湖南省重点中学2012届高三数学第一次月考试题 理

1 20122012 届高三月考试卷 一 理科数学届高三月考试卷 一 理科数学 本试题卷包括选择题 填空题和解答题三部分 共 8 页 时量 120 分钟 满分 150 分 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 1 复数 2 i i 的虚部是 A 1 B 1 C 2 D 2i 答案答案 C 2 命题 2 230 xxx R 的否定是 A 2 230 xxx R B 2 230 xxx R C 2 230 xxx R D 2 230 xxx R 答案答案 B 3 1 1 sin 1 dxx 的值为 A 2 B 0 C 2 2cos1 D 2 2cos1 答案答案 A 4 下图是一个几何体的三视图 根据图中数据 可得该几何体的表面积是 A 6 B 7 C 8 D 9 答案答案 B 5 在 ABC中 AB 3 AC 5 若O为 ABC的外心 则AO BC A 34 B 16 C 8 D 0 答案答案 C 2 6 已知变量x y满足 2 40 10 x xy xy 则 y x 的最大值是 A 4 B 2 C 1 D 1 2 答案答案 C 7 函数y loga x 3 1 a 0 且a 1 的图象恒过定点A 若点A在直线mx ny 1 0 上 其中m n 0 则 12 mn 的最小值等于 A 16 B 12 C 9 D 8 答案答案 D 8 已知f x 是定义在 R R 上的函数 f 1 10 且对于任意x R R 都有f x 20 f x 20 f x 1 f x 1 若g x f x 1 x 则g 10 A 20 B 10 C 1 D 0 答案答案 B 二 填空题 本大题共 8 个小题 考生作答 7 小题 每小题 5 分 共 35 分 一 必做题 9 13 题 9 某程序的框图如图所示 则执行该程序 输出的结果a 答案答案 127 10 在区间 0 1 上任取两实数a b 则使a b 1 的概率为 答案答案 1 2 11 已知曲线y 3x2 2x在点 1 5 处的切线与直线 2ax y 6 0 平行 则a 3 答案答案 4 12 过抛物线y2 4x的焦点F作斜率为 4 3 的直线交抛物线于A B两点 若 1 AFFB 则 答案答案 4 13 如图所示 将数以斜线作如下分群 1 2 3 4 6 5 8 12 10 7 16 24 20 14 9 并顺次称其为第 1 群 第 2 群 第 3 群 第 4 群 1 第 7 群中的第 2 项是 2 第n群中n个数的和是 答案答案 1 96 2 3 2n 2n 3 二 选做题 14 16 题 考生只能选做两题 三题全答的 只计算第 14 15 题的得分 14 坐标系与参数方程 在极坐标系中 定点A 2 动点B在直线 2 sin 42 上运动 则线段AB的最短长度为 答案答案 3 2 2 15 几何证明选讲 如图 在半径为 2 的 O中 AOB 90 D为OB的中点 AD的延长 线交 O于点E 则线段DE的长为 答案答案 3 5 5 4 16 优选法选讲 用 0 618 法选取试点的过程中 如果实验区间为 2 4 前两个试点依次 为x1 x2 若x1处的实验结果好 则第三试点的值为 答案答案 3 528 或 2 472 填一个即可 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 17 本小题满分 12 分 已知a a sinx cosx cos 3cos xx b 函数 3 2 f x a b 1 求f x 的最小正周期 2 当0 2 x 时 求函数f x 的值域 解析解析 1 2 3 sincos3cos 2 f xxxx 1 分 133 sin2 cos21 222 xx 3 分 sin 2 3 x 5 分 函数f x 的最小正周期为 6 分 2 0 2 x 2 2 333 x 8 分 3 sin 2 1 23 x 11 分 即f x 的值域为 3 1 2 12 分 18 本小题满分 12 分 某工厂 2011 年第一季度生产的A B C D四种型号的产品产量用条形图表示如图 现用分 层抽样的方法从中选取 50 件样品 参加四月份的一个展销会 1 问A B C D型号的产品各抽取多少件 从 50 件样品中随机的抽取 2 件 求这两件 产品恰好是不同型号的产品的概率 2 从A C型号的产品中随机的抽取 3 件 用 表示抽取A种型号的产品件数 求 的 5 分布列和数学期望 解析解析 1 从条形图上可知 共生产产品有 50 100 150 200 500 件 样品比为 501 50010 所以A B C D四种型号的产品分别取 1111 10010 20020 505 15015 10101010 即样品中应抽取A产品 10 件 B产品 20 件 C产品 5 件 D产品 15 件 3 分 从 50 件产品中任取 2 件共有 2 50 C1225 种方法 2 件恰为同一产品的方法数为 2222 1020515 CCCC350 种 所以 2 件恰好为不同型号的产品的概率为 3505 1 12257 6 分 2 3 5 3 15 C2 0 91C P 12 105 3 15 CC20 1 91C P 21 105 3 15 CC45 2 91C P 3 10 3 15 C24 3 91C P 10 分 所以 的分布列为 11 分 204524 232 919191 E 12 分 19 本小题满分 12 分 如图 在直三棱柱ABC A1B1C1中 ACB 90 2AC AA1 BC 2 1 若D为AA1中点 求证 平面B1CD 平面B1C1D 2 当AD的长等于多少时 二面角B1 DC C1的大小为 60 解析解析 解法一 1 A1C1B1 ACB 90 B1C1 A1C1 又由直三棱柱性质知B1C1 CC1 B1C1 平面ACC1A1 B1C1 CD 2 分 6 由D为中点可知 1 2DCDC DC2 DC12 CC12 即CD DC1 由 可知CD 平面B1C1D 又CD 平面B1CD 故平面B1CD 平面B1C1D 6 分 2 由 1 可知B1C1 平面ACC1A1 在平面ACC1A1内过C1作C1E 平面CD 交CD或延长 线于E 连接EB1 由三垂线定理可知 B1EC1为二面角B1 DC C1的平面角 B1EC1 60 8 分 由B1C1 2 知 1 2 3 3 C E 设AD x 则 2 1DCx DCC1的面积为 1 2 12 3 11 23 x 解得2x 即2AD 12 分 解法二 1 如图所示 以C为原点 CA CB CC1所在直线为x y z轴建立空间直角坐 标系 则C 0 0 0 A 1 0 0 B1 0 2 2 C1 0 0 2 D 1 0 1 即 111 0 2 0 1 0 1 1 0 1 C BDCCD 由 11 1 0 1 0 2 0 0000CD C B 得CD C1B1 由 1 1 0 1 1 0 1 1010CD DC 得CD DC1 又DC1 C1B1 C1 CD 平面B1C1D 平面B1CD 平面B1C1D 6 分 2 设AD a 则D点坐标为 1 0 a 1 1 0 0 2 2 CDa CB 设平面B1CD的法向量为m m x y z 则由 1 00 220 0 CBxaz yz CD m m 令z 1 得m m a 1 1 又平面C1DC的法向量为n n 0 1 0 则由 2 11 cos60 2 2a m n m n 即2a 故2AD 12 分 7 20 本小题满分 13 分 为了加强环保建设 提高社会效益和经济效益 长沙市计划用若干时间更换一万辆燃油型公 交车 每更换一辆新车 则淘汰一辆旧车 替换车为电力型和混合动力型车 今年初投入了 电力型公交车 128 辆 混合动力型公交车 400 辆 计划以后电力型车每年的投入量比上一年 增加 50 混合动力型车每年比上一年多投入a辆 1 求经过n年 该市被更换的公交车总数S n 2 若该市计划 7 年内完成全部更换 求a的最小值 解析解析 1 设an bn分别为第n年投入的电力型公交车 混合动力型公交车的数量 依题意 an 是首项为 128 公比为 3 150 2 的的等比数列 bn 是首项为 400 公差为a的等差数列 an 的前n项和 3 128 1 3 2 256 1 3 2 1 2 n n n S bn 的前n项和 1 400 2 n n n Tna 所以经过n年 该市更换的公交车总数为 3 1 256 1 400 22 n nn n n S nSTna 7 分 2 若计划 7 年内完成全部更换 所以S 7 10000 所以 7 376 256 1 400710000 22 a 即 21a 3082 所以 16 146 21 a 又a N N 所以a的最小值为 147 13 分 21 本小题满分 13 分 已知椭圆的中心在坐标原点O 焦点在x轴上 短轴长为 2 且两个焦点和短轴的两个端点 恰为一个正方形的顶点 过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P Q两点 1 求椭圆的方程 2 在线段OF上是否存在点M m 0 使得以MP MQ为邻边的平行四边形是菱形 若存在 求出m的取值范围 若不存在 请说明理由 解析解析 1 b c 1 2a 所求椭圆的方程为 2 2 1 2 x y 4 分 2 假设在线段OF上存在点M m 0 0 m 1 使得以MP MQ为邻边的平行四边形是菱 形 因为直线与x轴不垂直 所以设直线l的方程为y k x 1 k 0 由 22 22 1 xy yk x 可得 1 2k2 x2 4k2x 2k2 2 0 22 1212 22 422 1212 kk xxx x kk 8 分 11222121 MPxm yMPxm yPQxx yy 其中x2 x1 0 8 以MP MQ为邻边的平行四边形是菱形 0MPMQPQMPMQPQ 12122121 2 0 xxm yyxx yy 12211221 1212 22 2 22 2 22 2 2 0 2 0 44 2 2 0 1212 2 24 0 0 12 xxm xxyyyy xxmk yy kk mk kk k kkmmk k 1 0 2 m 13 分 22 本小题满分 13 分 已知f x lnx ax2 bx 1 若a 1 函数f x 在其定义域内是增函数 求b的取值范围 2 当a 1 b 1 时 证明函数f x 只有一个零点 3 f x 的图象与x轴交于A x1 0 B x2 0 x1 x2 两点 AB中点为C x0 0 求证 f x0 0 解析解析 1 依题意 f x lnx x2 bx f x 在 0 上递增 1 20fxxb x 对x 0 恒成立 即 1 2bx x 对x 0 恒成立 只需 min 1 2 bx x 2 分 x 0 1 22 2x x 当且仅当 2 2 x 时取 2 2b b的取值范围为 2 2 4 分 2 当a 1 b 1 时 f x lnx x2 x 其定义域是 0 2 121 1 21 21 xxxx fxx xxx x 0 当 0 x 1 时 f x 0 当x 1 时 f x 0 函数f x 在区间 0 1 上单调递增 在区间 0 上单调递减 6 分 当x 1 时 函数f x 取得最大值 其值为f 1 ln1 12 1 0 当x 1 时 f x f 1 即f x 0 函数f x 只有一个零点 8 分 3 由已知得 22 1111111 22 2222111 ln0ln ln0ln f xxaxbxxaxbx f xxaxbxxaxbx 两式相减 得 1 121212 2 ln x a xx