【提优教程】江苏省2012高中数学竞赛 第06讲 函数的概念（新）教案

用心 爱心 专心1 第第 6 6 讲函数的概念讲函数的概念 本节主要内容有映射与函数的概念 函数的定义域和值域的求法 函数的对应法则 f 分段函数和绝对值函数的图象 A类例题 例 1 求下列函数的定义域 1 0 2 23 12lg 2 x x xx xf 2 22 lg lg f xxkaxa 0 a 解 1 要使函数有意义 必须 即 2 20 210 211 320 xx x x x 02 1 2 1 3 2 x x x x 故函数定义域为 2 2 3 2 3 1 1 2 1 2 由题意知 函数的自变量x满足 22 xka xa 由于又 所以 0 a xka xaxa 或 当时 函数的定义域为 1k ka 当时 函数的定义域为 11k a 当时 函数的定义域为 1k aaka 说明 列出使解析式有意义的条件不等式 问题就可以转化为求不等式 组 的解 若含有 参数 需对参数的取值进行讨论 例 2 已知函数的定义域为 1 1 求函数 yf x x F xf axf a 0a 的定义域 分析 函数的定义域是 的定义域的交集 其中和有相同的取值范 F x f ax x f a ax x a 围 1 1 解题过程中应注意参数a的取值范围 必要时应对a分类讨论 解 由题意得 因为 所以 11 11 ax x a 0a 11 x aa axa 用心 爱心 专心2 当时 不等式组的解集为 1a 11 aa aa 1 1 a a 此时函数的定义域是 F x 1 1 a a 当时 不等式组的解集为 01a 11 aa aa a a 此时函数的定义域是 F x a a 说明 一般的 若函数的定义域为 则函数的定义域由不等式 f x a b f g x 决定 ag xb 例 3 求下列函数的值域 1 2 3 f x1 2xx f x 2 2 223 1 xx xx f x 2 2 43 6 xx xx 4 f x 1 2 3 xxx 5 f x 22 2222xxxx 解 1 令 则 1 2xt 0t 2 1 2 t x 所以 2 2 11 1 1 22 t f xtt 又 故 0t 2 1 1 1 1 2 f xt 即函数的值域为 f x 1 说明 函数 可以看作由函数和 f x1 2xx 2 1 1 1 2 f xg tt 复合而成 即 为了求函数的值域 可以先通过 1 2th xx f xg h x f x 函数求出t得取值范围 再由t的取值范围 通过函数求出的取值范围 h x g t f x 链接 设是A到B上的函数 是B 到C 上的函数 且 th x yg t 当t取遍B中元素时 y取遍C 那么函数 BB CC 就是A到C上得函数 叫做复合函数 yg h x 2 由y f x 2 2 223 1 xx xx 用心 爱心 专心3 得 y 2 x2 y 2 x y 3 0 当y 2 时 式不成立 无对应的实数x 当y 2 时 y 2 2 4 y 2 y 3 0 解得或y 2 2y 或y 2 即函数的值域为 2y 2 2 又解 2 f x 2 2 223 1 xx xx 2 5 1xx 令 由 故的取值范围是t 22 15 1 24 xxx 5 4 t 5 2f x t 2 2 即函数的值域为 f x 2 2 3 f x 2 2 43 6 xx xx 13 1 22 x xx 3x 所以 即函数的值域为 2 1 5 f xf x 22 1 1 55 说明 形如的函数的值域常常利用判别式加以求解 在解题 f x 2 2 0 axbxc d dxexf 过程中 一要注意和有无公因式 若有 可以先约分 进而转化 2 axbxc 2 dxexf 为 注意定义域 的形式 二要注意对转化后的二次项系数是否为 0 进行 mxn pxq ady 讨论 链接 若将y看作常数 所给函数便可以看作是关于x的方 yf x 程 若可以变形为关于x的二次方程 则可以利用判别式非负来求y的 取值范围 但需注意取等号的问题 4 表示数轴上坐标为x的点P到点A 1 B 2 f x 1 2 3 xxx C 3 的距离之和 观察动点的位置 显然当P落在B点 即x 2 时 达到最小值 故值 域为 2 说明一般地 数轴上若有点A1 A2 An 且 则 12n AAA xxx 当n为奇数时 x对应点落在中间点上时 12 n AAA f xxxxxxx 取最小值 当n为偶数时 x对应点落在中间两点之间 包括两点 时 取最 f x f x 小值 用心 爱心 专心4 5 表示动点 f x 2222 2222 1 1 1 1xxxxxx P x 0 到定点A 1 1 B 1 1 的距离之和 故 即函数的值域为 2 2f x 2 2 说明 利用几何图形的直观性是求值域的一种方法 本题还可以利用基本不等式 a 0 b 0 求值域 2abab f x 2222 4 22222 22 22 xxxxxxxx 44 242 2x 当且仅当x 0 时取等号 故函数的值域为 要注意 解题时等号能否取到 2 2 链接 若数轴上有点A B 坐标分别为 则A B两点间的距离AB 若 AB xx AB xx 平面上有点A B 坐标分别为A B 则A B两点间的距离AB 11 x y 22 xy 22 1212 xxyy 情景再现 1 若函数的定义域为A y f f x 的定义域为B 则 1 1 x f x x A B ABB ABB C D AB AB 2 已知函数的定义域为 求函数 的定义域 xf 2 1 2 1 2 1 2 xxfy 3 1 函数y 的值域为 1 x 1 2x 1 河南省 1999 年高中数学竞赛 2 函数的最小值是 33 299 xxxx xf A 1 B 2 C D 3 2 2005 年四川数学竞赛 B类例题 例 4 设 39 9 x x xf 计算和 1 2006 f 2 2006 f 3 2006 f 2005 2006 f 1995 年第二十七届加拿大数学奥林匹克题改编 用心 爱心 专心5 分析 注意到 所以可以考虑和之间 1200522004 1 2006200620062006 f x 1 fx 的关系 解 由于 f x 1 fx 1 1 9993 1 93939393 xxx xxxx 因此 2006 1 20062006 kk ff 1 2 2005k 从而 1 2006 f 2 2006 f 3 2006 f 2005 2006 f 20051 1002 22 例 5 函数 1 该函数的最大值是 25 xf 4 9 433 22 mxxxmm 求该函数取最大值时自变量x的值 分析 限定在区间 1 上的函数的最大值要考虑到在这个区间上的单调情况 二mm 次函数 R R 的图象是对称轴为 开口向下的抛 xf 4 9 433 22 mxxx 2 1 x 物线 与区间 1 的位置关系决定了已知函数的单调状况 因此要分情况 2 1 mm 讨论 解 二次函数 图象的对称轴为 xf 4 9 433 22 mxx 2 1 x 当 1 即时 2 1 mm 2 3 2 1 m 最大值应是 34 2 1 2 mf 由 25 得 不符合的条件 故 34 2 m 22 2 m 2 3 2 1 mm 2 3 2 1 当 1 即 时 函数 1 2 1 mm 2 3 xf 4 9 433 22 mxxxm 是增函数 故 m25 4 15 9 1 2 mmmf 解之得 或 其中 不合 的条件 舍去 此时m 2 5 m 2 23 m 2 23 m 2 3 x 1 1 m 2 5 2 3 当 即 时 函数 1 2 1 mm 2 1 xf 4 9 433 22 mxxxm 是减函数 故 解之得 或 其中 不m25 4 9 3 2 mmmfm 2 7 m 2 13 m 2 7 用心 爱心 专心6 合 的条件 舍去 此时x m 2 1 m 2 13 综上所述 当 或 时 函数有最大值 25 x 2 3 x 2 13 xf 说明 二次函数在给定区间上的值域 或最值 问题 常常需要考察对称轴与区间的关系 进而研究二次函数在给定区间上的单调性 本题也可以换个角度思考 函数 1 xf 4 9 433 22 mxxxmm 的最大值只可能在区间的端点和对称轴三个位置取到 可以通过先计算 后验证的方法求 解 例 6 设集合 9 N N 定义P到 Z Z1 xM xx MdcbadcbaP 的映射 若都是中的元素 且满足 fcdabdcba yxvu Mfyxvu 39 66 vxyu 试求的值 1986 年北京市高一赛题 uvxy 分析 注意到由 39 66 可以得到关于的两个方程 yxvu vxyu yxvu 且全是正整数 故可以考虑整数的质因数分解 yxvu 解 由题意得 1 39 xyuv 2 66 xvuy 1 2 得 3 1053 5 7ux vy 2 1 得 4 273 3 3yv ux 由于 0 9 18 0 9 18 xu yv vy xu 所以由 3 4 可得 7 15 3 9 xu yv vy xu 解得 故 9 1 6 8 yxvu24uvxy 例 7 设 对于任意的 记 321 211 xx x xf Raa 试求出的最小 3 1 max xaxxfau 3 1 min xaxxf au 值 用心 爱心 专心7 分析 令 先研究的单调性 从而求出的表达式 g xf xax g x u a 解 令 g xf xax 1 12 1 1 23 axx a xx 则 1 1ga 2 1 2ga 3 23ga 当时 由于是一个不减的函数 故有0a yg x max 1 3 23g xxa min 1 3 1g xxa 此时 1 2 0 u aa a 当时 函数先减后增 故 比较01a yg x min 1 3 1 2g xxa 和知 1 a 23a 当时 1 0 2 a max 1 3 23g xxa 1u aa 当时 1 1 2 a max 1 3 1g xxa u aa 当时 函数是不增的 故 1a yg x max 1 3 1g xxa min 1 3 23g xxa 此时 21u aa 由上述讨论知 1 2 0 1 1 0 2 1 1 2 21 1 aa aa u a aa aa 显然 min 1 2 u a 情景再现 4 已知函数则 1 2 2 x x xf 1 1 2 2 fff 1 3 3 ff 2006 f 1 2006 f 5 函数f x 9x2 6ax 2a a2在区间 上的最大值为 3 则a的值可为 1 3 1 3 用心 爱心 专心8 A B C 2 D 2 3 2266 上海市 1985 年高中数学竞赛 6 某出版公司为一本畅销书定价如下 C n 12n 若1 n 24 11n 若25 n 48 10n 若n 49 这里n表示订购书的数量 C n 是订购n本书所付的书款数 单位 元 有多少个n 会出现买多于n本书比恰好买n本书所花的钱少 若一本书的成本为 5 元 现有两个人来买书 每人至少买 1 本 两 人共买 60 本 则出 版公司至少能赚多少钱 至多能赚多少钱 上海市 2001 年高中数学竞赛 C类例题 例 8 定义域为正整数的函数f满足 求 3 1000 7 1000 nn f n f f nn 90 f 1990 年日本第一轮选拔赛题 分析 又因为 23131 90 97 97 104 1000 ff ffff 得到 1000 997f 22 1000 997 1004 1001 998ffff 的运算规律 1000 m f 解 记 m 1 2 3 1 f nf n 1 mm fnf fn 则 23 90 97 907 902 7 ff fff 131131 90 130 7 1000 ff 因为 1000 997f 22 1000 997 1004 1001 998ffff 32 1000 998 1005 1002 999ffff 42 1000 999 1006 1003 1000ffff 51 1000 1000 1000 fff 所以 是以 4 为周期 循环取值 997 998 999 1000 又 131 4 32 余 1000 m f 3 所以 1313 90 1000 1000 999fff 说明 于这类问题 常常通过有限次的试验去寻找规律 进而解决问题 严格的解应利用数 学归纳法证明 用心 爱心 专心9 链接 在复合函数中 有一类重要的情形 即函数迭代 设函数 记 yf x n nf fxf ff x 个 其中n是正整数 叫做函数的n次迭代 显然 n fx yf x 1 nn fxf fx 情景再现 7 已知是定义在 R R 上的函数 且对任意的 都有 f x 1 1f Rx 5 5 1 f xf x 1 1 2 f xf x 若 求的值 1g xf xx 2007 g 2002 年全国联赛题改编 习题 13 1 设 对于函数满足条件 那么对所有的 Rx xf35 1 242 xxxfRx 1 2 xf 2005 年湖南数学竞赛 2 若函数的定义域为 R R 则实数的取值范围是 6 1 3 1 22 xaxaxfa 3 函数y x 1 x 2 x 3 x 4 5 在 3 3 上的最小值是 北京市 1996 年高一数学竞赛 4 设f x 是一次函数 且对一切实数t f 2t 1 4t2 2t 6 则f x 0 的根是 上海市 1994 年高中数学竞赛 5 函数f x x2 a 在区间 1 1 上的最大值M a 的最小值等于 北京市 1996 年高一数学竞赛 6 函数y x 的值域为 x2 3x 2 2001 年全国高中数学联赛 7 若两数 19x 1 92x 74 的最大值非负 则实数x的取值范围是 上海市 1992 年高中数学竞赛 8 设P x x4 ax3 bx2 cx d 其中a b c d是常数 如果P 1 10 P 2 20 P 3 30 则P 10 P 6 上海市 1992 年高中数学竞赛 9 已知函数的最小值是 2 最大值是 6 求实数 a b 的值 2 2 6 2 axbx y x 10 函数f定义在整数集上 且满足 用心 爱心 专心10 f n 1000 5 1000 3 nnff nn 若 若 求f 84 1984 年第 2 届美国数学邀请赛 11 若关于x的不等式1 则当 3x 1 时 f x max a2 4a 1 3 a 2 其中a 2 满足 66 用心 爱心 专心11 a 1 若a 1 则当 3x 1 时 f x max a2 1 3 a a 故选C 22 6 解 C 25 27522 即可取n 23 24 两种情况 C 49 49044 即可取n 45 46 47 48 四种情况 共有 6 个n值 使买多于n本书比恰好买n本书所花钱少 用P记花钱数 设较少买者买x本 1 x 30 若 60 x 49 即 1 x 11 则花钱 12x 10 60 x 600 2x 此时花钱数 602 P 62 若 12 x 24 则 36 60 x 48 花钱 12x 11 60 x 660 x 此时 672 P 684 若 25 x 30 则 30 60 x 35 花钱 60 11 660 成本 60 5 300 出版公司至少能赚 602 300 302 元 至多能赚 684 300 384 元 7 解 由后式 f x 5 f x 4 1 f x 3 2 f x 2 3 f x 1 4 f x 5 比较 1 式得f x 5 f x 5 由 2 得 f x f x 5 5 f x 4 4 f x 3 3 f x 2 2 f x 1 1 f x 所以f x 1 f x 1 所以 f x x对一切x N N 成立 所以对于x N N g x f x 1 x x 1 x 1 g 2007 1 习题 解答 1 解 用换元法可得 9 1 242 xxxf 2 解 若 2 101aa 即 当a 1 时 定义域为 R R 适合 6 xf 当a 1 时 定义域不为 R R 不合 66 xxf 若为二次函数 6 1 3 1 01 222 xaxaxga 定义域为 R 恒成立 xf 0g xxR 对 2 22 10 9 1 24 1 0 a aa 即 11 1 115 0 a aa 5 1 11 a 综合 得a的取值范围 5 1 11 3 解 y x2 5x 4 2 2 x2 5x 4 5 x2 5x 5 2 4 当x 3 3 时 x2 5x 5 1 25 29 所以ymin 4 用心 爱心 专心12 4 解 令 4t2 2t 6 0 得t 1 t 此时 2t 1 3 2 即所求根为x1 3 x2 2 3 2 5 解 该函数是偶函数 故只考虑x 0 1 的情况 当a 0 时M a 1 a 当a 0 时 若 1 则M a a 2a 若 1 则M a f 1 1 a 2a 即a 0 时M a 1 0 a 时 1 2 M a 当a M a 1 2 1 2 1 2 当a 时M a 有最小值 1 2 1 2 6 解 由y x 得 y x 0 x2 3x 2x2 3x 2 两边平方得 2y 3 x y2 2 从而y 且x 3 2 y2 2 2y 3 由y x y 0 得 0 即 1 y 1 时 此二数的最大值为 92x 74 当x 1 时 19x 1 1 时 解 92x 74 0 得x 故x的取值范围是x 37 46 37 46 8 解 P 1 1 a b c d 10 P 2 16 8a 4b 2c d 20 P 3 81 27a 9b 3c d 30 b 6a 25 c 11a 70 d 6a 36 P 10 P 6 104 64 784a 136