高中数学《向量的应用》学案1 苏教版必修4

用心 爱心 专心1 向量的应用向量的应用 知识梳理 理解向量的几何 代数 三角及物理方面的应用 能将当前的问题转化为可用向量解 决的问题 培养学生的创新精神和应用能力 特别提示 许多代数 几何中的问题都可以转化为向量来处理 它不仅能解决数学学科本身的问题 跨学科应用也是它的一个特点 点击双基 1 若 O 是 ABC 内一点 0 则 O 是 ABC 的OAOBOC A 内心B 外心C 垂心D 重心 解析 以 为邻边作平行四边形 OBDC 则 OBOCODOBOC A BC D O E 又 0 OAOBOC OBOCOA O 为 AD 的中点 且 A O D 共线 OAOD 又 E 为 OD 的中点 O 是中线 AE 的三等分点 且 OA AE 3 2 O 是 ABC 的重心 答案 D 2 将椭圆 x2 6y2 2x 12y 13 0 按向量 a 平移 使中心与原点重合 则 a 的坐标是 A 1 1 B 1 1 C 1 1 D 1 1 解析 椭圆方程变形为 x 1 2 6 y 1 2 20 需按 a 1 1 平移 中心与原点重合 答案 C 3 平面直角坐标系中 O 为坐标原点 已知两点 A 3 1 B 1 3 若点 C 满 足 其中 R 且 1 则点 C 的轨迹方程为OCOAOB A 3x 2y 11 0B x 1 2 y 2 2 5 C 2x y 0D x 2y 5 0 解析 C 点满足 且 1 A B C 三点共线 C 点的轨迹是OCOAOB 用心 爱心 专心2 直线 AB 答案 D 4 在四边形 ABCD 中 0 则四边形 ABCD 是ABBCBCAD A 直角梯形B 菱形C 矩形D 正方形 解析 由 0 知 由 知 BCAD 四边形 ABCD 是矩形 ABBCABBCBCAD 答案 C 5 2004 年全国 理 9 已知平面上直线 l 的方向向量 e 点 5 4 5 3 O 0 0 和 A 1 2 在 l 上的射影分别是和 A 则 e 其中 等于 O AO A B C 2D 2 5 11 5 11 解析 如图所示 令 e 过原点 与 e 方向相反 排除 A C 验证 D 即可 AO x y O O A A 答案 D 典例剖析 例 1 已知 a b 是两个非零向量 当 a tb t R 的模取最小值时 1 求 t 的值 2 求证 b a tb 剖析 利用 a tb 2 a tb 2进行转换 可讨论有关 a tb 的最小值问题 若能计算得 b a tb 0 则证得了 b a tb 1 解 设 a 与 b 的夹角为 则 a tb 2 a tb 2 a 2 t2 b 2 2a tb a 2 t2 b 2 2t a b cos b 2 t cos b a 2 a 2sin2 所以当 t cos 时 a tb 有最小值 b a 2 cos b ba 2 b ba 2 证明 因为 b a tb b a b a b a b 0 所以 2 b ba b a tb 评注 用向量的数量积可以处理有关长度 角度和垂直等几何问题 向量的坐标运算 为处理这类问题带来了很大的方便 思考讨论 对 a tb 的变形 有两种基本的思考方法 一是通过 a tb 2 a tb 2进行向量的数量 积运算 二是设 a b 的坐标 通过向量的坐标运算进行有目的的变形 读者可尝试用后一 方法解答本题 深化拓展 用心 爱心 专心3 已知 a b a b a b 2 当 AOB 面积取最大值时 求 a 与 b 的夹角 OAOB 解 因为 a b 2 4 所以 a2 2a b b2 4 所以 a 2 b 2 4 2a b 8 S AOB sin 2 1 OAOB a b 2 1 2 cos1 2 1 222 baba 2 1 4 22 ba 2 1 4 2 2 22 ba 3 当且仅当 a b 2 时取等号 所以当 a b 2 时 AOB 的面积取最大值 这时 cos 所以 b a ba 22 2 2 1 60 例 2 如图 四边形 MNPQ 是 C 的内接梯形 C 是圆心 C 在 MN 上 向量 与的夹角为 120 2 CMPNQCQM Q P MN C 1 求 C 的方程 2 求以 M N 为焦点且过点 P Q 的椭圆的方程 剖析 需先建立直角坐标系 为了使所求方程简单 需以 C 为原点 MN 所在直线为 x 轴 求 C 的方程时 只要求半径即可 求椭圆的方程时 只需求 a b 即可 解 1 以 MN 所在直线为 x 轴 C 为原点 建立直角坐标系 xOy 与的夹CMPN 角为 120 故 QCM 60 于是 QCM 为正三角形 CQM 60 又 2 即 cos CQM 2 于是 r 2 QCQMQCQMQC 故 C 的方程为 x2 y2 4 2 依题意 2c 4 2a QN QM 而 QN 2 QM 2 22 24 3 于是 a 1 b2 a2 c2 2 33 所求椭圆的方程为 1 324 2 x 32 2 y 用心 爱心 专心4 评述 平面向量在解析几何中的应用越来越广 复习时应引起重视 闯关训练 夯实基础夯实基础 1 2004 年辽宁 6 已知点 A 2 0 B 3 0 动点 P x y 满足 PA x2 则点 P 的轨迹是PB A 圆B 椭圆C 双曲线D 抛物线 解析 2 x y 3 x y 2 x PAPBPAPB 3 x y 2 x2 整理得 y2 x 6 P 点的轨迹为抛物线 答案 D 2 台风中心从 A 地以 20 km h 的速度向东北方向移动 离台风中心 30 km 内的地区为 危险区 城市 B 在 A 的正东 40 km 处 B 城市处于危险区内的时间为 A 0 5 hB 1 hC 1 5 hD 2 h 解析 台风中心移动t h 城市B 处在危险区 则 20t 2 402 2 20t 40 cos45 900 t B 城市处在危险区的时间为 1 h 2 2 1 2 2 1 答案 B 3 在一座 20 m 高的观测台顶测得地面一水塔塔顶仰角为 60 塔底俯角为 45 那 么这座塔的高为 解析 如图 AD DC 20 BD ADtan60 20 3 A B C D 60 45 20 m o o 塔高为 20 1 m 3 答案 20 1 m3 4 有一两岸平行的河流 水速为 1 小船的速度为 为使所走路程最短 小船应朝2 方向行驶 解析 如下图 为使小船所走路程最短 v水 v船应与岸垂直 又 v水 1 v船AB ADC 90 CAD 45 AC2 AB C D 1 2 答案 与水速成 135 角的 用心 爱心 专心5 5 如图 ABC 的 BC 边的中点为 M 利用向量证明 AB2 AC2 2 AM2 BM2 A B C M 证明 设 m b c 则 m m m AMABAC 2 cb 2 cb 2 cb b2 b c c2 4 1 2 1 4 1 AB2 AC2 AB AC cos BAC 4 1 4 1 2 1 AB2 AC2 AB AC 4 1 4 1 2 1 ACAB BCACAB 2 222 AB2 AC2 AB2 AC2 BC2 4 1 4 1 4 1 AM2 AB2 AC2 BC2 2 1 2 1 4 1 又 BC2 4BM2 AB2 AC2 2 AM2 BM2 6 如图 用两根绳子把重10 N 的物体W 吊在水平杆子AB 上 ACW 150 BCW 120 求 A 和 B 处所受力的大小 忽略绳子重量 AB C W E F 解 设 A B 处所受力分别为 f1 f2 10 N 的重力用 f 表示 则 f1 f2 f 以重力作用点 C 为 f1 f2的始点 作平行四边形 CFWE 使 CW 为对角线 则 f1 f2 f CFCECW 则 ECW 180 150 30 FCW 180 120 60 FCE 90 四边形 CEWF 为矩形 cos30 10 5 CECW 2 3 3 cos60 10 5 CFCN 2 1 A 处受力为 5 N B 处受力为 5 N 3 培养能力培养能力 7 已知 A 4 0 N 1 0 若点 P 满足 6 ANAPPN 1 求点 P 的轨迹方程 并说明该轨迹是什么曲线 2 求 的取值范围 PN 用心 爱心 专心6 3 若 M 1 0 求 MPN 在 0 上的取值范围 解 1 设 P x y x 4 y 1 x y 3 0 APPNAN 6 ANAPPN 3 x 4 6 即 3x2 4y2 12 22 1 yx 1 P 点的轨迹是以 1 0 1 0 为焦点 长轴长为 4 的椭圆 34 22 yx 2 N 1 0 为椭圆的右焦点 x 4 为右准线 设 P x0 y0 P 到右准线的距离 为 d d 4 x0 e PN d 2 x0 2 1 PN 3 d PN 2 1 2 1 2 4 0 x 当 PN 1 时 P 2 0 当 PN 3 时 P 2 0 3 令 PN t 1 t 3 则 PM 4 t MN 2 cos MPN 2 222 PMPN MNPMPN 1 tt tt 42 44 22 tt 4 6 由 1 t 3 得 3 t 4 t 4 cos MPN 1 0 MPN 2 1 3 8 如图 已知 ABC 的顶点坐标依次为 A 1 0 B 5 8 C 7 4 在边 AB 上有一点 P 其横坐标为 4 在 AC 上求一点 Q 使线段 PQ 把 ABC 分成面积相等 的两部分 O A B C P Q x y 解 设 P 分的比为 1 则AB 4 1 3 1 1 1 51 即 3 PB AP AP AB 3 4 又 BACAQAP BACACAB S S APQ ABC sin 2 1 sin 2 1 用心 爱心 专心7 AP AB AQ AC 1 2 即 2 AQ AC 2 3 QC AQ 设 2 则 2 2 xQ 5 QC AQ 2 2 71 yQ Q 5 2 2 1 4 3 8 3 8 探究创新探究创新 9 如下图 已知 OFQ 的面积为 S 且与的数量积等于 1 OFFQ O Q F 1 若 S 2 求向量与的夹角 的取值范围 2 1 OFFQ 2 设 c c 2 S c 若以 O 为中心 F 为焦点的椭圆经过点 Q 当 OF 4 3 OQ 取得最小值时 求此椭圆的方程 解 1 tan 2S 又 S 2 cos sin 2 1 FQOF SFQOF 2 1 1 tan 4 arctan4 4 2 以 O 为原点 所在直线为 x 轴建立坐标系 OF 设椭圆方程为 1 a b 0 2 2 a x 2 2 b y 点 Q x1 y1 则 x1 c y1 FQ 又 OFQ 的面积为 y1 c 2 1 OF 4 3 y1 又由 1 解得 x1 c 2 3 OFFQ c 1 c 2 OQ 2 1 2 1 yx 4 91 2 c c 设 f c c 则 c 1 c 1 f 2 1 c 2 2 1 c c 用心 爱心 专心8 当 c 2 时 c 0 f c 在 2 上递增 当 c 2 时 最小 f OQ 此时 Q 由此可得 2 5 2 3 a2 10 b2 6 4 1 4 9 4 25 22 22 ba bb 椭圆方程为 1 610 22 yx 思悟小结 向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观 向量本身是一个数形结合的产物 因此在 向量的复习中要注意数与形的结合 代数与几何的结合 形象思维与逻辑思维的结合 应用 向量可以解决平面几何中的一些问题 在物理和工程技术中应用也很广泛 教师下载中心 教学点睛教学点睛 教材中安排了解三角形应用举例和实习作业 根据新教材突出应用这一显著特点 教 学中应充分利用这些素材 使学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练 渗透数学建模 思想 培养学生分析 解决实际问题的能力 拓展题例拓展题例 例 1 已知 a x2 x b x x 3 x 4 4 3 1 1 求 f x a b 的表达式 2 求 f x 的最小值 并求此时 a 与 b 的夹角 解 1 f x a b x2 x x x 3 x3 x2 3x x 4 4 3 1 3 1 2 x x2 2x 3 x 3 x 1 f 列表 x 4 4 3 3 3 1 1 1 4 4 x f 0 0 f x 3 20 极大值 9 极小值 3 5 3 76 故当 x 1 时 f x 有最小值为 3 5 此时 a 1 b 1 2 3 1 设 为 a 与 b 的夹角 则 cos b a ba 2 2 又由 0 得 4 3 例 2 如图所示 对于同一高度 足够高 的两个定滑轮 用一条 足够长 绳子 用心 爱心 专心9 跨过它们 并在两端分别挂有 4 kg 和 2 kg 的物体 另在两个滑轮中间的一段绳子悬挂另一 物体 为使系统保持平衡状态 此物体的质量应是多少 忽略滑轮半径 绳子的重量 2 4 m F F kg kg kg 1 2 分析 先进行受力分析 列出平衡方程 然后用数学方法求解 解 设所求物体质量为 m kg 时 系统保持平衡 再设 F1与竖直方向的夹角为 1 F2与竖直方向的夹角为 2 则有 mggg gg cos2cos4 sin2sin4 1 1 其中 g 为重力