2016年北京市高考数学文科试题含答案

绝密启用前 2016 年普通高等学校招生全国考试 数学（文）（北京卷） 本试卷共 5 页， 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本市卷和答题卡一并交回。 第一部分 （选择题共 40 分） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （ 1）已知集合 | 2 4 , | 3 5 A x x B x x x 或，则 （ A） |2或 （ C） |2或 （ 2）复数 1 2i=2i（ A） i（ B） 1+i（ C） i （ D） 1i （ 3）执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为 （ A） 8 （ B） 9 （ C） 27 （ D） 36 （ 4）下列函数中，在区间 ( 1,1) 上为减函数的是 （ A） 11y x （ B） （ C） 1) （ D） 2 （ 5）圆（ x+1） 2+ 的圆心到直线 y=x+3 的距离为 （ A） 1 （ B） 2 （ C） 2 （ D） 2 2 （ 6）从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人，则甲被选中的概率为 （ A） 15（ B） 25（ C） 825（ D） 925（ 7）已知 A（ 2， 5）， B（ 4， 1） （ x， y）在线段 ，则 2xy 的最大值为 （ A） 1 （ B） 3 （ C） 7 （ D） 8 （ 8）某学校运动会的立定跳远和 30 秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段 0 名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊 . 学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 立定跳远（单位：米） 0 秒跳绳（单位：次） 63 a 75 60 63 72 70 a1 b 65 在这 10 名学生中，进入立定跳远决赛的有 8 人，同时进入立定跳远决赛和 30 秒跳绳决赛的有 6 人，则 （ A） 2 号学生进入 30 秒跳绳决赛 （ B） 5 号学生进入 30 秒跳绳决赛 （ C） 8 号学生进入 30 秒跳绳决赛 （ D） 9 号学生进入 30 秒跳绳决赛 第二部分（非选择题共 110 分） 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） （ 9）已知向量 = ( 1 , 3 ) , ( 3 , 1 )则 a 与 b 夹角的大小为 _. （ 10）函数 ( ) ( 2 )1xf x 的最大值为 _. （ 11）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为 _. (12) 已知双曲线 221（ a 0， b 0）的一条渐近线为 2x+y=0，一个焦点为（ 5 ,0），则 a=_；b=_. (13)在 ， 23A ， a= 3 c，则 _. (14)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出 19 种商品，第二天售出 13 种商品，第三天售出 18 种商品；前两天都售出的商品有 3 种，后两天都售出的商品有 4 种，则该网店 第一天售出但第二天未售出的商品有 _种； 这三天售出的商品最少有 _种 . 三、解答题（共 6 题，共 80 分 算步骤或证明过程） （ 15）（本小题 13 分） 已知 等差数列， 等差数列，且 ， ， a1=（ ）求 通项公式； （）设 数列 前 n 项和 . （ 16）（本小题 13 分） 已知函数 f（ x） =2x x+ x（ 0）的最小正周期为 . （ ）求 的值； （）求 f（ x）的单调递增区间 . （ 17） （本小题 13 分） 某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过 w 立方米的部分按 4 元 /立方米收费，超出 w 立方米的部分按 10 元 /立方米收费，从该市随机调查了 10000 位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图： （ I）如果 w 为整数，那么根据此次调查，为使 80%以上居民在该月的用水价格为 4 元 /立方米， w 至少定为多少？ （ 设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当 w=3 时，估计该市居民该月的人均水费 . （ 18）（本小题 14 分） 如图，在四棱锥 ， 面 ,A B D C D C A C （ I）求证： D C P A C 平 面 ； （ 证： P A B P A C平 面 平 面； (点 E 为 中 点 ， 在 棱 是 否 存 在 点 F ，使得 P A C E F 平 面 ?说 明 理 由 .（ 19）（本小题 14 分） 已知椭圆 C： 221过点 A（ 2,0）， B（ 0,1）两点 . （ I）求椭圆 C 的方程及离心率； （ P 为第 三 象限内一点且在椭圆 C 上，直线 y 轴交于点 M，直线 x 轴交于点 N，求证：四边形 面积为定值 . （ 20）（本小题 13 分） 设函数 32 .f x x a x b x c （ I）求曲线 .y f x 在点 0, 0f 处的切线方程； （ 4 ，若函数 c 的取值范围； （ 证： 2 30 是 三个不同零点的必要而不充分条件 . 2016 年普通高等学校招生全国统一考试 数学 (文 )(北京卷 )参考答案 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） （ 1） C （ 2） A （ 3） B （ 4） D （ 5） C （ 6） B （ 7） C （ 8） B 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） （ 9）6（ 10） 2 （ 11） 32（ 12） 1 2 （ 13） 1 （ 14） 16 29 三、解答题（共 6 小题，共 80 分） （ 15）（共 13 分） 解：（ I）等比数列 3bq b ， 所以21 1bb q，4327b b q 设等差数列 d 因为111，14 4 27， 所以 1 13 27d，即 2d 所以 21（ 1n ， 2 ， 3 ， ） （ （ I）知， 21， 13 因此 12 1 3 nn n nc a b n 从而数列 n 项和 11 3 2 1 1 3 3 1 2 1 132 1 3 2 312 （ 16）（共 13 分） 解：（ I）因为 2 s i n c o s c o s 2f x x x x s i n 2 c o s 2 2 s i n 2 4x ， 所以 2 依题意， ，解得 1 （ （ I）知 2 s i n 24f x x 函数 的单调递增区间为 2 , 222（ k ） 由 2 2 22 4 2k x k ， 得 388k x k 所以 ,88（ k ） （ 17）（共 14 分） 解：（ I）由用水量的频率分布直方图知， 该市居民该月用水量在区间 ， 1, ， 2, 内的频 率依次为 所以该月用水量不超过 3 立方米的居民占 85 %，用水量不超过 2 立方米的居民占 45 % 依题意， w 至少定为 3 （ 用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表： 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 分组 2,4 4,6 6,8 8,10 10,12 12,17 17,22 22,27 频率 根据题意，该市居民该月的人均水费估计为： 4 0 . 1 6 0 . 1 5 8 0 . 2 1 0 0 . 2 5 1 2 0 . 1 5 1 7 0 . 0 5 2 2 0 . 0 5 2 7 0 . 0 5 （元） （ 18）（共 13 分） 解：（ I）因为 C平面 ， 所以 C 又因为 ， 所以 平面 C （ 为 / ， ， 所以 C 因为 C平面 ， 所以 C 所以 平面 C 所以平面 平面 C （ 上存在点 F ，使得 / 平面 证明如下： 取 中点 F ，连结 F ， C ， 又因为 为 的中点， 所以 F/ 又因为 平面 ， 所以 / 平面 （ 19）（共 14 分） 解：（ I）由题意得， 2a ， 1b 所以椭圆 C 的方程为 2 2 14x y 又 22 3c a b ， 所以离心率 32ce a （ 00,0 0x ，0 0y ），则 220044 又 2,0 ， 0,1 ，所以， 直线 的方程为 0022 令 0x ，得002 2yy x ，从而00211 2yy x 直线 的方程为001 1 令 0y ，得00 1xx y ，从而0022 1xx y 所以四边形 的面积 12S 0021 212 1 2 220 0 0 0 0 00 0 0 04 4 4 8 42 2 2x y x y x yx y x y 0 0 0 00 0 0 02 2 4 422x y x yx y x y 2 从而四边形 的面积为定值 （ 20）（共 13 分） 解：（ I）由 32f x x a x b x c ，得 232f x x a x b 因为 0， 0 ， 所以曲线 y f x 在点 0, 0f 处的切线方程为 y bx c （ 4 时， 3244f x x x x c ， 所以 23 8 4f x x x 令 0 ，得 23 8 4 0 ，解得 2x 或 23x 在区间 , 上的情况如下： x ,2 2 22,3232 ,3 0 0 c 3227c 所以，当 0c 且 32 027c 时，存在 1 4, 2x ，222, 3x ， 32 ,03x ，使得 1 2 3 0f x f x f x 由 且仅当 320,27c 时，函数 3244f x x x x c 有三个不同零点 （ 24 1 2 0 时， 23 2 0f x x a x b ，