高考数学复习点拨 复数模长可用来干什么

用心 爱心 专心 复数模长可用来干什么复数模长可用来干什么 复数模长是复数的一个基本要素 也是复数问题中经常出现的一种题设条件 但它能用 来解决哪些问题呢 本文就从三个方面来阐述这一问题 一一 利用复数模长求值利用复数模长求值 例 1 设为复数 且求的值 z 11 zz1 z 分析 分析 若能由已知条件 求出 z 则可求 z 1 而确定一个复数 z 需要一对实数 因 此需设两个未知数 而已知条件中恰有两个等式 故而可列出关于复数 z 的实部 虚部的 两个方程 解 解 设 zabi abR zabizz 1111 且 ab ab ab ab ab aba 22 22 22 22 22 22 1 11 1 11 1 20 解方程组 得 a b 1 2 3 4 2 zabiabiab1111 1 2 1 3 4 3 222 注 注 一般地 欲求一个复数 通常先设出复数的代数形式 a bi a b R 而后利用 已知条件列出关于 a b 的方程组 求解出 a b 也即求得了这个复数 在这里 方程的 思想方法得到了充分运用 二二 利用复数模长确定复平面内对应的点的轨迹利用复数模长确定复平面内对应的点的轨迹 例 2 若复数满足 求复数在复平面内对应的点所表示的曲线 z41 2 2 izzz 分析 分析 欲求点的轨迹 在难以直接由条件作出判断的情况下 一般先求出轨迹方程 再 由方程的特征判断轨迹是何种曲线 而此处的求轨迹方程的已知条件是关于复数的等式 即方程 需设出 z 的代数形式 x yi 即设出动点的坐标 才能把复数形式的方程化为 我们熟悉的轨迹方程 F x y 0 解 解 设 代入已知等式 得zxyixyR xyixyii 14 22 xyxy 114 2222 整理 得xy 20 复数 在复平面内对应的点的轨迹是一条直线 z 例 3 若复数满足求复数对应的点的轨迹 z 1 ziz432 分析 分析 若设复数 2z 3 4i 对应的点为 W x y 显然 x y 是随着 z 对应的点 Z 的坐标的 变化而变化的 即点 W 与点 Z 是一对相关点 且已知点 Z 的运动有规律 Z 在以原点为圆 心 以 1 为半径的圆上 因此联想到求轨迹方程的相关点法 需设出点 Z W 的坐标 然 后列出它们的关系式 进而代入消去点 Z 的坐标 而得到点 W 的轨迹方程 进而可判断其 轨迹 用心 爱心 专心 解 解 设 另设复数 且 zabi abRzixyi xyR 234 则xyiabiiabi 2342324 由复数相等 得 xa yb a x b y 23 24 3 2 4 2 即 1 z 1 22 ba1 2 4 2 3 22 yx 443 22 yx 它表示以 为圆心 以 为半径的圆342 注 注 本题也可不必设出点 Z 点 W 表示的复数 而直接由复数 z 与 之间的关系 求 得复数形式的轨迹方程 解法如下 设 则iz432 iz43 2 1 即 1 z 143 2 1 i 243 i 这就是所求的轨迹方程 由方程特征 易知 对应的点的轨迹是以 3 4 为圆心 以 2 为半径的圆 三三 利用复数模长求最值利用复数模长求最值 例 4 若 求的最大值和最小值 11 izz 方法一 方法一 设 则 Ryxyixz zixy 1111 22 即 xy 111 22 而 zxy 22 这是关于 x y 的二元函数 消元略显繁琐 因此代数解法不简明 换角度看问题 方法二 方法二 由模的性质有 zizi 111 即 解得 zz 212112 z 的最小值为 最大值为2112 方法三 方法三 可利用复数运算几何意义化归为几何问题 zizi 111 zi对应的点的轨迹是以复数对应的点为圆心 以 为半径的圆 11 而 z 则表示该圆 上的点到原点 O 的距离 画出方程 表示的轨迹 见下图 zi 11 由平面几何知识可知 使圆上的点到原点距离取最大 最小 值的点在直线 OC 与圆 的