调递增区间为 单调递减区间为 02b f x 0 2 b 1 1 2 b 当时 函数的单调递增区间为 当时 函数的单调递增2b f x 0 2b f x 区间为 单调递减区间为 12 分 0 1 2 b 1 2 b 21 本小题主要考查椭圆的方程的求法 考察弦长公式的应用和利用均值不等式求最值的方 法 考查思维能力 运算能力和综合解题的能力 满分 12 分 解析 a c e 2 2 1 21 22 ab 222 cba 2 a2 b2 c 用心 爱心 专心 10 4 分1 42 22 yx 设直线 BD 的方程为bxy 2 42 2 22 yx bxy 04224 22 bbxx 0648 2 b2222 b 2 2 21 bxx 4 4 2 21 b xx 2 2 21 2 8 2 6 4 864 3 4 3 2 1b b xxBD 设为点到直线 BD 的距离 dAbxy 2 3 b d 当且仅当时取等号 2 8 4 2 2 1 22 bbdBDS ABD 2 b 因为 所以当时 的面积最大 最大值为 9 分2 22 22 2 bABD 2 设 直线 的斜率分别为 则 11 yxD 22 yxBABAD AB k AD k ABAD kk 1 22 1 22 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 x bx x bx x y x y 1 2 22 2121 21 xxxx xx b 将 中 式代入 式整理得 0 1 2 22 2121 21 xxxx xx b 即0 12 分 ABAD kk 22 本小题考察对数学概念的阅读理解能力 考查不等式 集合知识的综合应用 考查运用 用心 爱心 专心 11 学过的数学知识解决问题的能力 考查思维能力 论证能力 运算能力和综合解题的能 力 满分 12 分 解析 证明 依题意有 又 1 2 1 25 1 1 ni aa aa ii ii n aaa 21 因此 1 2 1 25 1 1 ni aa aa ii ii 可得 1 2 1 25 111 1 ni aa ii 所以 122311 111111111 25