23用公式法求解一元二次方程

第二章第二章 一元二次方程一元二次方程 2 32 3 用公式法求解一元二次方程用公式法求解一元二次方程 课 题 2 3 用公式法求解一元二次方程 教学目标 一 教学知识点 1 一元二次方程的求根公式的推导 2 会用求根公式解一元二次方程 二 能力训练要求 1 通过公式推导 加强推理技能训练 进一步发展逻辑思维能力 2 会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程 三 情感与价值观要求 通过运用公式法解一元二次方程的训练 提高学生的运算能力 养成良好的运算习 惯 教学重点 一元二次方程的求根公式 教学难点 求根公式的条件 b2 4ac 0 教学方法 讲练相结合 教具准备 投影片五张 第一张 复习练习 记作投影片 2 3 A 第二张 试一试 记作投影片 2 3B 第三张 小亮的推导过程 记作投影片 2 3 C 第四张 求根公式 记作投影片 2 3 D 第五张 例题 记作投影片 2 3 E 教学过程 巧设现实情景 引入课题 师 我们前面学习了一元二次方程的解法 下面来做一练习以巩固其解法 出示投影 片 2 3 A 1 用配方法解方程 2x2 7x 3 0 生甲 解 2x2 7x 3 0 两边都除以 2 得x2 x 0 2 7 2 3 移项 得 x2 x 2 7 2 3 配方 得 x2 x 2 2 2 7 4 7 2 3 4 7 两边分别开平方 得 x 4 7 4 5 即 x 或 x 4 7 4 5 4 7 4 5 x1 3 x2 2 1 师 同学们做得很好 接下来大家来试着做一做下面的练习 出示投影片 2 3 B 试一试 肯定行 1 用配方法解下列关于 x 的方程 1 x2 ax 1 2 x2 2bx 4ac 0 生乙 1 解 x2 ax 1 配方得 x2 ax 2 1 2 2 a 2 a x 2 2 a 4 4 2 a 两边都开平方 得 x 2 a 2 4 2 a 即 x x 2 a 2 4 2 a 2 a 2 4 2 a x1 x2 2 4 2 aa 2 4 2 aa 生丙 2 解 x2 2bx 4ac 0 移项 得 x2 2bx 4ac 配方 得 x2 2bx b2 4ac b2 x b 2 b2 4ac 两边同时开平方 得 x b acb4 2 即 x b x b acb4 2 acb4 2 x1 b x2 b acb4 2 acb4 2 生丁 老师 我觉得丁同学做错了 他通过配方得到 x b 2 b2 4ac 根据平方根 的性质知道 只有正数和零才有平方根 即只有在 b2 4ac 0 时 才可以用开平方法解出 x 来 所以 在这里应该加一个条件 b2 4ac 0 师 噢 同学们来想一想 讨论讨论 戊同学说得有道理吗 生齐声 戊同学说得正确 因为负数没有平方根 所以 解方程 x2 2bx 4ac 0 时 必须有条件 b2 4ac 0 才有丁同学求出的解 否则 这个方程就没有实数解 师 同学们理解得很正确 那解方程 x2 ax 1 时用不用加条件呢 生齐声 不用 师 那为什么呢 生齐声 因为把方程 x2 ax 1 配方变形为 x 2 右边就是一个正 2 a 4 4 2 a 4 4 2 a 数 所以就不必加条件了 师 好 从以上解题过程中 我们发现 利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相 同的 因此 如果能用配方法解一般的一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 得到根的一般 表达式 那么再解一元二次方程时 就会方便简捷得多 这节课我们就来探讨一元二次方程的求根公式 讲授新课 师 刚才我们已经利用配方法求解了四个一元二次方程 那你能否利用配方法的基本 步骤解方程 ax2 bx c 0 a 0 呢 大家可参照解方程 2x2 7x 3 0 的步骤进行 生甲 因为方程的二次项系数不为 1 所以首先应把方程的二次项系数变为 1 即方程 两边都除以二次项系数 a 得 x2 0 a c x a b 生乙 因为这里的二次项系数不为 0 所以 方程 ax2 bx c 0 a 0 的两边都除以 a 时 需要说明 a 0 师 对 以前我们解的方程都是数字系数 显然就可以看到 二次项系数不为 0 所 以无需特殊说明 而方程 ax2 bx c 0 a 0 的两边都除以 a 时 必须说明 a 0 好 接下来该如何呢 生丙 移项 得 x2 a c x a b 配方 得 x2 22 2 2 a b a c a b x a b x 2 2 2 4 4 2a acb a b 师 这时 可以直接开平方求解吗 生丁 不 还需要讨论 因为 a 0 所以 4a2 0 当 b2 4ac 0 时 就可以开平方 师 对 在进行开方运算时 被开方数必须是非负数 即要求 0 因为 4a2 0 2 2 4 4 a acb 恒成立 所以只需 b2 4ac 是非负数即可 因此 方程 x 2 的两边同时开方 得 x a b 2 2 2 4 4 a acb a b 2 2 2 4 4 a acb 大家来想一想 讨论讨论 吗 2 2 4 4 a acb a acb 2 4 2 师 当 b2 4ac 0 时 x a b 2 2 2 4 4 a acb 2 4 2 a acb 因为式子前面有双重符号 所以无论 a 0 还是 a0 等条件在推导过程中的应用 也要弄清其中的道理 2 应用求根公式解一元二次方程 通常应把方程写成一般形式 并写出 a b c 的数 值以及计算 b2 4ac 的值 当熟练掌握求根公式后 可以简化求解过程 课后作业 一 课本 P 43 习题 2 5 1 2 二 预习内容 P44 活动与探究 1 阅读材料 解答问题 阅读材料 为解方程 x2 1 2 5 x2 1 4 0 我们可以将 x2 1 视为一个整体 然后设 x2 1 y 则 x2 1 2 y2 原方程化为 y2 5y 4 0 解得 y1 4 y2 1 当 y1 4 时 x2 1 4 x2 5 x 5 当 y 1 时 x2 1 1 x2 2 x 2 原方程的解为 x1 x2 22 x3 x4 55 解答问题 1 填空 在由原方程得到方程 的过程中 利用 法达到了降次的目的 体现了 的 数学思想 2 解方程 x4 x2 6 0 过程 通过对本题的阅读 让学生在获取知识的同时 来提高学生的阅读理解和解 决问题的能力 结果 解 1 换元 转化 2 设 x2 y 则 x4 y2 原方程可以化为 y2 y 6 0 解得 y1 3 y2 2 当 y1 3 时 x2 3 x 3 当 y2 2 时 x2 2 此方程无实根 原方程的解为 x1 x2 33 板书设计 2 3 公式法 一 解 2x2 7x 3 0 两边都除以 2 得 x2 0 2 3 2 7 x 移项