陕西省西安市2013届高三数学第三次模拟考试试题 文 新人教A版

陕西省西安市陕西省西安市 20132013 届高三数学第三次模拟考试试题届高三数学第三次模拟考试试题 第第 卷卷 选择题选择题 共共 5050 分分 一 选择题 本大题共 10 题 每小题 5 分 共 50 分 1 若集合 0 1 x Ax x 2 2 Bx xx 则AB A 01 xx B 01 xx C 01 xx D 01 xx 2 若复数z满足izz 1 则复数z的模为 A 1 B 2 2 C 2 D 2 3 若三棱锥的三视图如右图所示 则该三棱锥的体积为 A 80 B 40 C 3 80 D 3 40 4 若ABC 的三个内角满足sin sin sin5 11 13ABC 则 ABC A 一定是锐角三角形 B 一定是直角三角形 C 一定是钝角三角形 D 可能是锐角三角形 也可能是钝角三角形 5 函数 lg sin f xx 是 A 最小正周期为 的奇函数 B 最小正周期为2 的奇函数 C 最小正周期为 的偶函数 D 最小正周期为2 的偶函数 6 按右面的程序框图运行后 输出的S应为 A 26 B 35 C 40 D 57 7 若数列 n a满足15 1 a 且233 1 nn aa 则使0 1 kk aa的 k值为 A 22 B 21 C 24 D 23 8 1 a 是 直线 1 l 012 yax与 2 l 04 1 yax i 5 否 开始 S 0 i 1 T 3i 1 S S T i i 1 是 输出 S 结束 平行 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 9 设 1 F 2 F分别为双曲线 22 22 1 xy ab 0 0 ab 的左 右焦点 若在双曲线右支上存在一点P 满足 212 PFFF 且 2 F到直线 1 PF的距离等于双曲线的实轴长 则该双曲线的离心率为 A 3 4 B 3 5 C 4 5 D 4 41 10 一个赛跑机器人有如下特性 1 步长可以人为地设置成1 0米 2 0米 3 0米 8 1米或9 1米 2 发令后 机器人第一步立刻迈出设置的步长 且每一步的行走过程都在瞬时完成 3 当设置的步长为a米时 机器人每相邻两个迈步动作恰需间隔a秒 若设这个机器人以x 9 1 8 1 3 0 2 0 1 0 x 米的步长跑50米 允许超出50米 所需的时间为 xf秒 则 5 0 6 1 ff A 1 0 B 2 1 C 8 0 D 4 0 第第 卷卷 共共 100100 分分 二 填空题 本大题共 5 小题 每小题 5 分 共 25 分 11 圆 22 4 15xy 与抛物线 2 4yx 的交点个数为 12 若向量 cos sin a 3 1 b 则 ab 的最大值为 13 若实数yx 满足14xy 且23xy 则yxp32 的取值范围是 14 连掷两次骰子得到的点数分别为m和n 若记向量 mn a 与向量 12 b的夹角为 则 为 锐角的概率是 15 请考生从以下三个小题中任选一个作答 若多选 则按所选的第一题计分 A A 不等式选讲不等式选讲 若实数cba 满足4 222 cba 则cba543 的最大值为 B B 几何证明选讲几何证明选讲 以Rt ABC 的直角边AB为直径的圆O交AC边于点E 点D在BC上 且DE与圆 O相切 若 56A 则 BDE C C 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 在极坐标系中 曲线 3 cos 4 与直线1 6 sin 的两个交点之间的距 离为 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 16 本题本题 1212 分分 某同学在一次研究性学习中发现 以下五个式子的值都等于同一个常数a 17cos13sin17cos13sin 22 15cos15sin15cos15sin 22 12cos18sin12cos18sin 22 48cos 18sin 48cos 18 sin 22 55cos 25sin 55cos 25 sin 22 1 从上述五个式子中选择一个 求出常数a 2 根据 1 的计算结果 将该同学的发现推广为一个三角恒等式 并证明你的结论 17 本题本题 1212 分分 随机抽取某中学甲乙两班各10名同学 测量他们的身高 单位 cm 获得身高数据的茎叶图 如图 1 根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高 2 计算甲班的样本方差 3 现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于 173cm 的同学 求身高为176cm 的同学被抽中的概率 18 本题本题 1212 分分 如图 四棱锥PABCD 的底面ABCD是正方形 棱PD 底面ABCD PDDC E是 PC的中点 1 证明 PA平面BDE 2 证明 平面BDE 平面PBC 19 本题本题 1212 分分 在数列 n a中 1 2 3 a 且对任意的 Nn 都有 1 2 1 n n n a a a 1 求证 1 1 n a 是等比数列 2181 99101703689 883216258 8159 甲班乙班 E P D C B A 2 若对任意的 Nn 都有 1nn apa 求实数p的取值范围 20 本题本题 1313 分分 已知椭圆C 1 2 2 2 2 b y a x 0 ba的离心率为 3 6 过右焦点F且斜率为1的直线交椭 圆C于BA 两点 N为弦AB的中点 O为坐标原点 1 求直线ON的斜率 ON k 2 对于椭圆C上的任意一点M 设OBOAOM RR 求证 1 22 21 本题本题 1414 分分 设函数 1ln 2 xaxxf有两个极值点 21 x x 且 21 xx 1 求实数a的取值范围 2 当 8 3 a时 判断方程 4 1 xf的实数根的个数 并说明理由 高高 20132013 届第三次五校联考数学届第三次五校联考数学 文文 参考答案参考答案 一 选择题 本大题共 10 题 每小题 5 分 共 50 分 题号 12345678910 答案 A AB BD DC CC CC CD DA AB BA A 二 填空题 本大题共 5 小题 每小题 5 分 共 25 分 11 4 12 3 13 3 8 14 1 6 15 A A 210 B B 68 C C 32 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 16 本题本题 1212 分分 某同学在一次研究性学习中发现 以下五个式子的值都等于同一个常数a 17cos13sin17cos13sin 22 15cos15sin15cos15sin 22 12cos18sin12cos18sin 22 48cos 18sin 48cos 18 sin 22 55cos 25sin 55cos 25 sin 22 1 试从上述五个式子中选择一个 求出常数a 2 根据 1 的计算结果 将该同学的发现推广为一个三角恒等式 并证明你的结论 解 1 选择 式计算 4 3 30sin 2 1 115cos15sin15cos15sin 22 a 4 分 2 猜想的三角恒等式为 4 3 30cos sin 30 cossin 22 6 分 证明 30cos sin 30 cossin 22 22 sin cos30 cossin30 sin sin cos30 cossin30 sin 2222 33131 sincossincossinsincossin 42422 22 333 sincos 444 12 分 17 本题本题 1212 分分 随机抽取某中学甲乙两班各10名同学 测量他们的身高 单位 cm 获得身高数据的茎叶图 如图 1 根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高 2 计算甲班的样本方差 3 从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于 173cm 的同学 求身高为176cm 的同学被抽中的概率 解 1 由茎叶图可知 对比两班身高集中于179 160之间的数据可知乙班 平均身高应高于甲班 而其余数据可直接看出身高的均值是相等的 因此乙班平均身高应高于甲班 3 分 2 由题意知甲班样本的均值为 158 162 163 168 168 170 171 179 179 182 170 10 x 故甲班样本的方差为 222222 1 158 170 162 170 163 170 168 170 168 170 170 170 10 2222 171 170 179 170 179 170 181 170 57 7 分 2181 99101703689 883216258 8159 甲班乙班 3 设 身高为176cm 的同学被抽中 的事件为A 从乙班的10名同学中抽中两名身高不低于173cm 的 同学有 181 173 181 176 181 178 181 179 179 173 179 176 179 178 178 173 178 176 176 173 共10个基本事件 而事件A含有4个基本事件 故 42 105 P A 12 分 18 本题本题 1212 分分 如图 四棱锥PABCD 的底面ABCD是正方形 棱PD 底面ABCD PDDC E是 PC的中点 1 证明 PA平面BDE 2 证明 平面BDE 平面PBC 证明 1 连结AC 设AC与BD交于O点 连结EO 底面 ABCD 是正方形 O为AC的中点 又E为PC的中点 OEPA OE 平面BDE PA 平面BDE PA平面BDE 6 分 2 PDDC E是PC的中点 DEPC PD 底面ABCD PDAD 又由于ADCD PDCDD 故AD 底面PCD 所以有ADDE 又由题意得 ADBC 故BCDE 于是 由BCPCC DEPC BCDE 可得DE 底面PBC 故可得平面BDE 平面PBC 12 分 19 本题本题 1212 分分 在数列 n a中 1 2 3 a 且对任意的 Nn 都有 1 2 1 n n n a a a 1 求证 1 1 n a 是等比数列 2 若对任意的 Nn 都有 1nn apa 求实数p的取值范围 证 1 由 1 2 1 n n n a a a 得 1 11111 11 1 222 nn nnnn aa aaaa 又由 1 2 3 a 得 1 11 10 2a 因此 1 1 n a 是以 1 11 1 2a 为首项 以 1 2 为公比的等比数列 5 分 解 2 由 1 可得 1 1111 1 222 n n n a 即 2 21 n n n a 1 1 1 2 21 n n n a 于是所求的问题 对任意的nN 都有 1nn apa 成立 可以等价于问题 对任意的 Nn 都 E P D C B A 有 11 1 111 221221 1 2122121 nnn n nnnn n a p a 成立 若记 1 1 1 21 n f n 则 f n显然是单调递减的 故 1 1 16 1 1 215 f nf 所以 实数p的取值范围为 6 5 p 12 分 20 本题本题 1313 分分 已知椭圆C 1 2 2 2 2 b y a x 0 ba的离心率为 3 6 过右焦点F且斜率为1的直线交椭 圆C于BA 两点 N为弦AB的中点 1 求直线ON O为坐标原点 的斜率 ON k 2 对于椭圆C上的任意一点M 设OBOAOM RR 求证 1 22 解 1 设椭圆的焦距为c2 因为 3 6 a c 所以有 3 2 2 22 a ba 故有 22 3ba 从而椭圆C的方程可化为 222 33byx 易知 右焦点F的坐标为 0 2b 据题意有AB所在的直线方程为 bxy2 由 有 03264 22 bbxx 设 2211 yxByxA 弦AB的中点 00 yxN 由 及韦达定理有 4 2 2 4 23 2 00 21 0 bbxy bxx x 所以 3 1 0 0 x y kON 即为所求 6 分 2 显然OA与OB可作为平面向量的一组基底 由平面向量基本定理 对于这一平面内的向量OM 有且只 有一对实数 使得等式OBOAOM 成立 设 yxM 由 1 中各点的坐标有 2211 yxyxyx 故 2121 yyyxxx 8 分 又因为点M在椭圆C上 所以有 22 21 2 21 3 3 byyxx 整理可得 2 2121 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 3 3 2 3 3 byyxxyxyx 由 有 4 3 2 23 2 2121 b xx b xx 所以 0693 6 234 2 2 33 222 2 212121212121 bbb bxxbxxbxbxxxyyxx 又点 BA 在椭圆C上 故有 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 3 3 3 3 byxbyx 将 代入 可 得 1 22 13 分 21 本题本题 1414 分分 设函数 1ln 2 xaxxf有两个极值点 21 x x 且 21 xx 1 求实数a的取值范围 2 当 8 3 a时 判断方程 4 1 xf的实数根的个数 并说明理由 解 1 由 1ln 2 xaxxf可得 1 22 1 2 2 x axx x a xxf 1 x 令axxxg 22 2 1 x 则其对称轴为 2 1 x 故由题意可知 21 x x是方程0 xg的两 个均大于1 的不相等的实数根 其充要条件为 0 1 084 ag a 解得 2 1 0 a 7 分 2 由 8 3 a可知 4 3 1 x 4 1 2 x 从而易知函数 xf在 4 3 1 上单调递增 在 4 1 4 3 上单调