高中数学：《计数原理》（理）知识点串讲

用心 爱心 专心 计数原理计数原理 理 知识点串讲 理 知识点串讲 一 基本计数原理 1 分类加法计数原理 做一件事 完成它有n类办法 在第一类办法中有 1 m种不同的办法 在第二类办法中 有 2 m种不同的办法 在第n类办法中有 n m种不同的办法 那么完成这件事共有 12n Nmmm 种不同的办法 2 分步乘法计数原理 做一件事 完成它需要分成n个步骤 做第一个步骤有 1 m种不同的方法 做第二个步 骤有 2 m种不同的方法 做第n个步骤有 n m种不同的方法 那么完成这件事共有 12n Nmmm 种不同的方法 说明 分类加法计数原理和分步乘法计数原理的共同点是把一个原始事件分解成若 干个分事件来完成 两个原理的区别在于一个与分类有关 一个与分步有关 如果完成一件事情有n类 办法 这n类办法彼此之间是相互独立的 无论哪一类办法中的哪一种方法都能独立完成 这件事情 可类比物理中的 并联 电路来理解 如果完成一件事情需要分成n个步骤 各个步骤都是相依的 不可缺少的 一个步骤只能完成事情的一部分 必须依次完成所有 的步骤 才能完成这件事情 可类比物理中的 串联 电路来理解 运用两个基本原理解题时 应善于从语言的差异与变化中弄清面临怎样的 一件事 弄清事件之间的关系是相依还是相斥 然后按照恰当的 对象 进行分类或分步 合理的 设计相应的做事方式 分类要做到 不重不漏 分步要做到 步骤完整 这两个原理是 解决排列组合问题的理论基础 二 排列与组合 1 排列 一般地 从n个不同元素中取出 m mn 个元素 按照一定的顺序排成一列 叫做 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 说明 排列的定义中包括两个基本内容 一是 取出元素 二是 按照一定的顺序 排列 只有取出的元素完全相同 并且元素排列的顺序也完全相同时 才是同一个排列 元素不完全相同 或元素完全相同而顺序不同的排列属于不同排列 如 1 2 3 与 2 3 4 是不同排列 1 2 3 与 1 3 2 也是不同排列 排列中元素的有序性是判断一个具体问题是不是排列问题的标准 也是与组合问题 的根本区别 例如 从 1 2 3 5 这四个数中每次任取两个数相加 或相乘 可得到多 少个不同的和 积 因为加法 乘法 满足交换律 它们的和 积 与顺序无关 如 3 5 5 3 因此不是排列问题 如果从四个数中任取两个数相减 相除 一共有多少个不 同的差 商 因为减法 除法 不满足交换律 35 3553 53 取出的两个数就 用心 爱心 专心 与顺序有关了 属于排列问题 2 排列数 1 定义 从n个不同元素中取出 m mn 个元素的所有排列的个数 叫做从n个 不同元素中取出 m mn 个元素的排列数 用符号 m n A表示 说明 排列和排列数是两个不同的概念 一个排列是取出的m个元素按照一定顺序排 成的一个具体的排列 是具体的 一件事 排列数是一个数 是所有的具体排列的数目 如 从 1 2 3 中每次任取出两个元素 组成一个两位数 所有的排列有 12 13 23 21 31 32 其中每一个数都是一个排列 而排列数是 2 3 6card AB 1213 23 213132B 2 排列数公式 1 2 1 m n n An nnnmnmmn nm 说明 规定0 1 乘积形式多用于数字计算 阶乘形式多用于证明恒等式 排列数 性质 1 1 mm nn AnA 1 11 mmm nnn AmAA 3 组合 一般地 从n个不同元素中 任意取出 m mn 个元素并成一组 叫做从n个不同 元素中取出 m mn 个元素的组合 说明 如果两个组合中的元素完全相同 不管它们的顺序如何都是相同的组合 组合 的定义中包含两个基本内容 一是取出元素 二是并成一组 并成一组表示将元素合在一 起与元素取出的顺序无关 取出的元素是否有顺序 是区分排列和组合的根本依据 4 组合数 1 定义 从n个不同元素中 任意取出 m mn 个元素的所有的组合的个数 叫 做从n个不同元素中取出 m mn 个元素的组合数 用符号Cm n 表示 2 组合数公式 1 1 C m n n nnm m C m m n n m m A A 5 组合数的性质 性质 1 CC mn m nn 性质 1 1 2 CCC mmm nnn 说明 性质 1 突出了从n个不同元素中取出m个元素与从n个不同元素中取出 nm 个元素是一一对应关系 当 2 n m 时 不计算Cm n 而改为计算Cn m n 性质 2 中注意 它的变形公式的应用 如 12 12 1 CCC 1 mmm nnn nn n mm m 1 1 CC mm nn mn 等 用心 爱心 专心 6 解排列组合问题的方法 1 先要判断是组合问题还是排列问题 按照元素的性质分类 按照事件的发生过程 分步 不重不漏 借助树形图 框图等形的工具直观帮助解题 总体上有三种方法 直接 法 先安排特殊元素和特殊位置 间接法 正难则反 分类讨论法 2 排列组合问题的 16 字方针 12 个技巧 方针是 分类相加 分步相乘 有序排 列 无序组合 技巧是 相邻问题捆绑法 莫忘松绑 不相邻问题插空法 多排问题直排 法 定序问题可能法 定位问题优先法 有序分配问题先整体后局部分步法 多元问题分 类法 构造模型处理法 至少 至多问题间接法 选排问题先选后排法 局部与整体问题 排除法 复杂问题转化法 3 分组问题的求法 设有m nA个元素 平均分成n组 每组m个 则有 1 2 CCCC mmmm mnnmnmm n n A AA 种分法 平均分成n组 再分配到n个位置 有 1 2 CCCC mmmm mnnmnmm AA 种分法 若不平均分组或不平均分组再分配 如 6 个元素分成 3 组 一组 1 个 二组 2 个 三组 3 个 则有 123 653 C C CAA 若再将这 3 组分配给 3 个位置 则有 1233 6533 C C CAAAA种分法 三 二项式定理 1 二项展开式 在 011222 CCCCC nnnnrn rrnn nnnnn abaabababb 中 右边的多 项式叫做 nab 的二项展开式 其中各项的系数C 012 r n rn 叫做二项式系 数 式中的Cr n rr na b 叫做二项展开式的通项 用 1r T 表示 即通项为展开式的第1r 项 1 rn rr rn TC ab 0rn r N n N 此公式称为二项展开式的通项公式 说明 其右端展开式共有1n 项 通项公式 1 0 rn rr rn TC abrnrn NN 表示的是第 1 0 rrn 项 a与b的位置不能互换 对于任意实数a与b 上面的等式恒成立 二项式系数指 01rn nnnn CCCC 二项展开式的系数与ab 前面的系数有 关 2 杨辉三角 杨辉三角是我国古代数学的研究成果 它给我们提供了一种研究问题的数学模型 从 不同的角度观察研究模型 就可以得到二项式系数的性质 一是对称性 结合公式 mn m nn CC 理解 二是增减性与最大值 如果二项式的幂指数是偶数 中间一项的二 用心 爱心 专心 项式系数最大 最大为 2 n n C 如果二项式的幂指数是奇数 中间两项的二项式系数相等并 且最大 最大为 11 22 nn nn CC 三是各项的二项式系数的和等于2n 即 01 2 rnn nnnn CCCC 它表明集合S含有n个元素 那么它的所有的子集 包 括空集 的个数为2n个 另外 二项展开式中 偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二 项式系数的和 即 1350241 2n nnnnnn CCCCCC 3 二项展开式的应用 1 利用通项公式 1 0 rn rr rn TC abrnrn NN 求指定项 特征项 常数项 有理项等 或特征项的系数 2 近似计算 当a与 1 相比较很小且n不大时 常用近似公式 1 1 n ana 使用公式时要注意a的条件以及对计算精确度的要求 3 整除性问题与求余数问题 对被除式进行合理的变形 把它写成恰当的二项式的 形式 使其展开后的每一项含有除式的因式或只有一 二项不能整除 4 求展开式的各项的系数和 对形如 naxb 2 n axbxcabc R