湖北省重点高中2015届高三上学期期中联考数学（文）试卷

湖北省重点高中期中联考高三文科数学试卷 共 5 页 第 1 页 20142014 年秋季湖北省重点高中期中联考年秋季湖北省重点高中期中联考 高三文科数学试卷及答案高三文科数学试卷及答案 命题学校 湖北省天门中学 命题教师 刘国华 卢 川 考试时间 2014 年 11 月 7 日上午 试卷满分 150 分 注意事项 注意事项 1 考生在答题前 请务必将自己的姓名 准考证号等信息填在答题卡上 2 选择题每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改 动 用橡皮擦干净后 再选涂其它答案标号 答在试卷上无效 3 填空题和解答题用 0 5 毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内 答在试卷上无效 第第 卷 选择题 共卷 选择题 共 5050 分 分 一 选择题 每小题一 选择题 每小题 5 5 分 分 1010 小题共小题共 5050 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的 把答案填在答题卡上对应题号后的框内 答在试卷上无效 合题目要求的 把答案填在答题卡上对应题号后的框内 答在试卷上无效 1 函数的定义域是 2 1 2ln 2 x xxy A 1 2 B 2 1 C 2 1 D 2 1 解析 选 C 要使函数有意义 则有解得 2 x 0 2 0 2 已知实数 a log45 b 0 c log30 4 则 a b c 的大小关系为 1 2 A b c a B b a c C c a b D c b1 b 0 1 c log30 4 0 故 c b0 所得图象关于 y 轴对称 则 4 x a 的最小值为 A B C D 3 4 2 4 解析 选 D y cos2 sin2x 函数向右平移 a 个单位 x 4 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 湖北省重点高中期中联考高三文科数学试卷 共 5 页 第 2 页 得到函数为 y sin2 x a sin 2x 2a 要使函数的图象关于 y 轴对称 则有 1 2 1 2 1 2 1 2 2a k k Z 即 a k Z 所以当 k 1 时 得 a 的最小值为 2 4 k 2 4 6 已知 a a b b c c 为向量 下列结论 若 a b b c 则 a c 若 a b b ca b b c 则 a a c c a a b b a a b b 若 a a b b a a c c 则 b b c c 的逆命题 其中正确的是 A B C D 解析 选 B 由向量相等的概念知 正确 因为零向量和任何向量共线 所以当 b b 0 0 时 结 论 不成立 故 不正确 因为 a a b b a a b b cos 是 a a 与 b b 的夹角 所以当 cos 1 时 不正确 的逆命题是 若 b b c c 则 a a b b a a c c 显然该结论是正确的 故 选 B 7 已知数列 an 的前 n项和 Sn n2 9n 第 k 项满足 5 ak 8 则 k 等于 A 9 B 8 C 7 D 6 解析 选 B an 即 an 因为 n 1 时也适合 an 2n 10 所 S1 1 1 2 8 1 10 2 2 以 an 2n 10 因为 5 ak 8 所以 5 2k 10 8 所以 kf x 则有 A e2014f 2014 e2014f 0 B e2014f 2014 f 0 f 2014 f 0 f 2014 e2014f 0 D e2014f 2014 f 0 f 2014 f x e xfxf f x 并且 ex 0 所以 g x g 0 f g 2014 f 0 f 0 f 2014 e2014f 0 故选 D 第第 卷卷 非选择题 共非选择题 共 100 分分 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 7 个小题 每小题个小题 每小题 5 分 共分 共 35 分 把答案填在答题卡上对应题号后分 把答案填在答题卡上对应题号后 的横线上 答错位置 书写不清 模棱两可不得分 的横线上 答错位置 书写不清 模棱两可不得分 11 若集合 则 210Axx 1Bx x BA 湖北省重点高中期中联考高三文科数学试卷 共 5 页 第 3 页 解析 1 2 1 12 已知幂函数 f x x2 m是定义在区间 1 m 上的奇函数 则 f m 1 解析 因为幂函数在 1 m 上是奇函数 所以 m 1 所以 f x x2 m x3 所以 f m 1 f 1 1 f 2 23 8 13 在 ABC 中 2sin2 sinA sin B C 2cosBsinC 则 A 23 AC AB 解析 答案 2sin2 sinA 1 cosA sinA sin 又 0 A 1 13 2 A 233 A 6 1 2 所以 A 所以 A 所以 A 再由余弦定理 得 a2 b2 c2 bc 将 sin B C 6 6 7 6 6 5 6 2 3 2cosBsinC 展开得 sinBcosC 3cosBsinC 所以将其角化边 得 b 3 a2 2 2 2 c 即 2b2 2c2 a2 将 代入 得 b2 3c2 bc 0 左右两边同除以 bc 得 a2 2 2 2 b 3 1 0 解 得 或 舍 所以 c b 1 13 2 b 1 13 2 A b 1 13 2 14 已知角 A B C 是 ABC 的内角 a a b b c c 分别是其对边长 向量 m m n n 2 2 sin32 2A COS A m m n n 且a 2 cosB 则 b 2 2 cos A 3 3 解析 答案 m m n n m m n n 2sin cos 2cos2 0 A 0 4 3 2 3 A 2 A 2 A 2 cos 0 tan A 由 cosB 得 sinB 由正弦定理得 A 2 A 2 3 3 A 2 6 3 3 3 1 3 9 6 3 2 3 b 6 3 解得 b 4 3 2 15 数列 an 的前 n 项和为 Sn 已知 Sn 1 2 3 4 1 n 1 n 则 S17 解析 由已知 S17 1 2 3 4 15 16 17 17 8 17 9 1 1 1 8个 16 已知函数 f x 2x 等差数列 an 的公差为 2 若 f a2 a4 a6 a8 a10 4 则 log2 f a1 f a2 f a3 f a10 解析 答案 6 f x 2x f a2 a4 a6 a8 a10 4 4 a2 a4 a6 a8 a10 2 又 an 的公差为 2 2 4 6 8 10 2 a1 a3 a5 a7 a9 a2 a4 a6 a8 a10 5d 8 a1 a2 a9 a10 6 所以 log2 f a1 f a2 f a3 f a10 log2 log22 6 6 2 1 2 10 17 已知函数 f x g x 2 则函数 g x 的值域为 满足方程 f x g x x 2 2 1 x 0 的 x 的值是 解析 答案 1 2 3 2 x log2 1 1 g x 2 2 2 x 0 0 1 即 20 时满足 2x 2 0 整理得 1 2 1 2 2x 2 2 2x 1 0 2x 1 2 2 故 2x 1 2x 0 2x 1 即 x log2 1 222 湖北省重点高中期中联考高三文科数学试卷 共 5 页 第 4 页 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 5 5 个小题 共个小题 共 6565 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 把答案填在答题卡上对应题号指定框内 把答案填在答题卡上对应题号指定框内 18 本题满分 12 分 已知向量 定 1 2 cos 2 xOP 2cos 2 sin xxOQ 义函数 OQOPxf 1 求函数 f x 的表达式 并指出其最大值和最小值 2 在锐角 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 且 f A 1 bc 8 求 ABC 的面积 S 解析 1 f x 2sinx 1 cosx cos2x sin2x cos2x sin O O 2 2 4 所以 f x 的最大值和最小值分别是和 22 2 f A 1 sin 2A 或 2A A 或 A 2 4 2 2 4 4 4 3 4 4 2 又因为 ABC 为锐角三角形 所以 A 4 而 bc 8 所以 ABC 的面积 S 8 2 1 2 2 22 19 本题满分 13 分 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn 且 Sn n N 数列 bn 满 2 2nn 足 an 4log2bn 3 n N 1 求 an bn 2 求数列 an bn 的前 n 项和 Tn 解析 1 由 Sn 得 当 n 1 时 a1 S1 当 n 2 时 2 2nn an Sn Sn 1 2n2 n 2 n 1 2 n 1 4n 1 n N 由 an 4log2bn 3 得 bn 2n 1 2 由 1 知 an bn 4n 1 2n 1 Tn 3 7 2 11 22 4n 1 2n 1 错位相减得 Tn 4n 5 2n 5 n N 20 本题满分 13 分 已知函数 f x sin x cos x cos2 x 其中 为使 f x 能在 x 3 2 3 时取得最大值的最小正整数 1 求 的值 2 设 ABC 的三边长 a b c 满足 b2 ac 且边 b 所对的角 的取值集合为 M 当 x M 时 求 f x 的值域 解析 1 f x sin 依题意有 2k k Z 即 k Z 2 6 1 2 4 3 6 2 3 1 2 的最小正整数值为 2 所以 2 2 b2 ac 又 b2 a2 c2 2accosB 所以 a2 c2 2accosB ac 即 1 2cosB 2 所 a2 2 2 以 1 2cosB 2 所以 cosB 所以 0 B 即 M f x sin 0 x 所以 1 2 3 0 3 4 6 1 2 3 4x 所以 sin 所以 f x 故函数 f x 的值域是 6 6 7 6 4 6 1 2 1 1 1 2 1 1 2 21 本题满分 13 分 设函数 方程有唯一解 其中实数 2 xa x xf xfx a 为常数 f x1 f xn xn 1 n N 2 2013 1 求 f x 的表达式 2 求 x2015的值 3 若 an 4023 且 bn n N N 求证 b1 b2 bn n 1 4 xn a 2n 1 a2 n 2an 1an 湖北省重点高中期中联考高三文科数学试卷 共 5 页 第 5 页 解 1 由 x 可化简为 ax x 2 x a 0 所以 ax2 2a 1 x 0 x a x 2 当且仅当 a 时 方程 x f x 有唯一解 从而 f x 1 2 2x x 2 2 由已知 f xn xn 1 得 xn 1 即 n N 2xn xn 2 1 xn 1 1 2 1 xn 1 xn 1 1 xn 1 2 数列是以为首项 为公差的等差数列 1 xn 1 x1 1 2 n 1 故 xn 1 xn 1 x1 1 2 n 1 x1 2 2x1 2x1 n 1 x1 2 f x1 解得 2 2 013 2x1 x1 2 2 2 013 x1 xn 故 x2 015 1 1 006 2 1 1 006 n 1 1 1 006 2 2 n 2 011 2 2 015 2 011 1 2 013 3 证明 xn an 4 4 023 2n 1 2 n 2 011 n 2 011 2 bn 1 a 2n 1 a2 n 2an 1an 2n 1 2 2n 1 2 2 2n 1 2n 1 4n2 1 4n2 1 1 2 2n 1 2n 1 1 2n 1 1 2n 1 b1 b2 bn n n 1 1 1 3 1 1 3 1 5 1 1 2n 1 1 2n 1 1 1 1 2n 1 故 b1 b2 bn n 1 22 本题满分 14 分 已知函数 为常数 1 a x x a 1 若 且 求函数的单调区间 ln f xxx 9 2 a f x 2 若 且对任意 当时 都有 ln g xxx 12 x x 0 2 12 xx 求的取值范围 21 21 1 g xg x xx a 解析 1 令 得 2 22 1 2 1 1 1 axa x fx xxx x 9 2 a 0fx 或 函数的单调增区间为 单调减区间为2x 1 2 x f x 1 0 2 2 5 分 注 两个单调增区间 错一个扣 1 分 1 2 2 2 21 21 1 g xg x xx 21 21 10 g xg x xx 湖北省重点高中期中联考高三文科数学试卷 共 5 页 第 6 页 2211 21 0 g xxg xx xx 设 依题意 在上是减函数 8 分 h xg xx h x 0 2 当时 12x ln 1 a h xxx x 2 1 1 1 a h x xx 令 得 对恒成