有理数四则运算方法

有理数四则运算有理数四则运算 1 有理数的加法 有理数的加法 1 符号相同的两数相加 和的符号与两个加数的符号一致 和的绝对值等于两个加 数绝对值之和 14 12 14 12 26 15 14 15 14 29 2 符号相反的两数相加 当两个加数绝对值不等时 和的符号与绝对值较大的加数 的符号相同 和的绝对值等于加数中较大的绝对值减去较小的绝对值 35 25 35 25 10 32 60 60 32 28 3 互为相反的两个数相加得 0 26 26 0 4 一个数同 0 相加 仍得这个数 26 0 26 35 0 35 注意 注意 一个有理数由符号和绝对值两部分组成 所以进行加法运算时 必须分别确定和的符 号和绝对值 2 有理数的减法 有理数的减法 减去一个数 等于加上这个数的相反数 例如 25 17 25 17 25 17 8 14 35 14 35 35 14 21 25 17 可以写成省略括号的形式 14 12 25 17 可以读作 正 14 加 12 减 25 减 17 也可以读作 正 14 正 12 负 25 负 17 的和 在把有理数加减混合运算统一为最简的形式 负数前面的加号可以省略不写 3 有理数的乘法 有理数的乘法 1 两数相乘 同号得正 异号得负 同号得正 异号得负 任何数同 0 相乘 都得 0 同号相乘得正 异号相乘得负 0 3 0 0 3 0 2 0 0 2 0 0 任何数乘 0 都得 0 2 互为倒数的两个数乘积是 互为倒数的两个数乘积是 1 符号相反的两个互为倒数的乘积是 符号相反的两个互为倒数的乘积是 1 1 1 6 5 5 6 6 5 5 6 1 1 6 5 5 6 6 5 5 6 3 几个不是 0 的数相乘 负因数的个数是偶数时 积是正数 负因数的个数是奇数 时 积是负数 5 30 负因数的个数是偶数积为正 5 30 负因数的个数是奇数积为负 4 两个数相乘 交换因数的位置 积相等 即 b baa 5 三个数相乘 先把前两个数相乘 或者先把后两个数相乘 积相等 b c bc aa 5 4 5 4 6 一个数同两个数的和相乘 等于把这个数分别同这两个数相乘 再把积相加 b c b caaa 5 4 8 5 4 5 8 4 有理数的除法 有理数的除法 1 两数相除 同号得正 异号得负 并把绝对值相除 72 9 8 72 9 8 同号相除得正 2 0 除以任何一个不等于 0 的数 都得 0 0 9 0 0 9 0 3 除以一个不等于 0 的数 等于乘这个数的倒数 15 15 18 15 15 18 6 5 5 6 6 5 5 6 4 因为有理数的除法可以化为乘法 所以可以利用乘法的运算性质简化运算 乘除 混合运算往往先将除法化成乘法 然后确定积的符号 最后求出结果 例 35 8 7 4 3 原式原式 35 变除为乘 7 8 4 3 40 约分 4 3 30 5 有理数的乘方 有理数的乘方 基本概念 n 个相同的因数相乘 即 我们把它记作 n 表示 n 个 a 相乘 aaaaa a 这种求这种求相同因数的积的运算 叫做乘方 乘方的结果叫做幂 在 n中 叫做底数 n 叫做指数 读作的 n 次幂 aaa 幂的运算 1 正数的任何次幂都是正数 例 23 8 32 9 2 负数的奇数次幂是负数 负数的偶数次幂是正数 例 2 3 8 2 2 4 3 0 的任何正整数次幂都是 0 例 02 0 4 任何不等于 0 数的 0 次幂都是 1 例 20 1 2 0 1 5 任何不等于零的数的 p 次幂 等于这个数的 p 次幂的倒数 例 3 2 2 3 1 注 在同底数幂的除法 零指数幂 负指数幂中底数均不为 0 6 正整数指数幂公式 正整数指数幂公式 0 1 0 aa 1 0 aaa m an m n m 和 n 是正整数 aa m n mn m 和 n 是正整数 aa b n n b n n 是正整数 aa m n m n 0 m 和 n 是正整数 m n aaaa n 公式乘方公式 n 是正整数 b a n n b a n a 0 n 是正整数 a n 1 a 7 有理数的开方 有理数的开方 求一个非负数的平方根的运算叫做开平方 1 平方根 平方根 如果一个数 x 的平方等于 那么 这个数 x 就叫做的平方根 是被开方数 aaa 也即 x2 0 时 我们称 x 是的平方根 记做 x aaaa 0 a 平方根的性质 平方根的性质 A 一个正数有正 负两个平方根 它们互为相反数 B 零有一个平方根 它是零本身 C 负数没有平方根 开平方 开平方 求一个非负数的平方根的运算叫做开平方 3 与 3 的平方是 9 9 的平方根是 3 和 3 可见平方运算与开平方运算互为逆运算 根据这种关系 我们可以通过平方运算来求 一个数的平方根 平方根的表示方法平方根的表示方法 一个正数的正的平方根 用符号 表示 叫做被开方数 2 叫做根指数 a 2 aa 正数的负的平方根用符号 表示 的平方根合起来记作 其a 2 aa 2 a 中 读作 二次根号 读作 二次根号下 2 2 aa 当根指数为 2 时 通常将这个 2 省略不写 所以正数的平方根也可记作 aa 读作 正 负根号 a 因此 当 0 时 它的平方根只有一个 也就是 0 本身 a 当 0 时 也就是为正数时 它有两个平方根 且它们是互为相反数 aa 通常记做 ax 当 0 时 也即为负数时 它不存在平方根 aa 2 算术平方根 算术平方根 如果一个正数 x 的平方等于 即 x2 那么 这个正数 x 就叫做的算术平方aaa 根 记为 读作 根号 其中 称为被开方数 aaa 特别规定 0 的算术平方根仍然为 0 算术平方根的性质 具有双重非负性非负性 即 0 a0 a 算术平方根与平方根的关系 算术平方根是平方根中正的一个值算术平方根是平方根中正的一个值 它与它的相反数 共同构成了平方根 因此 算术平方根只有一个值 并且是非负数 它只表示为 而平方根具有两a 个互为相反数的值 表示为 a 3 立方根 立方根 如果一个数的立方等于 那么这个数叫做的立方根 叫做被开立方数 aaa 立方根的性质 立方根的性质 A 正数有一个正立方根 例 2 3 4 3 8 3 27 3 64 B 负数有一个负立方根 例 2 3 4 3 8 3 27 3 64 C 零的立方根是零 立方根的表示 立方根的表示 数的立方根我们用符号 来表示 读作 三次根号 其中叫做被开方数 3a 3 aaa 叫做根指数 3 且不能省略 开立方 求一个数的立方根的运算 叫做开立方 开立方运算与立方运算是互逆运算 如 32 27 则 3 3 27 3 2 27 则 3 3 27 重点 正数的立方根是正数 负数的立方根是负数 重点 正数的立方根是正数 负数的立方根是负数 8 有理数混合运算的运算顺序 有理数混合运算的运算顺序 1 1 从高级到低级 先算乘方 再算乘除 最后算加减 从高级到低级 先算乘方 再算乘除 最后算加减 有理数的混合运算涉及多种运算 确定合理的运算顺序是正确解题的关键 例 1 计算 3 50 22 1 2 3 1 原式 3 50 4 1 先乘方运算 9 1 3 50 1 变除为乘 4 1 9 1 3 1 1 再算乘法 18 7 3 最后算加减 18 7 2 2 从内向外 如果有括号 就先算小括号里的 再算中括号里的 最后算大括号 从内向外 如果有括号 就先算小括号里的 再算中括号里的 最后算大括号 里的里的 例 2 计算 5 4 1 0 2 2 5 1 原式 5 4 1 2 先算小括号中的乘法 25 1 5 4 2 再算小括号中的减法 25 24 5 4 再算中括号中的除法 25 12 5 4 再算中括号中的加法 25 1