高中数学一轮复习 第3讲 直接证明与间接证明

用心 爱心 专心1 第第3 3讲讲 直接证明与间接证明直接证明与间接证明 随堂演练巩固 1 证明命题 f x e在上是增函数 某同学给出的证明如下 x 1 e x 0 f x e f x e x 1 e x x 1 e x 又x 0 e e x 1 1 01 e x x 1 0 e x 也就是f x 0 函数f x 在上是增函数 这位同学所使用的证明方法是 0 A 综合法B 分析法 C 反证法D 以上都不是 答案 A 2 分析法又叫执果索因 若使用分析法证明 设a b c 且a b c 0 求证 索的 2 3baca 因应 是 A a b 0B a c 0 C a b a c 0D a b a c b c 且a b c 0 2 3baca a 0 即证成立 22 3baca 也就是成立 22 3acaca 整理可得 a c 2a c 0 又a c b 即证 a c a b 0 由于a b c a b 0且a c 0 也就是不等式 a c a b 0显然成立 故若用分析法证本题 索的因应是C项 3 用反证法证明命题 如果a b 那么 时 假设的内容是 33 ab 答案 33 ab 解析 如果a b 那么 若用反证法证明 其假设为 33 ab 33 ab 4 在用反证法证明数学命题时 如果原命题的否定事项不止一个时 必须将结论的否定情况逐 一 驳倒 才能肯定原命题的结论是正确的 例如 在 ABC中 若AB AC P是 ABC内一点APB 求证 用反证法证明时应分 假设 和 两类 APC BAPCAP 答案 BAPCAP BAPCAP 课后作业夯基 基础巩固 1 分析法是从要证明的结论出发 逐步寻求使结论成立的 A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件D 等价条件 答案 A 2 要证明可选择的方法有以下几种 其中最合理的是 3 72 5 A 综合法B 分析法 C 反证法D 归纳法 答案 B 用心 爱心 专心2 3 命题 对于任意角cossincos 的证明如下 sin 4 4 2 4 cos 4 2 cos sincos2 该过程应用了 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 A 分析法 B 综合法 C 综合法 分析法综合使用 D 间接证明法 答案 B 解析 因为证明过程是 从左往右 即由条件结论 4 用反证法证明命题 三角形的内角中至少有一个不大于60 时 假设正确的是 A 假设三内角都不大于60 B 假设三内角都大于60 C 假设三内角至多有一个大于60 D 假设三内角至多有两个大于60 答案 B 解析 命题可叙述为 三角形的内角中至少有一个小于或等于60 它的反设应是 三角 形的内角都大于60 5 要证 只要证明 2222 10aba b A 22 210aba b B 44 22 10 2 ab ab C 2 22 10 2 ab a b D 22 1 1 0ab 答案 D 解析 因为 222222 10 1 1 0aba bab 6 设则 0 a b c 111 abc bca A 都不大于 2 B 都不小于 2 C 至少有一个不大于 2 D 至少有一个不小于 2 答案 C 解析 因为所以三者不能都大于 2 111 6abc bca 7 已知点P a b 在直线x 2y 4的第一象限的部分上 则loglog的最大值是 2a 2b A 1B 1C 2D 2 答案 B 解析 由已知得a 2b 4 且0 a 4 0 b0时 b a aba 解析 要使该不等式成立 则成立 3322 33aba babab 用心 爱心 专心3 也就是 3322 aba b 即证整理得ab a b 0 22 aba b 只要ab与a b同号 上述不等式便成立 9 用反证法证明 不可能成等差数列 时 正确的假设是 235 答案 假设成等差数列 235 10 设a b c d是正数 求证 下列三个不等式 a b c d a b c d ab cd a b cd0 所以4cd a b c d 结合式 得4cd ab cd 所以3cd ab 即 1 3 cdab 由式 得 24 3 abab 故显然不成立 222 0 3 abab 所以不等式 中至少有一个不正确 11 已知 ABC的三个内角A B C成等差数列 且三个内角A B C的对边分别为a b c 求证 311 abbcabc 证明 要证原等式成立 只需证 3 abcabc abbc 即 1 ca abbc 即只需证而A C 2B 22 2 1 bccaab abbacbc B 60 222 bacac 从而原等式得证 222222 22222 1 bccaabbccaabbccaab abbacbcabacacacbcabacbc 拓展延伸 12 如图 已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内 M N分别为AB DF的中点 1 若平面平面DCEF 求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值 ABCD 用心 爱心 专心4 2 用反证法证明 直线ME与BN是两条异面直线 解 1 取CD的中点G 连接MG NG 设正方形ABCD DCEF的边长为2 则 22MGCD MGNG 因为平面平面DCEF ABCD 所以平面DCEF MG 可得是MN与平面DCEF所成的角 MNG 因为6MN 所以sin 6 3 MNG 即MN与平面DCEF所成角的正弦值为 6 3 2 证明 假设直线ME与BN共面 则平面MBEN 且平面MBEN与平面DCEF交于EN AB 由已知 两正方形