变分迭代法对热传导系数与温度相关的的对流直翅片的效率分析(翻译)

S B Coskun M T Atay Applied Thermal Engineering 28 2008 2345 2352 I 变分迭代法对热传导系数与温度相关的 对流直翅片的效率分析 萨法 Bozkurt Coskun 穆罕默德 阿齐兹 阿塔伊 土木工程系 尼代大学 51245 尼代 土耳其 数学系 尼代大学 51245 尼代 土耳其 收到 2007 年 月 23 日 接受 2008 年 1 月 日 网上提供 2008 年 月 26 日 摘要摘要 为了增强物体主要表面与环境之间的热量传递 利用辐射延展表面是很普遍的方法 尤其是在有较大温差的情况下 变导热系数对这样的表面的性能有很强的影响 在这种情 况下 变分迭代法被用作分析热传导系数与温度相关的对流直翅片的效率 变分迭代法解 决了非线性微分方程解析表达式的问题 为了表现出变分迭代法的效果 我们把通过变分 迭代法 VIM 分析得到的结果与通过 Adomian 分解法 ADM 所获得的解决方案按照有限 元分析的结果进行比较 这项工作确保了变分迭代法在对流直翅片的效率分析上是一种很 有效的方法 2008 Elsevier 爱思唯尔有限公司保留所有权利 关键词 直翅 效率 变导热系数 变分迭代法 Adomian 分解法 有限元法 1 1 导言导言 位于物体的主要表面与周围介质之间的翅片表面已经强化了传热 Kern 和 Kraus 在这 个问题 1 上取得了一个研究进展 Aziz 和 Hug 利用正则摄动法获得了变导热系数直对流 翅片的一个封闭形式的解决方案 Yu 和 Chen 3 解出了导热系数线性变化条件下的导热 对流 辐射传热方程 Yu 和 Chen 4 还研究了变导热系数对流 辐射直翅片的最佳翅片长的 问题 Sohrabpour 和 Razani 5 研究了变导热系数和变传热系数下的对流翅片最佳化问题 Razelos 和 Imre 6 引入了一个对流传热系数到翅片问题 Laor 和 Kalman 7 分析了不同 的传热系数依变于温度的翅片 Bouaziz et al 8 分析了热物理特性依变于温度的纵向翅 片的效率 Arslanturk 9 用 Adomian 分解法获得了无量纲温度和导热系数与温度相关的翅 片效率 Arslanturk 10 11 还研究了环形翅片的优化问题 最近 Coskun and Atay 12 研究了直翅片和径向翅片的温度变化 Adomian 分解法 ADM 已经广泛应用于各种非线性传热 13 17 问题的分析 这种方 法是一种获得非线性微分方程解析表达式的技术 该非线性微分方程 18 很大程度上取决 于找到的 Adomian 多项式 然后使用它们通过 Adomian 分解法获得一个解析表达式作为解决 方法 简言之 这是一个繁琐的过程 尤其是在获得更高精度的近似上 在最近几年一种 被称作变分迭代法 VIM 19 的解决方法展现了其在解决非线性微分方程上的重要作用 VIM 是一种基于分析技术的高效率解决非线性微分方程的变分法 包括边界值和初始 联系作者 电话 90 388 2252284 E mail 地址 sbcoskun nigde edu tr S B Coskun 1359 4311 见前言 2008 年 Elsevier 有限公司保留所有权利 DOI 编号 10 1016 j applthermaleng 2008 01 012 S B Coskun M T Atay Applied Thermal Engineering 28 2008 2345 2352 II 主要符号表主要符号表 A 积分常数 C A 翅片的横截面积 平方米 b 翅片长度 米 h 传热系数 瓦每平方米每 K k 翅片材料导热系数 瓦每米每 K a k 常温流体温度下的导热系数 瓦每米每 K b k 基准温度下的导热系数 瓦每米每 K L 线性微分算子 非线性微分算子 P 翅片周长 米 Q 换热量 瓦 温度 K Ta 周围流体温度 K b T 带有翅片的基面的温度 K x 翅片顶端长度 米 希腊符号 描述导热系数不断变化的常量 牛顿冷却定律中的翅片效率 量纲坐标 拉格朗日乘数 导热系数 温度曲线 每 翅片热几何参数 可变积分 无量纲温度 值问题 非线性系统微分方程 非线性偏微分方程方程 20 21 在目前许多问题的解 决之所以选择 VIM 是因为该解决方法可以有效的应用于工程问题 VIM 直接给出了与方程 相 应的解是它与 ADM 相比的一个优势 VIM 的求解方法与分解法相比也是要容易得多 在这 方面来说 VIM 在工程中的非线性问题的分析中是一个易于适用的方法 尽管 ADM 是过去 使用的分析翅片效率 9 的方法 但是采用这种方法的效率不是用于测试的 在这项研究中 VIM 是用于分析的目的 而 ADM 9 和 FEM 有限元分析 的结果用于测试 FEM 对问题的分 析采用 FlexPDE ver 5 在有限元分析中 二元基础和牛顿迭代被引用 一个均方根误差 标准用作迭代终止准则并且误差变动范围为到 7 10 10 10 2 2 问题界定问题界定 图 1 的直翅被假设为一个温度与导热系数相关的 任意横截面积为 周长为 P 长 C A S B Coskun M T Atay Applied Thermal Engineering 28 2008 2345 2352 III 度为 b 的直翅 带有翅片的基面的温度为 周围液体问题为 翅片的顶端是隔热的 b TTa 则其一维能量方程为 这里的 k T 表示温度与导热系数的相关性 如果假设导热系数为温度的线性函数 它 就成为如下的公式 这里的表示翅片在常温液体温度时的导热系数 是一个不随导热系数变化的确 a k 定参数 下面介绍无量纲参数 图 1 几何直翅 公式 1 化简为下面的公式 边界层条件如下 2 变分迭代法的求解问题变分迭代法的求解问题 根据变分迭代法 下列微分方程可被认为是 其中 L 是线性算子 和 N 是一个非线性算子 g x 是一个变量 基于 VIM 修正的函 数关系式如下 为拉格朗日乘数 它可以通过变分理论最佳地确定 下标 n 指 n 阶逼近 被视为 受限制的变量 即 S B Coskun M T Atay Applied Thermal Engineering 28 2008 2345 2352 IV 如果上面的推导是基于公式 4 那么相应的可以推出下面的公式 式中 L 和 N 分别定义为线性算子和非线性算子如公式 4 中 拉格朗日乘数 得 到如下的假设 受限制的变量 对 L 的选择可以确定 的值 这也使得方程 8 中的积分方程更简单 方程 8 中的迭代公式与用 ADM 解决相同的问题相比较 只是一个简单的近似 这主 要是由于这样一个事实 即新的推导方法直接给出了表达式而不是从事总结递归逼近这样 一个单调乏味的工作 3 3 翅片的温度分布翅片的温度分布 为了使 VIM 方法一开始就近似 假定为常数 这种自动开始近似满足方程 5 中 的一个特定的边界条件 首先的四个迭代是 在方程 11 14 中 系数 A 使翅片顶端的温度 而且必须位于区间 0 1 A 的值 由边界层条件方程确定 作为一个起点 VIM 的结果首先是与 ADM 的结果 9 和有限元分析的结果进行比较 在 S B Coskun M T Atay Applied Thermal Engineering 28 2008 2345 2352 V 0 的条件下 当导热系数为常数时 即 0 方程 4 成为一个可以得到分析解的线 性方程组 无量纲温度分布的分析解 是 在方程 15 中 当 0 5 和 1 0 0 时 数值解决方案 ADM VIM 和 FEM 进 行了比较 在所有情况下 观察通过分析解和数值解获得的 值的误差小于 1 10 6 这是由于要求解的等式在 0 时是线性的 在 9 中 当 0 时 有吻合很好的解析解 通过 ADM 的方法可以检验下面的计算 然而 目前当 0 该问题是线性的情况下 不能确 定 VIM 或 ADM 在目前的非线性问题中的有效性 因此 在本研究中的第二次分析里还是通 过有限元法进行的 目的是测试 在图 2 4 中 无因次温度分布进行比较是为了选取各种变化的 值下的 值 这时 从数字来看 当该问题变成非线性时 通过 VIM 得到的结果与通过 FEM 获得的结果吻合很 好 而通过 ADM 9 得到的结果却与二者不同 这也可以得出这样的结论 从这些数字上可 以看出 在这项研究中 VIM 表达式的近似给出的解决方案提供了一个比 ADM 9 在解相同的 方程时更好的近似结果 4 4 翅片效率的解决翅片效率的解决 翅片效率的计算如下表述 从方程 16 得到的该效率的一种近似 VIM 表达式如下 观察发现 在 9 中 ADM 表达的效率 从开始 这可以被视为一个语法错误 因 为 积分表达式 9 使得方程的结果从开始 在这项研究中 这一对效率的修正是 用 ADM 的方法解决 在 0 情况下得到的分析解如下 S B Coskun M T Atay Applied Thermal Engineering 28 2008 2345 2352 VI 在图 8 中 0 时 方程 18 得到的解析解与 VIM 得到的解相当的吻合 这是一个 预期的答案 因为这样一个事实 即对 0 的情况等式 4 给出的控制方程成了线性的 而 VIM 能对线性问题给出确切的结果 为了用 VIM 方法得到翅片效率 首先 A 的值 即翅片顶端温度 应该通过方程 5 对某一特定 和边界条件得出 然后翅片效率可选择任意方法决定 牛顿迭代法可用来估 算 A 的值 通过有限元分析解决法得到翅片效率可以使用 FlexPDE ver 5 在图 5 7 中 通过 VIM 和 FEM 得到的翅片效率 在不同的 值下 与通过 ADM 得到 的结果进行了比较 从这些图中可以观察到 与 ADM 给出的结果相比较 VIM 的结果与 FEM 的结果的吻合度是可以接受的 在图 9 和图 10 中 解自 VIM 和解自 ADM 的直翅片效率与 FEM 得到的结果分别进行了比 较 为了表现出所提出的解决方法的效率 从两个图都可以得出 VIM 给出了比 ADM 更好的 结果的结论 图 10 对 VIM 的比较可以用来提高等式 8 中迭代过程的近似阶数 然而 在这项研究中 为了比较的方便需要有相同的近似阶数 图 2 0 5 时无量纲温度变化比较 图 3 0 3 时无量纲温度变化比较 S B Coskun M T Atay Applied Thermal Engineering 28 2008 2345 2352 VII 图 4 0 5 时无量纲温度变化比较 热翅片几何参数 图 5 0 6 时的翅片效率比较曲线 热翅片几何参数 图 6 0 4 时的翅片效率比较曲线 S B Coskun M T Atay Applied Thermal Engineering 28 2008 2345 2352 VIII 热翅片几何参数 图 7 0 4 时的翅片效率比较曲线 热翅片几何参数 图 8 0 时的翅片效率比较曲线 精确情形 热翅片几何参数 图 9 分别采用 ADM 和 FEM 的翅片效率曲线比较 S B Coskun M T Atay Applied Thermal Engineering 28 2008 2345 2352 IX 热翅片几何参数 图 10 分别采用 VIM 和 FEM 的翅片效率曲线比较 5 5 结论结论 在这项研究中 VIM 和 FEM 对导热系数与温度相关的对流直翅片的效率进行了分析 VIM 是一种基于迭代技术的变分法 它是一种求解非线性微分方程的有效方法 该方法直接给 出每个迭代过程的解 这是其与分解方法相比的主要优势 变导热系数介绍了非线性的情 况 这直接影响到能量平衡方程及其解决办法 如果必须有一个总的结论 那就是 VIM 的 结果可以说比 ADM 的结果更好 然而 随着越来越多导致非线性方程增多的变导热系数的 影响 就可能需要高阶近似 即更多的迭代 结果也指出 热翅片几何参数的值是另一个影响求解的因素 虽然当它与 ADM 的结果 相比似乎产生了更好的结果 但是 VIM 解的误差可能随着热翅片几何参数的增加而增大 因此 可以得出这样的结论 鉴于推导和求解过程和这两种方法所取得的成果 VIM 是一 个比 ADM 更优越的方法 VIM 给出控制方程中合理的非线性情况的准确的结果 然而 对 于一个高度非线性的方程 可能需要一个更高阶的表达式 参考文献 参考文献 1 D Q Kern D A Kraus Extended Surface Heat Transfer McGraw Hill NewYork 1972 2 A Aziz S M Enamul Hug Journal of Heat Transfer 97 1975 300 3 L T Yu C K Chen Journal of the Franklin Institute 336 1999 77 4 L T Yu C K Chen Applied Mathematical Modelling 22 1998 11 5 S Sohrabpour A Razani Journal of the Franklin Institute 330 1993 37 6 P Razelos K Imre Journal of Heat Transfer 102 1980 420 7 K Laor H Kalman International Journal of Heat and Mass Transfer 39 1996 1993 8 M N Bouaziz S Recnak S Hanini Y Bal K Bal International Journal of Thermal Sciences 40 2001 843 9 C Arslantu rk International Communications in Heat and Mass Transfer 32 2005 831 10 C Arslantu rk Applied Thermal Engineering 26 2006 1149 S B Coskun M T Atay Applied Thermal Engineering 28 2008 2345 2352 X 11 C Arslantu rk International Communications in Heat and Mass Transfer 31 2004 1143 12 S B Cos kun M T Atay Mathematical Problems in Engineering 2007 2007 Article ID 42072 13 D Lesnic L Elliot Journal of Mathematical Analysis and Applications 232 1999 82 14 D Lesnic Computers and Mathematics with Applications 44 2002 13 15 D Lesnic P J Heggs International Communications in Heat and Mass Transfer 31 2004 673 16 C H Chiu C K Chen International Journal of Heat and Mass Transfer 45 2002 2067 17 C H Chiu C K Chen Acta Mechanica 157 2002 147 18 G Adomian Solving Frontier Problems in Physics The Decomposition Method Kluwer Academic Publishers Dordrecht 1988 19 J H He International Journal of Nonlinear Mechanics 34 1999 699 20 M A Abdou A A Soliman Physica D 211 2005 1 21 S Momani S Abuasad Z Odibat Applied Mathematics and Computation 177 2006 1 D Q 克恩 D A 克劳斯 延长表面传热 麦格劳希尔 纽约 1972 年 2 字母 a 阿齐兹 S M Enamul 拥抱 杂志 97 换热 1975 年 300 3 L T 余 C K 陈 杂志富兰克林研究所 336 1999 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