金融工程--课后习题详解

七 习题 1 布莱克 舒尔斯定价模型的主要缺陷有哪些 2 交易成本的存在对期权价格有什么影响 3 怎样理解下面这个观点 组合中一份衍生证券合约的价值往往取决于该组合 中其他合约的价值 4 什么是波动率微笑 波动率期限结构和波动率矩阵 它们的作用何在 5 当波动率是随机的且和股票价格正相关时 人们在市场上可能会观察到怎样 的隐含波动率 6 假设一个股票价格遵循复合期权模型 隐含波动率会是怎样的形状 7 如果我们对随机波动率的概念进一步深入下去 使得波动率的波动率也是随 机的 结果会如何 8 设前一天收盘时 S 0 9 0 2 0 9f S tfS t X TSfS t Sf S tTS 即一个以为障碍水平 执行价格为的向下敲入看跌期权和一个以为0 9SX0 9S 障碍水平 执行价为的向下敲出看涨期权之和 这两个期权都在 0 2 Sf S t T 时刻到期 十 习题 1 美国某公司拥有一个系数为 1 2 价值为 1000 万美元的投资组合 当时标准普尔 500 指数为 270 请问该公司应如何应用标准普尔 500 指数期货为投资组合套期保值 2 美国某公司打算用芝加哥商品交易所的期货合约为其德国马克头寸套 期保值 假设美元和德国马克各种期限的利率均相等且不变并分别用 r 和 rf表示 该公司保值时间为 期货合约到期时间为 TT 请证明其最优保值比率为 Trrf e 3 假设现在是 1 月 30 日 你正管理一个价值 600 万美元的债券组合 该组合的平均久期为 8 2 年 9 月份长期国债期货价格为 108 15 交割最合算债券的久期为 7 6 年 请问你应如何规避今后 7 个月利率 变动的风险 4 某银行发现其资产负债不匹配 其存款为浮动利率 贷款为固定利率 请问应如何应用互换来抵消这种风险 5 假设你管理一个价值 6000 万美元的投资组合 其系数等于 2 0 市 场无风险利率为 5 标准普尔 500 指数为 300 该指数和该组合每 年的股息收益率都是 3 请问为了防止该组合价值低于 5 400 万美 元 应购买什么期权对它套期保值 6 某种不支付股息股票价格的年波动率为 25 市场无风险利率为 10 请计算该股票 6 个月期处于平价状态的欧式看涨期权的 Delta 值 7 某金融机构刚出售一些七个月期的日元欧式看涨期权 假设现在日元 的汇率为 1 日元 0 80 美分 期权的协议价格为 0 81 美分 美国和日 本的无风险利率分别为 8 和 5 日元的年波动率为 15 请计算 该期权的 Delta Gamma Vega Theta Rho 值 并解释其含义 8 某金融机构拥有如下柜台交易的英镑期权组合 种类 头寸 期权的 Delta 期权的 Gamma 期权的 Vega 看涨 1000 0 50 2 2 1 8 看涨 500 0 80 0 6 0 2 看跌 2000 0 40 1 3 0 7 看涨 500 0 70 1 8 1 4 现有一种可交易期权 其 Delta 值为 0 6 Gamma 值为 1 5 Vega 值 为 0 8 请问 为使该组合处于 Gamma 和 Delta 中性状态 需要 多少该可交易期权和英镑头寸 为使该组合处于 Vega 和 Delta 中 性状态 需要多少该可交易期权和英镑头寸 9 在上例中 假设有第二种可交易期权 其 Delta 值为 0 1 Gamma 值 为 0 5 Vega 值为 0 6 请问应如何使该组合处于 Delta Gamma 和 Vega 中性状态 习题答案 1 该公司应卖空的合约份数为 1 2 10 000 000 500 270 88 9 89 份 2 在时刻 期货价格和现货价格的关系为 f r rT FS e 假设保值比率为 h 则通过保值可以卖出的价格为 00 f r rT h FFShFShS e 如果 则卖出的价格恒等于 hF0 这时保值组合的方差 f rrT he 为 0 也就证明了是最优保值比率 f rrT he 3 每份期货合约的价值为 108 46875 1 000 108 468 75 美元 应该卖空的合约 份数为 6 000 0008 2 59 760 108 468 757 6 份 4 该银行可以与其他金融机构签订一份它支付固定利率 接受浮动利率的利率互换 协议 5 当该投资组合的价值降到 5400 万美元时 你的资本损失为 10 考虑到你在 1 年 中得到了 3 的现金红利 你的实际损失为 7 令 E RP 表示投资组合的预期 收益率 E RI 表示指数的预期收益率 根据资本资产定价模型有 E RP rf E RI rf 因此当 E RP 7 时 E RI E RP rf rf 1 由于指数 1 年的红利 收益率等于 3 因此指数本身的预期变动率为 4 因此 当组合的价值降到 5400 万美元时 指数的预期值为 0 96 300 288 因此应购买协议价格等于 288 期 限 1 年的欧式看跌期权来保值 所需的欧式看跌期权的数量为 2 60 000 000 300 100 4000 份 其中每份期权的规模为 100 美元乘以指数点 6 在本题中 S X r 0 1 0 25 T t 0 5 因此 2 1 ln 0 1 0 25 2 0 5 0 3712 0 25 0 5 S X d N d1 0 64 该期权的 Delta 值为 0 64 7 在本题中 S 0 80 X 0 81 r 0 08 rf 0 05 T t 0 5833 2 1 21 1 2 ln 0 8 0 81 0 080 050 15 2 0 5833 0 1016 0 15 0 5833 0 15 0 58330 0130 0 5405 0 4998 d dd N d N d 一份看涨期权的 Delta 值为 0 05 0 5833 1 0 54050 5250 f rT t eN de 由于 2 1 2 0 00516 1 11 0 3969 22 d N dee 因此 一份看涨期权的 Gamma 值为 1 0 3969 0 9713 4 206 0 80 0 150 5833 f rT t N d e STt 一份看涨期权的 Vega 值为 1 0 80 0 58330 3969 0 97130 2355 f rT t S TtN d e 一份看涨期权的 Theta 值为 1 12 2 0 8 0 3969 0 15 0 9713 0 05 0 8 0 5405 0 9713 2 0 5833 0 08 0 81 0 9544 0 49480 0399 f f rT t rT t r T t f SN de r SN d erXeN d Tt 一份看涨期权的 Rho 值为 2 0 81 0 5833 0 9544 0 49480 2231 r T t X Tt eN d 8 该组合的 Delta 值为 1000 0 50 500 0 80 2000 0 40 500 0 70 450 该组合的 Gamma 值为 1000 2 2 500 0 6 2000 1 3 500 1 8 6000 该组合的 Vega 值为 1000 1 8 500 0 2 2000 0 7 500 1 4 4000 1 买进 4000 份该可交易期权就可得到 Gamma 中性组合 因为 4000 份该 期权多头的 Gamma 值为 4000 1 5 6000 买进期权后 整个组合的 Delta 值变为 4000 0 6 450 1950 为了使新组合同时处于 Gamma 和 Delta 中性 还得卖出 1950 英镑 2 买进 5000 份该可交易期权就可得到 Vega 中性组合 因为 5000 份该期权多头的 Vega 值为 5000 0 8 4000 买进期权后 整个组合的 Delta 值变为 5000 0 6 450 2550 为了使新组合同时处于 Gamma 和 Delta 中性 还得卖出 2550 英镑 9 令 w1为第 1 种可交易期权的头寸 w2为第 2 种可交易期权的头寸 为了使该组合 处于Gamma 和 Vega 中性状态 w1和 w2必须同时满足如下条件 6000 1 5w1 0 5w2 4000 0 8w1 0 6w2 解得 w1 3200 w2 2400 此时整个组合的 Delta 值为 450 3200 0 6 2400 0 1 1710 因此 只要买进 3200 份第 1 种期权 2400 份第 2 种期权 同时卖出 1710 英镑就 可以使新组合同时处于Delta Gamma 和 Vega 中性状态 十一 习题 1 某市场变量的年波动率为 20 计算此变量相应的日变化率 2 某项资产的年波动率为 35 该资产目前的市场价值 40 万美元 计算 该资产 99 置信度一星期时间的 VaR 美元值 3 目前资产 A 和资产 B 的日波动率分别为 1 5 和 1 8 这两种资产收 益率之间的相关系数的估计值是 0 3 一个由 30 万美元的资产 A 和 50 万美元的资产 B 组成的投资组合 其 99 置信度 10 天的 VaR 是多少 美元 4 一家金融机构持有 10 万德国马克现汇 目前的即期汇率为 1 德国马克 0 6250 美元 汇率的日波动率是 0 7 计算 10 天期 95 置信度的 VaR 美元值 5 考虑某一由单一资产的期权组成的投资组合 如果期权的标的资产价值 是 20 亿美元 日波动率为 3 该投资组合的 Delta 值是 0 5 估算该 投资组合 99 置信度 1 天的 VaR 的美元值 6 一家公司持有价值 4000 万美元的债券头寸 该有价证券组合的修正久 期为 3 7 年 假设收益率曲线只会出现平行移动 收益变动率 以日变 动大小的标准差度量 是 0 09 估算该有价证券组合 90 20 天期的 VaR 7 一家金融公司的有价证券组合由美元对英镑的汇率期权构成 该有价证 券组合的 Delta 值是 56 0 现在汇率是 1 5000 有价证券组合价值的变 动和汇率的波动率间的关系近似为线性关系 若汇率的日波动率是 0 7 估计 99 10 天期的 VaR 值 8 若一家公司的有价证券组合由股票 债券头寸 外汇和实物商品构成 假设其中没有衍生工具 解释 a 用线性模型 b 用历史数据模型计 算 VaR 时的假设条件 9 解释为什么当有价证券组合中包含期权时线性模型只能对 VaR 值进行 近似估计 10 解释为了计算 VaR 值 利率互换如何映射成标准期限的零息票债券 组合 习题答案 1 由于该市场变量的年波动率为 因此其日波动率是 0 2 year 0 2 0 0126 15 8745252 year day 2 根据波动率的关系式 又资 520 35 7 21110 0485 weekyear 产价值 所以一星期 99 400 000S 1 99 0 01 2 33NN 置信度的在险价值为 2 33 X 0 0485 X 400 000 45 202 3 该投资组合价值日变动率的方差为 2222 300 0000 015500 0000 0182 300 000 500 000 0 015 0 018 0 3 125 550 000 该资产组合价值日变动率的标准差是 10 天125 550 000 11 204 91 99 置信度的在险价值为 2 33 11 204 9110 82 558 98 4 10 万德国马克的美元现值为 100 000 0 625 62 500 所以该外汇头寸 10 天期 95 置信度的在现价值为 0 05 1 645N 1 645 62 500 0 00710 2 275 85 5 该投资组合的 VaR 为 20 0 5 0 03 1 99 16978N 美元 6 根据久期模型我们知道 B D y B 其中是一天债券组合的价值变动 是其收益率一天平行移动B y 的变动 而为修正的久期 所以 而的标准差是D3 7D y 0 09 y 根据 有 BDB y 3 7 4000000 0 0009 13320 By DB 由于 所以 该有价证券组合 90 20 天期的 VaR 1 282 0 9N 是 1332020 1 282 76367 7 有价证券组合价值的日变动量与汇率的日变动量的近似关系P S 为 56PS 汇率的日变化率等于 于是有 x 1 5S SS 56 1 5Px 即 84Px 的标准差等于汇率日波动率 即 0 7 因此的标准差为 x P 84 0 0070 588 所以 有价证券组合 99 10 天期的 VaR 是 0 588 2 33104 33 8 线性模型假设每种市场变量的日变化率都服从正态概率分布 历史数据