理科数学2010-2019高考真题分类训练6专题二函数概念与基本初等函数 第六讲函数综合及其应用—附解析答案

专题二 函数概念与基本初等函数 第六讲 函数的综合及其应用 一 选择题 1 2017 天津 已知函数 2 3 1 2 1 xxx f x xx x 设a R 若关于x的不等式 2 x f xa 在 R 上恒成立 则 a 的取值范围是 A 47 2 16 B 47 39 16 16 C 2 3 2 D 39 2 3 16 2 2015 北京 汽车的 燃油效率 是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程 下图描述了甲 乙 丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况 下列叙述中正确的是 A 消耗 1 升汽油 乙车最多可行驶 5 千米 B 以相同速度行驶相同路程 三辆车中 甲车消耗汽油最多 C 甲车以 80 千米 小时的速度行驶 1 小时 消耗 10 升汽油 D 某城市机动车最高限速 80 千米 小时 相同条件下 在该市用丙车比用乙车更省油 3 2014 北京 加工爆米花时 爆开且不糊的粒数的百分比称为 可食用率 在特定条件 下 可食用率p与加工时间t 单位 分钟 满足函数关系 2 patbtc a b c是常数 下图记录了三次实验的数据 根据上述函数模型和实验数据 可以得到最 佳加工时间为 A 3 50分钟 B 3 75分钟 C 4 00分钟 D 4 25分钟 O543 0 8 0 7 0 5 t p 4 2014 湖南 某市生产总值连续两年持续增加 第一年的增长率为p 第二年的增长率 为q 则该市这两年生产总值的年平均增长率为 A 2 pq B 1 1 1 2 pq C pq D 1 1 1pq 二 填空题 5 2017 山东 若函数e x f x e 2 71828 是自然对数的底数 在 f x的定义域上单 调递增 则称函数 f x具有M性质 下列函数中具有M性质的是 2 x f x 2 f xx 3 x f x cosf xx 6 2017 江苏 设 f x是定义在R且周期为 1 的函数 在区间 0 1 上 2 xxD f x x xD 其中集合 1 n Dx xn n N 则方程 lg0f xx 的解的个数 是 7 2017 新课标 如图 圆形纸片的圆心为O 半径为 5 cm 该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O D E F为圆O上的点 DBC ECA FAB 分别是以BC CA AB为底边的等腰三角形 沿虚线剪开后 分别以BC CA AB为折痕折起 DBC ECA FAB 使得D E F重合 得到三棱锥 当ABC 的边长变 化时 所得三棱锥体积 单位 3 cm 的最大值为 O D F E C B A 8 2016 年北京 设函数 3 3 2 xx xa f x x xa 若0a 则 f x的最大值为 若 f x无最大值 则实数a的取值范围是 9 2015 四川 某食品的保鲜时间y 单位 小时 与储存温度x 单位 C 满足函数 关系 bkx ey 718 2 e为自然对数的底数 kb 为常数 若该食品在 0C的 保鲜时间设计 192 小时 在 22C的保鲜时间是 48 小时 则该食品在 33C的保鲜时间 是 小时 10 2014 山东 已知函数 yf x xR 对函数 yg xxI 定义 g x关于 f x 的 对称函数 为函数 yh xxI yh x 满足 对任意xI 两个点 x h xx g x关于点 x f x对称 若 h x是 2 4g xx 关于 3f xxb 的 对称函数 且 h xg x 恒成立 则实数b的取值范围是 11 2014 福建 要制作一个容器为 4 3 m 高为m1的无盖长方形容器 已知该容器的底面 造价是每平方米 20 元 侧面造价是每平方米 10 元 则该容器的最低总造价是 单位 元 12 2014 四川 以A表示值域为R的函数组成的集合 B表示具有如下性质的函数 x 组成的集合 对于函数 x 存在一个正数M 使得函数 x 的值域包含于区间 M M 例如 当 3 1 xx 2 sinxx 时 1 xA 2 x B 现有如 下命题 设函数 f x的定义域为D 则 f xA 的充要条件是 bR aD f ab 函数 f xB 的充要条件是 f x有最大值和最小值 若函数 f x g x的定义域相同 且 f xA g xB 则 f xg xB 若函数 2 ln 2 1 x f xax x 2x aR 有最大值 则 f xB 其中的真命题有 写出所有真命题的序号 三 解答题 13 2018 上海 某群体的人均通勤时间 是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平 均用时 某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤 分析显示 当S中 0100 xx 的成员自驾时 自驾群体的人均通勤时间为 30 030 1800 290 30100 x f x xx x 单位 分钟 单位 分钟 而公交群体的人均通勤时间不受x影响 恒为 40 分钟 试根据上述分析结果回答下列 问题 1 当x在什么范围内时 公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间 2 求该地上班族S的人均通勤时间 g x的表达式 讨论 g x的单调性 并说明其实 际意义 14 2018 江苏 某农场有一块农田 如图所示 它的边界由圆O的一段圆弧MPN P为 此圆弧的中点 和线段MN构成 已知圆O的半径为 40 米 点P到MN的距离为 50 米 现规划在此农田上修建两个温室大棚 大棚 内的地块形状为矩形ABCD 大棚 内的地块形状为CDP 要求 A B均在线段MN上 C D均在圆弧上 设OC与MN 所成的角为 N M P O AB C D 1 用 分别表示矩形ABCD和CDP 的面积 并确定sin 的取值范围 2 若大棚 内种植甲种蔬菜 大棚 内种植乙种蔬菜 且甲 乙两种蔬菜的单位面积 年产值之比为43 求当 为何值时 能使甲 乙两种蔬菜的年总产值最大 15 2016 年上海高考 已知aR 函数 2 1 log f xa x 1 当5a 时 解不等式 0f x 2 若关于x的方程 2 log 4 25 0f xaxa 的解集中恰好有一个元素 求 a的取值范围 3 设0a 若对任意 1 1 2 t 函数 f x在区间 1 t t 上的最大值与最小值的 差不超过 1 求a的取值范围 16 2015 江苏 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路 为进一步改善山区的交通现状 计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路 记两条相互垂直的公路为 12 ll 山区边界曲线为C 计划修建的公路为l 如图所示 M N为C的两个端点 测得 点M到 12 ll 的距离分别为 5 千米和 40 千米 点N到 12 ll 的距离分别为 20 千米和 2 5 千米 以 12 ll 所在的直线分别为 x y轴 建立平面直角坐标系xoy 假设曲线C符合 函数 2 a y xb 其中 a b为常数 模型 I 求 a b的值 II 设公路l与曲线C相切于P点 P的横坐标为t 请写出公路l长度的函数解析式 f t 并写出其定义域 当t为何值时 公路l的长度最短 求出最短长度 17 2013 重庆 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池 不计厚度 设该蓄水池的底面 半径为r米 高为h米 体积为V立方米 假设建造成本仅与表面积有关 侧面积的建 造成本为 100 元 平方米 底面的建造成本为 160 元 平方米 该蓄水池的总建造成本为 12000 元 为圆周率 将V表示成r的函数 V r 并求该函数的定义域 讨论函数 V r的单调性 并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大 18 2012 陕西 设函数 n f xxbxc nNb cR 1 设2n 1 1bc 证明 f x在区间 1 1 2 内存在唯一的零点 2 设 n 为偶数 1 1f 1 1f 求3bc 的最小值和最大值 3 设2n 若对任意 12 x x 1 1 有 12 4f xf x 求b的取值范围 19 2011 江苏 请你设计一个包装盒 如图所示 ABCD是边长为 60cm 的正方形硬纸片 切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形 再沿虚线折起 使得ABCD四个点 重合于图中的点P 正好形成一个正四棱柱形状的包装盒 E F在AB上是被切去 的等腰直角三角形斜边的两个端点 设AEFBx cm xx EF AB DC P 1 某广告商要求包装盒侧面积S cm 2 最大 试问x应取何值 2 某广告商要求包装盒容积V cm 3 最大 试问x应取何值 并求出此时包装盒 的高与底面边长的比值 专题二 函数概念与基本初等函数 第六讲 函数综合及其应用 答案部分 1 A 解析 解法一 根据题意 作出 f x的大致图象 如图所示 x y y f x 1 O 当1x 时 若要 2 x f xa 恒成立 结合图象 只需 2 3 2 x xxa 即 2 30 2 x xa 故对于方程 2 30 2 x xa 2 1 4 3 0 2 a 解得 47 16 a 当1x 时 若要 2 x f xa 恒成立 结合图象 只需 2 2 x xa x 即 2 2 x a x 又 2 2 2 x x 当且仅当 2 2 x x 即2x 时等号成立 所以2a 综上 a的取值范围是 47 2 16 选 A 解法二 由题意 f x的最小值为11 4 此时 1 2 x 不等式 2 x f xa 在 R 上恒成立 等价于 11 24 x a 在 R 上恒成立 当2 3a 时 令 1 2 x 8 3 111 2 3 248 x 不符合 排除 C D 当 39 16 a 时 令 1 2 x 394311 216168 x 不符合 排除 B 选 A 2 D 解析 燃油效率 是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程 A 中乙车消耗 1 升汽油 最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值 A 错误 B 中以相同速度行驶相同路程 甲燃油效率最高 所以甲最省油 B 错误 C 中甲车以 80 千米 小时的速度行驶 1 小时 甲车每消耗 1 升汽油行驶的里程 10km 行驶 80km 消耗 8 升汽油 C 错误 D 中某城 市机动车最高限速 80 千米 小时 由于丙比乙的燃油效率高 相同条件下 在该市用 丙车比用乙车更省油 选 D 3 B 解析 由题意可知 2 patbtc 过点 3 0 7 4 0 8 5 0 5 代入 2 patbtc 中可解得0 2 1 5 2abc 2 0 21 52ptt 2 0 2 3 75 0 8125t 当3 75t 分钟时 可食用率最大 4 D 解析 设年平均增长率为x 原生产总值为a 则 2 1 1 1 pq aax 解得 1 1 1xpq 故选 D 5 解析 2 2 xxxx e e f xe 在R上单调递增 故 2 x f x 具有 性质 3 3 xxxx e e f xe 在R上单调递减 故 3 x f x 不具有 性质 3 xx e f xex 令 3 x g xex 则 322 3 2 xxx g xexexx ex 当2x 时 0gx 当2x 时 0gx 3 xx e f xex 在 2 上单调递减 在 2 上单调递增 故 3 f xx 不具有 性质 2 2 xx e f xex 令 2 2 x g xex 则 22 2 2 1 1 0 xxx g xe xexex 2 2 xx e f xex 在R上单调递增 故 2 2f xx 具有 性质 6 8 解析 由于 0 1 f x 则需考虑110 x 的情况 在此范围内 x Q且xD 时 设 2 q xp qp p N 且 p q互质 若lgx Q 则由lg 0 1 x 可设 lg 2 n xm nm m N 且 m n互质 因此10 n m q p 则10 nm q p 此时左边为整数 右边为非整数 矛盾 因此lgx Q 因此lgx不可能与每个周期内xD 对应的部分相等 只需考虑lgx与每个周期xD 的部分的交点 画出函数图象 图中交点除外 1 0 其他交点横坐标均为无理数 属于每个周期xD 的 部分 且1x 处 11 lg 1 ln10ln10 x x 则在1x 附近仅有一个交点 因此方程 lg0f xx 的解的个数为 8 7 4 15 解析 如图连接OE交AC于G 由题意OEAC 设等边三角形ABC的边 长为x 05x 则 3 6 OGx 3 5 6 GEx G O D F E C B A 由题意可知三棱锥的高 2222 335 3 5 25 663 hGEOGxxx 底面 2 3 4 ABC Sx 三棱锥的体积为 245 135 3153 255 343123 Vxxxx 设 45 3 5 3 h xxx 则 34 5 3 20 3 h xxx 05x 令 0h x 解得4 3x 当 0 4 3 x 时 0h x h x单调递增 当 4 3 5 x 时 0h x h x单调递减 所以4 3x 是 h x取得最大值 4 4 3 4 3 h 所以 2 max 1515 4 3 4 3 4 15 1212 Vh 8 2 1 解析 若0a 则 3 3 0 2 0 xx x f x x x 当0 x 时 20 x 当0 x 时 2 333 1 1 fxxxx 所以函数 f x在 1 上单调递 增 在 1 0 上单调递减 所以函数 f x在 0 上的最大值为 1 2f 综上函数 f x的最大值为 2 函数 3 3yxx 与2yx 的大致图象如图所示 y 1 2123 1 2 1 2 3 O 若 f x无最大值 由图象可知22a 即1a 9 24 解析 由题意得 22 192 48 b k b e e 即 11 192 1 2 b k e e 所以该食品在33 的保鲜时间是 331133 1 19324 2 k bkb yeee 10 2 10 解析 函数 g x的定义域为 1 2 根据已知得 2 h xg x f x 所以 2 2 624h xf xg xxbx h xg x 恒成立 即 22 6244xbxx 令3yxb 2 4yx 则只要直线3yxb 在半圆 22 4 0 xyy 上方即可 由 2 10 b 解得2 10b 舍去负值 故实 数b的取值范围是 2 10 11 160 解析 设该容器的总造价为y元 长方体的底面矩形的长xm 因为无盖长方体 的容积为 3 4m 高为1m 所以长方体的底面矩形的宽为 4 m x 依题意 得 2 444 20 4 10 2 8020 8020 2160yxxx xxx 12 解析 对于 根据题中定义 Af x 函数 yf x xD 的值域 为R 由函数值域的概念知 函数 yf x xD 的值域为 RbRaD f ab 所以 正确 对于 例如函数 1 2 x f x 的值域 0 1 包含于区间 1 1 所以 f xB 但 f x有最大值 l 没有最小值 所以 错误 对于 若 f xg xB 则存在一个正数 1 M 使得函数 f xg xB 的值域包含于区间 11 M M 所以 1 M f x 1 g xM 由 g xB 知 存在一个正数 2 M 使得函数 g x的值域包含于区间 22 MM 所以 22 Mg xM 亦有 22 Mg xM 两式相加得 12 MM f x 12 MM 于是 f xB 与已知 f xA 矛盾 故 f xg xB 即 正确 对于 如果0a 那么 xf x 如果0a 那么2 xf x 所以 f x有最 大值 必须0a 此时 2 1 x f x x 在区间 2 上 有 11 22 f x 所以 f xB 即 正确 故填 13 解析 1 当030 x 时 3040f x 恒成立 公交群体的人均通勤时间不可能 少于自驾群体的人均通勤时间 当30100 x 时 若40 f x 即 1800 29040 x x 解得20 x 舍 或45x 当45100 x 时 公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间 2 设该地上班族总人数为n 则自驾人数为 n x 乘公交人数为 1 nx 因此人均通勤时间 30 40 1 030 1800 290 40 1 30100 n xnx x n g x xn xnx x x n 整理得 2 40 00 10 1 32 5 36 875 30100 50 x x g x xx 3 则当 0 30 30 32 5 x 即 0 32 5 x 时 g x单调递减 当 32 5 100 x 时 g x单调递增 实际意义 当有32 5 的上班族采用自驾方式时 上班族整体的人均通勤时间最短 适当的增加自驾比例 可以充分的利用道路交通 实现整体效率提升 但自驾人数过多 则容易导致交通拥堵 使得整体效率下降 14 解析 1 连结PO并延长交MN于H 则PH MN 所以OH 10 H E K G N M P O AB C D 过O作OE BC于E 则OE MN 所以COE 故40cosOE 40sinEC 则矩形ABCD的面积为2 40cos 40sin10 800 4sin coscos CDP 的面积为 1 2 40cos 4040sin 1600 cossincos 2 过N作GN MN 分别交圆弧和OE的延长线于G和K 则10GKKN 令 0 GOK 则 0 1 sin 4 0 0 6 当 0 2 时 才能作出满足条件的矩形ABCD 所以sin 的取值范围是 1 1 4 答 矩形ABCD的面积为800 4sin coscos 平方米 CDP 的面积为 1600 cossin cos sin 的取值范围是 1 1 4 2 因为甲 乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4 3 设甲的单位面积的年产值为4k 乙的单位面积的年产值为3k 0 k 则年总产值为4800 4sin coscos 31600 cossin cos kk 8000 sin coscos k 0 2 设 sin coscosf 0 2 则 222 cossinsin 2sinsin1 2sin1 sin1 f 令 0f 得 6 当 0 6 时 0f 所以 f 为增函数 当 6 2 时 0f 所以 f 为减函数 因此 当 6 时 f 取到最大值 答 当 6 时 能使甲 乙两种蔬菜的年总产值最大 15 解析 1 由 2 1 log50 x 得 1 51 x 解得 1 0 4 x 2 1 425aaxa x 2 4510axax 当4a 时 1x 经检验 满足题意 当3a 时 12 1xx 经检验 满足题意 当3a 且4a 时 1 1 4 x a 2 1x 12 xx 1 x是原方程的解当且仅当 1 1 0a x 即2a 2 x是原方程的解当且仅当 2 1 0a x 即1a 于是满足题意的 1 2a 综上 a的取值范围为 1 23 4 3 当 12 0 xx 时 12 11 aa xx 22 12 11 loglogaa xx 所以 f x在 0 上单调递减 函数 f x在区间 1t t 上的最大值与最小值分别为 f t 1f t 22 11 1loglog1 1 f tf taa tt 即 2 110atat 对任意 1 1 2 t 成立 因为0a 所以函数 2 11yatat 在区间 1 1 2 上单调递增 1 2 t 时 y有最小值 31 42 a 由 31 0 42 a 得 2 3 a 故a的取值范围为 2 3 16 解析 1 由题意知 点 的坐标分别为 5 40 20 2 5 将其分别代入 2 a y xb 得 40 25 2 5 400 a b a b 解得 1000 0 a b 2 由 1 知 2 1000 y x 520 x 则点 的坐标为 2 1000 t t 设在点 处的切线l交x y轴分别于 点 3 2000 y x 则l的方程为 23 10002000 yxt tt 由此得 3 0 2 t 2 3000 0 t 故 22 6 2 24 3300034 10 22 t f tt tt 5 20t 设 6 2 4 4 10 g tt t 则 6 5 16 10 2g tt t 令 0g t 解得 10 2t 当 5 10 2t 时 0g t g t是减函数 当 10 2 20t 时 0g t g t是增函数 从而 当 10 2t 时 函数 g t有极小值 也是最小值 所以 min300g t 此时 min15 3f t 答 当 10 2t 时 公路l的长度最短 最短长度为15 3千米 17 解析 因为蓄水池侧面积的总成本为100 2200rhrh 元 底面的总成本为 2 160 r 元 所以蓄水池的总成本为 2 200160rhr 元 又题意据 2 20016012000rhr 所以 2 1 3004 5 hr r 从而 23 3004 5 V rr hrr 因0r 又由0h 可得5 3r 故函数 V r的定义域为 0 5 3 因 3 3004 5 V rrr 故 2 300 12 5 V rr 令 0V r 解得 12 5 5rr 因 2 5r 不在定义域内 舍去 当 0 5 r 时 0V r 故 V r在 0 5 上为增函数 当