高中数学 第一章《导数及其应用》素材（3） 新人教A版选修2-2

1 高考导数问题的命题研究与备考策略高考导数问题的命题研究与备考策略 1 考查形式与特点 1 高考对函数概念的考查主要有 求函数的定义域 值域及反函数 这类题型直接通 过具体问题找出函数关系 再研究函数的定义域 值域及反函数 2 在每年的高考试题中 以中等难度题型设计新颖的试题考查函数的性态 即函数 的单调性 奇偶性 周期性和函数图象的对称性等 近两年 以组合形式一题多角度考查函 数性质的高考题正成为新的热点 3 以比较容易的中档题来考查函数性质的灵活运用 在考查函数内容的同时也考查能 否用运动 变化的函数观点观察问题 分析问题 解决问题 4 函数的最值问题在高考试卷中几乎年年出现 它们是高考中的重要题型之一 特别 是函数在经济生活中的应用问题 大多数都是最值问题 这类考题在近几年考查明显增 加 此类考题一要掌握求函数最值的几种常用方法与技巧 二要灵活 准确地列出模型函 数 5 近几年 为了突出函数在中学数学中的主线地位 高考强化了对函数推理 论证能 力 代数推理题是高考的热点题型 及探索性问题的综合考查 加大了以函数为载体的多种方 法 多种能力 甚至包括阅读能力 理解能力 表述能力 信息处理能力 的综合程度 这类 试题或者是函数与其他知识的糅合 或者是多种方法的渗透 每道考题都具有鲜明的特色 值得深思 6 函数与解析几何 不等式 方程 数列 参数范围 导数等内容结合在一起 以曲 线方程的变换 参数范围的探求及最值问题综合在一起编拟的新颖考题 成为近几年高考中 的高档解答题 以综合考查应用函数知识分析 解决问题的能力坝 I 试对函数思想方法的理 解与灵活运用 等价转化及数形结合和分类讨论等解题策略和掌握程度 这类试题每年至少 会有一个 7 高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现 侧重于考查导数在函 数与解析几何中的应用 主要有以下三个方面 运用导数的有关知识 研究函数最值问题 一直是高考长考不衰的热点内容 另一方面 从数学角度反映实际问题 建立数学模型 转 化为函数的最大值与最小值问题 再利用函数的导数 顺利地解决函数的最大值与最小值问 题 从而进一步地解决实际问题 利用导数的几何意义 研究曲线的切线斜率问题也是导 数的一个重要作用 并且也是高考考查的重点内容之一 函数 y f x 在 X Xo 处的导数 表示 曲线在点 P x0 f x0 处的切线斜率 运用导数的有关知识 研究函数的单调性是导数的又 一重点应用 在高考中所占的地位是比较重的 2 命题趋势 由于函数在数学中具有举足轻重的地位 它仍必将是高考的一个热点 而且对能力的考 查还将高于课程标准 1 对函数的概念 基本性质及图象的考查主要以小题的形式出现 2 函数与不等式 数列 向量 解析几何等知识的综合问题会以解答题形式出现 属 于理解 灵活运用层次 难度较大 3 通过函数应用题考查建立函数模型及解读信息的能力 将是高考命题的热点之一 4 新课程新增内容中与函数有关的内容 函数连续与极限 导数是考查的重点 所 占比重将进一步加大 典例剖析 例 1 已知函数 f x x2 2ax b x R 给出下列命题 f x 必是偶函数 2 f 0 f 2 时 f x 的图象必关于直线 x 1 对称 若 a2 b 0 则 f x 在区间 0 上是增函数 f x 有最大值 a2 b 其中正确的命题的序号是 解析 显然是错误的 由 f O f 2 有 b 4 4a b 而 f x 1 x 1 2 2a x 1 b x2 2 2a x 2a b l f 1 x 1 x 2 2a 1 x b x2 2 2a x 2a b 1 f x 1 f l x 故 f x 不是关于 x 1 对称 所以 不对 f x x a 2 b a2 当 a2 b 0 时 b a2 0 所以 f x x a 2 b a2 故当 x a 时 f x 单调递增的 故 正确 当 a2 b 0 时 f a b a2 a2 b 其图象如图 所以 错误 答案 剖析 函数的性质是高考试题考查的热点之一 本题涉及了函数的单调性 奇偶性 对称性以及最值 综合性较强 对于多项选择填空题 由于各选项相互独立 解答时应逐一 检验判断 例 2 已知二次函数 y f x 经过点 0 10 导函数 f x 2x 5 当 x n n 1 x N 时 f x 是整数的个数记为 an 1 求数列 an 的通项公式 2 令 bn 1 4 nna a 求数列 an bn 的前 n 项和 Sn n 3 解析 1 由 f x 2x 5 可以设此二次函数为 f x x2 5x c c 为常数 因 f x 图象过 0 10 故 c 10 故二次函数为 f x x2 5x 10 x 2 5 2 4 15 又 因 x n n 1 n N 时 f x 为整数的个数为 an f x 在 1 2 上的值域为 4 6 al 2 f x 在 2 3 上的值域为 4 15 4 a2 1 当 n 3 时 f x 在 n n 1 上单调递增 其值城为 f n f n 1 an f n 1 f n 2n 4 an 3 42 2 1 1 2 nn n n 2 令 cn an bn 则 c1 a1 b1 4 c2 a2 b2 3 当 n 3 时 Sn c1 c2 c3 cn 7 a3 an b3 bn 7 2 42 2 n n 2 42 4 64 4 22 42 4 nn 3 7 n 1 n 2 2 22 1 2 1 n n2 3n 1 1110 n n 剖析 本题主要体现导数与函数 数列方面的综合应用 3 应试对策 1 由于函数内容固有的重要性 预计在以后高考试题中所占比例仍远远大于在课时和 知识点中的比例 约为 20 既可以 低档题 选择 填空形式出现 如集合 映射 函数基本性质以及反函数多属此类 也可以 中档题 高档题 的形式出现 多与其他问 题联系在一起 2 考试的热点内容仍以考查函数的定义域 值域 反函数及图象 运用函数性质的题 型为主 其中对运用函数奇偶性 单调性 周期性 对称性的题型是重点考查内容 应予以 高度重视 关于函数性质的考题中 使用具体函数的约占 3 1 而使用抽象函数的约占 3 2 所 以 针对这种高考命题形势 在复习函数性质时 应着重强化将具体函数的有关内容进行延 伸 以适应高考命题的要求 3 应充分注意函数的图象题型 这类考题往往在选择题中出现 会处理 读图题型 和函数图象的平移变换 伸缩变换 对称变换等问题 灵活运用函数的图象与对称性解题 4 在注意函数应用性问题 探索性问题和以函数为载体的综合性问题的同时 更要注 意函数与导数的交叉题型 5 导数是新教材增加的内容 近几年的高考试题 与时俱进 逐步加深 有关导数的 高考题主要考查导数的几何意义 函数的单调性 极值 应用问题中的最值 由于导数的工 具性 好多问题用导数处理显得简捷明了 用导数研究函数的性质比用初等方法研究要方便 得多 因此 导数在函数中的应用作为高考命题重点应引起高度注意 考查的方向还是利用 导数求函数的极大 小 值 求函数在连续区间 a b 上的最大值或最小值 或利用求导法解 应用题 研究函数的单调性或求单调区间等 这些已成为高考的一个新的热点问题 利用导 数的几何意义作为解题工具 有可能出现在解析几何综合试题中 复习时要注意到这一点 高考中导数问题的六大热点高考中导数问题的六大热点 导数部分内容 由于其应用的广泛性 为解决函数问题提供了一般性的方法及简捷地解 决一些实际问题 因此在高考新课程卷中占有较为重要的地位 其考查重点是导数判断或论 证单调性 函数的极值和最值 利用导数解决实际问题等方面 常以一小一大或二小一大的 试题出现 分值 12 17 分 下面例析导数的六大热点问题 供参考 一 运算问题一 运算问题 是指运用导数的定义 常见函数的导数 函数和差积商的导数 及复合函数 隐函数的 导数法则 直接求出其导数的运算问题 例例 1 1 已知na 0 为正整数 设 1 nn axnyaxy证明 证明证明 因为 n k k n n Cax 0 kkn xa 4 所以 1 0 n n kk k ykax n k n 0 111 1 kn kkn n Caxn xa 例例 2 2 已知y x 1 2 用定义法求y 求y 2x2 3x 4 2 32 xx 的导数 已知函数f x 2 1ax 且 f 1 2 求a的值 分析 分析 对于 运用导数的定义 即y 0 lim x y x 即可解决 对于 可应用 u v v u以及 1 xx 解之 对于 是逆向型的复合函数导数运算问题 用 xux yyu 及方程思想即可解决 解析 解析 y 0 lim x y x 22 00 1 1 limlim 22 xx xxx xx x 2x 2 由法则 即得y 4x 3 23 34 xx fx 2 1 ax2 1 1 2 2ax 即 f 1 a a 1 1 2 2 解得a 2 二 切线问题二 切线问题 是指运用导数的几何意义或物理意义 解决瞬时速度 加速度 光滑曲线切线的斜率等 三类问题 特别是求切线的斜率 倾斜角及切线方程问题 其中 曲线y f x 在点P x0 f x0 处的斜率k 倾斜角为 则 tan k 0 fx 其切线l的方程为 y y0 0 fx x x0 若曲线y f x 在点P x0 f x0 的切 线平行于y轴 即导数不存在 时 由切线定义知 切线方程为x x0 例例 3 3 已知0 a 函数 0 1 x x ax xf 设 a x 2 0 1 记曲线 xfy 在 点 11 xfxM处的切线为l 求l的方程 设l与x轴交点为 0 2 x 证明 a x 1 0 2 若 a x 1 1 则 a xx 1 21 5 解 解 求 xf的导数 2 1 x xf 由此得切线l的方程 1 1 1 2 1 1 xx xx ax y 证明证明 依题意 切线方程中令y 0 a xaxxxaxxx 2 0 2 1 1111112 其中 由 aa xaxxaxxx a x 1 1 0 2 2 0 2 1221121 及有 a x a x a x 11 1 0 212 时 当且仅当 a xxaxxxax a x 1 2 1 1 2111211 且由 因此 时 当 a xx 1 21 所以 例例 4 4 设0 a cbxaxxf 2 曲线 xfy 在 00 xfxP处切线的倾斜角的 取值范围是 4 0 则P到曲线 xfy 对称轴距离的取值范围是 A 1 0 a B 2 1 0 a C 2 0 a b D 2 1 0 a b 解 解 fx 2ax b 故点 00 xfxP处切线斜率k 2ax0 b tan 0 1 于是 点P到对称轴x 2 b a 的距离d x0 2 b a 0 2 2 axb a 2 1 0 a 故选 B 三 单调性问题三 单调性问题 一般地 设函数y f x 在某个区间内可导 如果f x 0 则f x 为增函数 如果 f x 0 则f x 为减函数 单调性是导数应用的重点内容 主要有四类问题 运用导数判断单调区间 证明单调性 已知单调性求参数 先证明其单调性 再运用单调证明不等式等问题 例例 5 5 设a 0 x x e a a e xf 是 R R 上的偶函数 I 求a的值 II 证明 xf在 0 上是增函数 6 解 解 依题意 对一切x R 有f x f x 即 x xx x ae aee a a e 1 所以0 1 1 x x e e a a对一切x R 成立 由此得到0 1 a a 即1 2 a 又因为0 a 所以1 a 证明证明 由 xx eexf 得 1 2 xxxx eeeexf 当x 0 时 有0 x e 01 2 x e 此时0 x f 所以 xf在 0 是增函数 评注评注 对于第 问是证明函数的单调性 虽然可利用函数单调性定义直接证明 但对 f x1 f x2 的变形要求较高 技巧性强 且运算量大 是一种 巧法 而利用导数法 简 捷明快 也成了 通法 四 极值问题四 极值问题 即运用导数解决极值问题 一般地 当函数f x 在x0处连续 判别f x0 为极大 小 值 的方法是 如果在x0附近的左侧 fx 0 右侧 fx 0 那么f x0 是极大值 如果在x0附近的左侧 fx 0 右侧 fx 0 那么f x0 是极小值 例例 6 6 函数y 1 3x x3有 A 极小值 1 极大值 1 B 极小值 2 极大值 3 C 极小值 2 极大值 2 D 极小值 1 极大值 3 分析 分析 本题是求已知三次函数的极值问题 考虑运用导数先确定函数的单调性 再求其 极值 解 解 由y 3 3x2 0 得 x 1 或x 1 当x 1 1 时 y 0 当x 1 1 时 y 0 7 因此函数y 1 3x x3在 1 上单调递减 在 1 1 上单调递增 在 1 上单调递减 即x 1 是极小值点 x 1 是极大值点 所以极小值为 1 极大 值为 3 故选 D 五 最值问题五 最值问题 运用导数求最大 小 值的一般步骤如下 若f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 则 求 fx 令 fx 0 求出在 a b 内使导数为 0 的点及导数不存在的点 比较三类点 导数不存在的点 导数为 0 的点及区间端点的函数值 其中最大者便 是