勾股定理例题选讲

勾股定理例题选讲勾股定理例题选讲 初学勾股定理 看起来容易 做起来难 因为它涉及的知识面广 又是进一步学习解三角 形的基础 因此建议大家要扎扎实实打基础 认认真真做练习 掌握解决典型问题的基本方法 和技能 一 要重视勾股定理证明的思想方法一 要重视勾股定理证明的思想方法 学习数学 主要是通过数学定理 公式的证明来学习数学 因为我们可以从证明和解决问 题的过程中 学习如何思考 如何将问题转化 逐步解决的 学习解决问题时采用的策略 思 想方法 技能技巧等 例例 1 在直线 l 上依次摆放着七个正方形 如图 1 所示 已知斜放置的三个正方形的面积分别 是 1 2 3 正放置的四个正方形的面积依次是 S1 S2 S3 S4 则 S1 S2 S3 S4 分析 在证明勾股定理时 有一种证法是如图 2 所示的由四个全等的直角三角形拼接成边 长为 a b 的大正方形 中间是边长为 c 的正方形 由 推出 a2 b2 c2 依据这个图形的基本结构 可如图 2 中分别依次设线段 a b c d 则有a2 b2 1 c2 d2 3 S1 b2 S2 a2 S3 c2 S4 d2 S1 S2 S3 S4 b2 a2 c2 d2 1 3 4 例例 2 如图 3 图中所有的四边形都是正方形 所有的三角形都是直角三角形 若所有的正 方形的面积之和为 507cm2 试求最大的正方形的边长 分析 此题显然与勾股定理的几何意义有关 即 S1 S2 S3 S5 S6 S4 S3 S4 S阴 所以 S1 S2 S5 S6 S3 S4 S阴 从而有 3S阴 507 即 S阴 169 cm2 最大的正方形的边长为 13cm 例例 3 已知 如图 4 四边形 ABCD 中 A 60 ADC ABC 90 AB 3 DC 2 求 四边形 ABCD 的面积 分析 有的同学不加思索地连结 AC 这不仅破坏了 BAD 60 的整体性 而且还认为 AC 平分 BAD 这就更加错上加错 有的同学用 分割 的方法解此题 如图 5 作 DE AB 于 E 点 作 CF DE 于 F 点 这种 作法应该肯定 不仅将四边形的问题转化为解直角三角形的问题 而且分割后的每个图形都可 解 最好的作法是 补形 的方法 如图 6 所示 延长 AD BC 设它们交于 E 点 由已知可得 S四边形 ABCD S ABE S EDC 二 要学会用方程观点解题二 要学会用方程观点解题 例例 4 已知 如图 7 ABC 中 AB 3 BC 4 B 90 若将 ABC 折叠 使 C 点与 A 点重合 求折痕 EF 的长 分析 当解这样的问题时 由轴对称的概念 自然想到连 AF 由已知 可得 因此欲求 EF 只要求 AF 的长 设 AF x 则 FC x BF 4 x 只要利用 Rt ABF 中 AF2 BF2 AB2这个相等关系布列方程 x2 4 x 2 9 问题就可以解决 例例 5 在 Rt ABC 中 C 90 若 a b c 为连续整数 a b0 只有 x 4 a b c x 1 x x 1 3x 12 例 6 已知 如图 8 ABC 中 AB 13 BC 21 AC 20 求 ABC 的面积 分析 为了求 ABC 的面积 只要求出 BC 边上的高 AD 若设 BD x 则 DC 21 x 只要利用 AB2 BD2 AD2 AC2 DC2 这个相等关系 列方程 132 x2 202 21 x 2 求出 x 的值 问题就能解决 三 要充分注意三角形的可解条件三 要充分注意三角形的可解条件 例例 7 已知 ABC 中 AB 13 AC 5 高 AD 4 则 BC 边的长应为多少 分析 我们关注可解条件 一方面是审视题目中给出的条件是否足够充分 另一方面是要 考虑在已知条件下 图形的形状大小是否唯一确定 为了防止解题失误 不防先以高 AD 4 为直角边 AB 13 为斜边作直角 ABD 如图 9 显 然这个图形是唯一确定的 只要再依第三个条件 确定 ABC 的第三个顶点 如图 10 当我们以 A 为圆心 AC 5 为半径画弧时发现它与直线 BD 交于 C1 C2两点 故此 题有两解 当垂足 D 点在 BC 边上时 当垂足 D 点在 BC 边的延长线上时 例例 8 已知 如图 11 在正方形 ABCD 中 F 是 DC 边中点 E 为 CB 的四等分点 求证 AF FE 分析 此题中图形的形状确定 而大小不确