高中数学 3.1.3用二分法求方程的近似解教案 新人教A版必修1

用心 爱心 专心 3 1 33 1 3 用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解 一 教学目标 1 知识与技能 掌握应用二分法求方程近似解的原理与步骤 会用二分法求方程的近似解 2 过程与方法 体会通过取区间中点 应用零点存在性定理 逐步缩小零点所属区间的范围 而获得 零点的近似值即方程的近似解的过程中理解二分法的基本思想 渗透算法思想 3 情感 态度及价值观 在灵活调整算法 在由特殊到一般的认识过程中 养成良好的学习品质和思维品质 享受数学的无穷魅力 二 教学重点与难点 重点 用二分法求方程的近似解 难点 二分法原理的理解 三 教学方法 讲授法与合作交流相结合 通过老师恰当合理的讲授 师生之间默切的合作交流 认 识二分法 理解二分法的实质 从而能应用二分法研究问题 达到知能有机结合的最优结 果 四 教学过程 教学环节教学内容师生互动设计意图 提出问题 引入课题 1 问题 一元二次方程可用 判别式判定根的存在性 可 用求根公式求方程的根 但 对于一般的方程 虽然可用 零点存在性定理判定根的存 在性 而没有公式 求根 如何求得方程的根呢 函数f x lnx 2x 6 在区间 2 3 内有零 点 如果能够将零点所在的范 围尽量缩小 那么在一定精 确度的要求下 我们可以得 到零点的近似值 通过 取中点 的方法逐 步缩小零点所在的范围 取区间 2 3 的中点 2 5 用计算器算得f 2 5 0 084 因为f 2 5 f 3 0 所以零 点在区间 2 5 3 内 再取 内间 2 5 3 的中点 2 75 用计算器算得f 师 怎样求方程 lnx 2x 6 0 的根 引导 观察图形 生 方程的根在 2 3 区间内 师 能否用缩小区间的方法逼近方 程的根 生 应该可用 师 我们现用一种常见的数学方法 二分法 共同探究已知方程的根 师生合作 借助计算机探求方程根 的近似值 区间中点的值中点函数近 似值 2 3 2 5 0 084 2 5 3 2 750 512 由旧到新设 疑 析疑导 入课题 实 例分析了解 二分法 进 一步师生合 作尝试二分 法 用心 爱心 专心 2 75 0 512 因为f 2 5 f 2 75 0 所以 零点在区间 2 5 2 75 内 由于 2 3 2 5 3 2 5 2 75 所以零点 所在的范围确实越来越小了 例如 当精确度为 0 01 时 由于 2 539 062 5 2 531 25 0 007 812 5 0 01 所以 我们可以 将x 2 531 25 作为函数 f x lnx 2x 6 零 点的近似值 也即方程 lnx 2x 6 0 根的近似值 2 5 2 75 2 6250 215 2 5 2 625 2 56250 066 2 5 2 5625 2 53125 0 009 2 53125 2 5625 2 5468750 029 2 53125 2 546875 2 53906250 010 2 53125 2 5390625 2 535156250 001 形成概念 1 对于区间 a b 上连续 不断且f a f b 0 的 函数y f x 通过不断 地把函数f x 的零点所在 的区间一分为二 使区间的 两个端点逐步逼近零点 进 而得到零点近似值的方法叫 做二分法 2 给定精确度 用二分 法求函数f x 零点近似值 的步聚如下 1 确定区间 a b 验 证f a f b 0 给定 精确度 2 求区间 a b 的中点 c 3 计算f c 若f c 0 则c就是 函数的零点 若f a f c 0 则 令b c 此时零点 x0 a c 若f c f b 0 则 令a c 此时零点 x0 c b 4 判断是否达到精确度 即若 a b 则 师生合作回顾实例 求方程 lnx 2x 6 0 的近似 解 精确度 0 01 的操作过程 掌握 二分法 总结应用二分法的步骤 师 讲授二分法的定义 生 总结应用二分法的步骤 学生交流总结 学生代表口述步骤 老师完善并板书 由特殊到一 般形成概念 归纳总结应 用二分法的 步骤 用心 爱心 专心 得到零点近似值a 或b 否则重复 2 4 应用举例 例 1 借助计算器或计算机 用二分法求方程 2x 3x 7 的近似解 精确度 0 1 师生合作应用二分法 遵循二分法 的步骤求解 并借助函数图象检验 例 1 解 原方程即 2x 3x 7 0 令f x 2x 3x 7 用计 算器或计算机作出函数f x 2x 3x 7 的对应值表与图象 x01234 f x 2x 3x 7 6 231021 x5678 f x 2x 3x 74075 142 273 观察图或表可知f 1 f 2 0 说明这个函数在区间 1 2 内有零 点x0 取区间 1 2 的中点x1 1 5 用计 算器算得f 1 5 0 33 因为 f 1 f 1 5 0 所以 x0 1 1 5 再取 1 1 5 的中点x2 1 25 用计 算器算得f 1 25 0 87 因为 f 1 25 f 1 5 0 所以 x0 1 25 1 5 同理可得x0 1 375 1 5 x0 1 375 1 4375 由于 1 375 1 4375 0 0625 0 1 所以 原方程的近似 解可取为 1 4375 尝试体验二 分法 培养 应用二分法 从而固化基 本理论技能 巩固练习 1 借助计算器或计算机 用二分法求函数f x x3 1 1x2 0 9x 1 4 在区 间 0 1 内的零点 精确度 0 1 学生动手尝试练习 师生借助计算 机合作完成求解 1 解 由题设可知f 0 1 4 0 f 1 1 6 0 于是f 0 f 1 0 所以 函数f x 在区间 0 1 内有 一个零点 下面用二分法求函数f x x3 1 1x2 0 9x 1 4 在区间 0 1 进一步体验 二分法 巩 固应用二分 法的方法与 技巧及注意 事项 用心 爱心 专心 2 借助计算器或计算机 用二分法求方程x 3 lgx在区间 2 3 内的近似 解 精确度 0 1 内的零点 取区间 0 1 的中点x1 0 5 用计 算器可算得f 0 5 0 55 因为 f 0 5 f 1 0 所以x0 0 5 1 再取区间 0 5 1 的中点x2 0 75 用计算器可算得f 0 75 0 32 因为f 0 5 f 0 75 0 所以x0 0 5 0 75 同理可得x0 0 625 0 75 x0 0 625 0 6875 x0 0 65625 0 6875 由于 0 6875 0 65625 0 3125 0 1 所以原方程的近似解可取为 0 65625 2 解原方程即x lgx 3 0 令f x x lgx 3 用计算器 可算得f 2 0 70 f 3 0 48 于是f 2 f 3 0 所以 这个方程在区间 2 3 内有 一个解 下面用二分法求方程x 3 lgx 在区间 2 3 内的近似解 取区间 2 3 的中点x1 2 5 用 计算器可算得f 2 5 0 10 因为f 2 5 f 3 0 所以x0 2 5 3 再取区间 2 5 3 的中点x2 2 75 用计算器可算得f 2 75 0 19 因为f 2 5 f 2 75 0 所以x0 2 5 2 75 同理可得x0 2 5 2 625 x0 2 5625 2 625 由于 2 625 2 5625 0 0625 0 1 所以原方程的近似解可取为 2 5625 课后练习3 1 第三课时 习案学生独立完成 巩固二分法 应用技能 备选例题 例 1 用二分法求函数f x x3 3 的一个正实数零点 精确到 0 1 解析 由于f 1 2 0 f 2 5 0 因此可以确定区间 1 2 作为计算的 用心 爱心 专心 初始区间 用二分法逐步计算 列表如下 端点或中点的横坐标计算端点或中点的函数值定区间 a0 1 b0 2f 1 2 f 2 5 1 2 0 12 1 5 2 x f x0 0 375 0 1 1 5 1 1 1 5 1 25 2 x f x1 1 0469 0 1 25 1 5 2 1 25 1 5 1 375 2 x f x2 0 4004 0 1 375 1 5 3 1 375 1 5 1 4375 2 x f x3 0 0295 0 1 4375 1 5 4 1 4375 1 5 1 46875 2 x f x4 0 1684 0 1 43