高中数学 4.1.1圆的标准方程精品教案 新人教A版必修2

1 4 1 14 1 1 圆的标准方程圆的标准方程 一 教学目标 1 知识与技能 1 掌握圆的标准方程 能根据圆心 半径写出圆的标准方程 2 会用待定系数法求圆的标准方程 2 过程与方法 进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力 渗透数形结合思想 通过圆的标准 方程解决实际问题的学习 注意培养学生观察问题发现问题和解决问题的能力 3 情感态度与价值观 通过运用圆的知识解决实际问题的学习 从而激发学生学习数学的热情和兴趣 二 教学重点 难点 重点 圆的标准方程 难点 会根据不同的已知条件 利用待定系数法求圆的标准方程 三 教学过程 教学环节教学内容师生互动设计意图 复习引入 在直角坐标系中 确定直线 的基本要素是什么 圆作为平面 几何中的基本图形 确定它的要 素又是什么呢 什么叫圆 在平 面直角坐标系中 任何一条直线 都可用一个二元一次方程来表示 那么圆是否也可用一个方程来表 示呢 如果能 这个方程具有什 么特征 由学生回答 然后引入课题 设置情境 引入课题 概念形成 确定圆的基本条件为圆心和 半径 设圆的圆心坐标为 A a b 半径为r 其中 a b r都是常数 r 0 设M x y 为这个圆上任意一点 那 么点M满足的条件是 引导学生自 己列出 P M MA r 由两 点间的距离公式让学生写出点的 坐标适合的条件 22 xaybr 化简可得 x a 2 y b 2 r2 引导学生自己证明 x a 2 y b 2 r2为圆 的方程 得出结论 方程 就是圆心为A a b 半径为r的圆的方程 我们把它叫做圆的标准方程 通过 学生自己 证明培养 学生的探 究能力 2 例 1 写出圆心为A 2 3 半径长等于 5 的圆的方程 并 判断点M1 5 7 2 5 1 M 是否在这个圆上 分析探求 可以从计算点到 圆心的距离入手 探究 点M x0 y0 与圆 x a 2 y b 2 r2的关系 的判断方法 1 x0 a 2 y0 b 2 r2 点在圆外 2 x0 a 2 y0 b 2 r2 点在圆上 3 x0 a 2 y0 b 2 r2 点在圆内 引导学生分析探究 从计算点到圆心的距离入手 例 1 解 圆心是 A 2 3 半径长等于 5 的 圆的标准方程是 x 3 2 y 3 2 25 把M1 5 7 M2 5 1 的坐标代入方程 x 2 2 y 3 2 25 左右两边相等 点M1的坐标 适合圆的方程 所以点M2在 这个圆上 把M2 5 1 的坐标代入方程 x 2 2 y 3 2 25 左右两边不 相等 点M2的坐标不适合圆 的方程 所以M2不在这个圆 上 应用举例 例 2 ABC 的三个顶点的坐 标是 A 5 1 B 7 3 C 2 8 求它的外接圆的方 程 例 2 解 设所求圆的方程 是 x a 2 y b 2 r2 因为A 5 1 B 7 3 C 2 8 都在圆上 所以它 们的坐标都满足方程 于是 师生共同分析 从圆的 标准方程 x a 2 y b 2 r2可知 要确定圆的 标准方程 可用待定系数法 确定a b r三个参数 学 生自己运算解决 通过 实例引导 学生掌握 求圆的标 准方程的 两种方法 6 4 2 2 4 5 5 A M 3 222 222 222 5 1 7 3 2 8 abr abr abr 解此方程组 得 2 2 3 25 a b r 所以 ABC的外接圆的方 程是 x 2 2 y 3 2 25 例 3 已知圆心为C的圆C 经过点A 1 1 和B 2 2 且 圆心在 l x y 1 0 上 求 圆心为C的圆的标准方程 比较例 2 例 3 可得出 ABC外接圆的标准方程的两种 求法 根据题设条件 列出关于 a b r的方程组 解方程组得 到a b r得值 写出圆的根据 确定圆的要素 以及题设条件 分别求出圆心坐标和半径大小 然后再写出圆的标准方程 练习 课本 P127 第 1 3 4 题 师生共同分析 如图确 定一个图只需确定圆心位置 与半径大小 圆心为C的圆经 过点A 1 1 和B 2 2 由于圆心C与A B两点的距 离相等 所以圆心C在线段 AB的垂直平分线m上 又圆 心C在直线l上 因此圆心 C是直线l与直线m的交点 半径长等于 CA 或 CB 教 师板书解题过程 例 3 解 因为A 1 1 B 2 2 所以 线段AB的中点D的坐标为 3 2 1 2 直线AB的斜率 kAB 2 1 2 1 3 因为线段AB的垂直平分 线l 的方程是 y 113 232 x 即x 3y 3 0 B m A C 4 圆心C的坐标是方程组 330 10 xy xy 的解 解此方程组 得 3 2 x y 所以圆心C的坐标是 3 2 圆心为C的圆的半径长 r AC 22 1 3 12 5 所以 圆心为C的圆的 标准方程是 x 3 2 y 2 2 25 归纳总结 1 圆的标准方程 2 点与圆的位置关系的判断 方法 3 根据已知条件求圆的标准 方程的方法 教师启发 学生自己比 较 归纳 形成知识 体系 课外作业 布置作业 见习案 4 1 第一课 时 学生独立完成巩固深化 备选例题备选例题 例 1 写出下列方程表示的圆的圆心和半径 1 x2 y 3 2 2 2 x 2 2 y 1 2 a2 a 0 解析 1 圆心为 0 3 半径为2 2 圆心为 2 1 半径为 a 例 2 圆心在直线x 2y 3 0 上 且过A 2 3 B 2 5 求圆的方程 解法 1 设所求的圆的方程为 x a 2 y b 2 r2 由条件知 222 222 2 3 2 5 230 abr abr ab 解方程组得 2 1 2 10 a b r 即所求的圆的方程为 x 1 2 y 2 2 10 解法 2 1 2 AB k AB的中点是 0 4 所以AB的中垂线方程为 2x y 4 0 由 230 240 xy xy 得 1 2 x y 5 因为圆心为 1 2 又 22 2 1 32 10r 所以所求的圆的方程是 x 1 2 y 2 2 10 例 3 已知三点A 3 2 B 5 3 C 1 3 以P 2 1 为圆心作一个圆 使 A B C三点中一点在圆外 一点在