高中数学 三角函数的性质教案 苏教版必修4

用心 爱心 专心1 三角函数的性质三角函数的性质 教学目标 理解正 余弦函数的定义域 值域 最值 周期性 奇偶性的意义 会求简单函数的 定义域 值域 最小正周期和单调区间 渗透数形结合思想 培养辩证唯物主义观点 教学重点 正 余弦函数的性质 教学难点 正 余弦函数性质的理解与应用 教学过程 课题导入 上节课 我们研究了正 余弦函数的图象 今天 我们借助它们的图象来研究它们有 哪些性质 1 定义域 正弦函数 余弦函数的定义域都是实数集 R R 或 分别记作 y sinx x R R y cosx x R R 2 值域 因为正弦线 余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度 所 以 sinx 1 cosx 1 即 1 sinx 1 1 cosx 1 也就是说 正弦函数 余弦函数的值域都是 1 1 其中正弦函数y sinx x R R 当且仅当x 2k k Z Z 时 取得最大值 1 2 当且仅当x 2k k Z Z 时 取得最小值 1 2 而余弦函数y cosx x R R 当且仅当x 2k k Z Z 时 取得最大值 1 当且仅当x 2k 1 k Z Z 时 取得最小值 1 3 周期性 由 xkx xkx cos 2cos sin 2sin k Z Z 知 正弦函数值 余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的 一般地 对于函数f x 如果存在一个非零常数T 使得当x取定义域内的每一个值 时 都有f x T f x 那么函数f x 就叫做周期函数 非零常数T叫做这个函数的周 期 由此可知 2 4 2 4 2k k Z Z 且k 0 都是这两个函数的周 期 对于一个周期函数f x 如果在它所有的周期中存在一个最小的正数 那么这个最小 正数就叫做f x 的最小正周期 根据上述定义 可知 正弦函数 余弦函数都是周期函数 2k k Z Z 且k 0 都是它的周期 最小正周期是 用心 爱心 专心2 2 4 奇偶性 正弦函数是奇函数 余弦函数是偶函数 5 单调性 从y sinx x 的图象上可看出 2 3 2 当x 时 曲线逐渐上升 sinx的值由 1 增大到 1 2 2 当x 时 曲线逐渐下降 sinx的值由 1 减小到 1 2 3 2 结合上述周期性可知 正弦函数在每一个闭区间 2k 2k k Z Z 上都是增函数 其值从 2 2 1 增大到 1 在每一个闭区间 2k 2k k Z Z 上都是减函数 其值从 1 2 3 2 减小到 1 余弦函数在每一个闭区间 2k 1 2k k Z Z 上都是增函数 其值从 1 增加 到 1 在每一个闭区间 2k 2k 1 k Z Z 上都是减函数 其值从 1 减小到 1 例 1 求使下列函数取得最大值的自变量x的集合 并说出最大值是什么 1 y cosx 1 x R R 2 y sin2x x R R 解 1 使函数y cosx 1 x R R 取得最大值的x的集合 就是使函数 y cosx x R R 取得最大值的x的集合 x x 2k k Z Z 函数y cosx 1 x R R 的最大值是 1 1 2 2 令 Z 2x 那么x R R 必须并且只需 Z R R 且使函数y sinZ Z R R 取得最大值的 Z 的集合是 Z Z 2k k Z Z 2 由 2x Z 2k 得x k 2 4 即 使函数y sin2x x R R 取得最大值的x的集合是 x x k k Z Z 4 函数y sin2x x R R 的最大值是 1 例 2 求下列函数的定义域 1 y 1 2 y 1 sinxcosx 解 1 由 1 sinx 0 得 sinx 1 即x 2k k Z Z 3 2 原函数的定义域为 x x 2k k Z Z 3 2 2 由 cosx 0 得 2k x 2k k Z Z 2 2 用心 爱心 专心3 原函数的定义域为 2k 2k k Z Z 2 2 例 3 求下列函数的单调递增区间 y cos 2x y 3sin 6 3 x 2 解 设u 2x 则y cosu 6 当 2k u 2k 时y cosu随u的增大而增大 又 u 2x 随x R R 增大而增大 6 y cos 2x 当 2k 2x 2k k Z Z 6 6 即k x k 时 y随x增大而增大 7 12 12 y cos 2x 的单调递增区间为 6 k k k Z Z 7 12 12 设u 则y 3sinu 3 x 2 当 2k u 2k 时 y 3sinu随x增大在减小 2 3 2 又 u 随x R R 增大在减小 3 x 2 y 3sin 当 2k 2k 3 x 2 2 3 x 2 3 2 即 4k x 4k 时 y随x增大而增大 7 3 3 y 3sin 的单调递增区间为 4k 4k k Z Z 3 x 2 7 3 3 课堂练习 课本 P33 1 7 课时小结 通过本节学习 要初步掌握正 余弦函数的性质以及性质的简单应用 解决一些相关 问题 课后作业 课本 P46 习题 2 3 4 课后练习 1 给出下列命题 y sinx在第一象限是增函数 是锐角 则y sin 的值域是 1 1 4 y sin x 的周期是 2 用心 爱心 专心4 y sin2x cos2x的最小值是 1 其中正确的命题的序号是 分析 y sinx是周期函数 自变量x的取值可周期性出现 如反例 令x1 x2 2 此时x1 x2 3 6 而 sin sin 2 3 6 错误 当 为锐角时 4 4 2 4 由图象可知 sin 1 2 2 4 错误 y sin x x R R 是偶函数 其图象是关于y轴对称 可看出它不是周期函数 错误 y sin2x cos2x cos2x 最小值为 1 正确 答案 评述 函数的单调性是函数的局部选择 是针对区间而言的 我们不能说某函数在某 象限内是增函数还是减函数 而只能说某函数在某区间上是增函数还是减函数 2 求下列函数的定义域和值域 1 y lg sinx 2 y 2 3 22cos3x 1 分析 根据函数有意义列不等式 求x的范围即为定义域 求值域时要注意正弦函数和 余弦函数的值域 解 1 要使 lg sinx 有意义 必须且只须 sinx 3 2 3 2 解之得 2k x 2k k Z Z 3 2 3 又 0 sinx 1 3 2 3 2 lg sinx lg 1 3 2 3 2 定义域为 2k 2k k Z Z 3 2 3 值域为 lg 1 3 2 2 要使 2有意义 必须且只须 2cos3x 1 0 即 cos3x 2cos3x 1 1 2 解之得 2k 3x 2k 3 3 即 x k Z Z 2k 3 9 2k 3 9 用心 爱心 专心5 又 0 2cos3x 1 1 故 0 2 2 2cos3x 1 定义域为 k Z Z 2k 3 9 2k 3 9 值域为 0 2 评述 求由正弦函数和余弦函数组成复合函数的定义域 值域问题 要充分考虑基本 的正弦函数和余弦函数的单调性和值域 4 比较下列各组数的大小 1 sin195 与 cos170 2 cos sin cos 3 2 1 10 7 4 3 sin sin sin 3 8 3 8 分析 化为同名函数 进而利用单调性来比较函数值的大小 解 1 sin195 sin 180 15 sin15 cos170 cos 180 10 cos10 sin80 0 15 80 90 又 y sinx在 0 90 上是递增函数 sin15 sin80 sin15 sin80 sin195 cos170 2 sin cos 1 10 2 1 10 cos cos 7 4 7 4 又 1 47 1 5 2 1 10 3 2 1 39 1 4 7 4 2 1 10 3