函数与导数答案

1 函数 f x 在定义域内的图象如图所示 记 f x 的导函数为 f x 则不等式 f x 3 2 3 0 的解集为 A 1 2 3 2 1 2 B 1 1 2 4 3 8 3 C 2 3 1 3 1 D 3 2 1 3 1 2 4 3 4 3 3 答案 C 解析 不等式 f x 0 的解集即为函数 f x 的单调递减区间 从图象中可以看出函数 f x 在和 2 3 上是单调递减的 所以不等式 f x 0 的解集为 2 3 1 3 1 1 3 1 答案选 C 2 函数 y g x 与 f x lnx 关于 1 0 对称 下列区间中 y g x 在其上为增函数的是 A 1 B 1 4 3 C 0 D 1 2 3 2 答案 D 3 对于 R 上可导的任意函数 f x 若满足 x 1 f x 0 则必有 A f 0 f 2 2f 1 答案 D 解析 当 x 1 时 f x 0 f x 为增函数 f 2 f 1 当 x 1 时 f x 0 f x 为减函数 f 0 f 1 f 0 f 2 2f 1 4 若函数 f x x3 6bx 3b 在 0 1 内有最小值 则实数 b 的取值范围是 A 0 1 B 1 C 0 D 0 1 2 答案 D 解析 f x 在 0 1 内有最小值 即 f x 在 0 1 内有极小值 f x 3x2 6b 由题意 得函数 f x 的草图如图 Error 即Error 解得 0 b0 且 a 1 当 2 a 3 b 4 时 函数 f x 的零点 x0 n n 1 n N 则 n A 1 B 2 C 3 D 4 答案 2 解析 2 a 3 f x logax x b 为定义域上的单调递增函数 f 2 loga2 2 b f 3 loga3 3 b 2 a 3 b 0 lg 2 lg a lg 3 3 b 3 2 b 1 loga2 2 b 0 即 f 2 0 1 3 b 4 1 3 b0 f 3 0 即 f 2 f 3 0 由 x0 n n 1 n N 知 n 2 7 设函数 2 f xg xx 曲线 yg x 在点 1 1 g处的切线方程为21yx 则 曲线 yf x 在点 1 1 f处切线的斜率为 8 已知 f x asin x b 4 a b R 且 f lg log210 5 则 f lg lg 2 3 x 答案 3 解析 lg log210 lg lg 2 f x asin x b 4 asin x b 4 3 x 3 x 又 f lg log210 5 f lg lg 2 4 5 4 3 9 把一个周长为 12 cm 的长方形围成一个圆柱 当圆柱的体积最大时 该圆柱的底面周长 与高的比为 答案 2 1 解析 设圆柱高为 x 底面半径为 r 则 r 圆柱体积 6 x 2 V 2x x3 12x2 36x 0 x0 函数 f x 单调递增 当 x 1 3 时 f x 0 函数 f x 单调递增 所以函数 f x 的极小值为 f 3 24 极大值为 f 1 8 而 f 2 1 f 5 8 函数图象大致如图所示 故要使方程 g x f x m 在 x 2 5 上有 3 个零点 只需函数 f x 在 2 5 内的函数图象与直线 y m 有 3 个交 点 故Error 即 m 1 8 12 设函数其中为自然对数的底数 ln ln f xxxaxax 0 ae 2 71828e 当时 求函数的最小值 1 a xf 证明 对任意正数 都有 12 x x 2ln ln lnln 21212211 xxxxxxxx 解 时 1 a 10 1ln 1 ln xxxxxxf 则 令得 x x xxxf 1 ln 1ln ln 0 x f 2 1 x 当时 在是减函数 2 1 0 x0 x f xf 2 1 0 当时 在是增函数 1 2 1 x0 x f xf 1 2 1 在时取得最小值 即 xf 2 1 x 2 1 ln 2 1 f 2ln ln lnln 21212211 xxxxxxxx 1212 112212 12121212 22 lnln2lnln2lnln xxxx xxxxxx xxxxxxxx 121122 12121212 2222 lnln 2 xxxxxx xxxxxxxx 不妨设 其中 则2 22 21 2 21 1 xx x xx x b xx x 1 2 21 1 10 bb xx x 1 2 21 2 原式 12 1 ln 1 1 ln 1 2 xx bbbb 12 ln 1 ln 1 ln 1 ln 1 2 xx bbbbbb 2 12 1 ln 1 ln 21 xxb bb b 1 1 ln 1 1 ln 2 21 b b bbb xx 12 1 ln 1 1 ln 2 1 b b xxb bb b 1 1 21 1 1 ln 2 b b b bxx Rxx b b