高中数学圆锥曲线难题

高中数学圆锥曲线难题高中数学圆锥曲线难题 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 高中数学圆锥曲线难题高中数学圆锥曲线难题 一 选择题 共一 选择题 共 10 小题 小题 1 已知椭圆 1 过右焦点 F 作不垂直于 x 轴的弦交椭圆于 B 两点 AB 的垂直平分线交 x 轴于 N 则 NF AB 等于 A B C D 2 设点 P 与正方体 ABCD A1B1C1D1的三条棱 AD BC C1D1所在直线的距离相等 则点 P 的轨迹是 A 圆B 椭圆C 双曲线D 抛物线 3 2010 密云县一模 如图过抛物线 y2 2px p 0 的焦点 F 的直线依次交抛物线及准线于点 A B C 若 BC 2 BF 且 AF 3 则抛物线的方程为 A y2 x B y2 9xC y2 x D y2 3x 4 2011 海珠区一模 一圆形纸片的圆心为原点 O 点 Q 是圆外的一定点 A 是圆周上一点 把纸片折叠使点 A 与点 Q 重合 然后展开纸片 折痕 CD 与 OA 交于 P 点 当点 A 运动时 P 的轨迹是 A 椭圆B 双曲线C 抛物线D 圆 5 2012 武汉模拟 抛物线 y2 2px p 0 的焦点为 F A B 在抛物线上 且 弦 AB 的中点 M 在 其准线上的射影为 N 则的最大值为 A B C 1D 6 2014 齐齐哈尔二模 如图 在等腰梯形 ABCD 中 AB CD 且 AB 2AD 设 DAB 0 以 A B 为焦点且过点 D 的双曲线的离心率为 e1 以 C D 为焦点且过点 A 的椭圆的离心率为 e2 则 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 A 随着角度 的增大 e1 增大 e1e2 为定值 B 随着角度 的增大 e1 减小 e1e2 为定值 C 随着角度 的增大 e1 增大 e1e2 也增大 D 随着角度 的增大 e1 减小 e1e2 也减小 7 2014 怀化三模 从 其中 m n 1 2 3 所表示的圆锥曲线 椭圆 双曲线 抛物线 方程 中任取一个 则此方程是焦点在 x 轴上的双曲线方程的概率为 A B C D 8 2013 温州二模 抛物线 y2 2px p 0 的准线交 x 轴于点 C 焦点为 F A B 是抛物线上的两点 己知 A B C 三点共线 且 AF AB BF 成等差数列 直线 AB 的斜率为 k 则有 A B C D 9 2014 和平区模拟 在抛物线 y x2 ax 5 a 0 上取横坐标为 x1 4 x2 2 的两点 经过两点引一条割线 有 平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 5x2 5y2 36 相切 则抛物线顶点的坐标为 A 2 9 B 0 5 C 2 9 D 1 6 10 2012 安徽模拟 下列四个命题中不正确的是 A 若动点 P 与 定点 A 4 0 B 4 0 连 线 PA PB 的斜率之积 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 为定值 则 动点 P 的轨 迹为双曲线 的一部分 B 设 m n R 常数 a 0 定义运算 m n m n 2 m n 2 若 x 0 则动点 的轨迹是抛 物线的一部 分 C 已知两圆 A x 1 2 y2 1 圆 B x 1 2 y2 25 动 圆 M 与圆 A 外切 与圆 B 内切 则 动圆的圆心 M 的轨迹是 椭圆 D 已知 A 7 0 B 7 0 C 2 12 椭圆过 A B 两点且 以 C 为其一 个焦点 则 椭圆的另一 个焦点的轨 迹为双曲线 二 解答题 共二 解答题 共 10 小题 小题 11 2008 天津 已知中心在原点的双曲线 C 的一个焦点是 F1 3 0 一条渐近线的方程是 求双曲线 C 的方程 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 若以 k k 0 为斜率的直线 l 与双曲线 C 相交于两个不同的点 M N 且线段 MN 的垂直平分线与两坐标 轴围成的三角形的面积为 求 k 的取值范围 12 2013 北京 直线 y kx m m 0 与椭圆相交于 A C 两点 O 是坐标原点 当点 B 的坐标为 0 1 且四边形 OABC 为菱形时 求 AC 的长 当点 B 在 W 上且不是 W 的顶点时 证明 四边形 OABC 不可能为菱形 13 已知焦点在 x 轴上的双曲线 C 的两条渐近线过坐标原点 且两条渐近线与以点 A 0 为圆心 1 为半径 为圆相切 又知 C 的一个焦点与 A 关于直线 y x 对称 1 求双曲线 C 的方程 2 若 Q 是双曲线 C 上的任一点 F1 F2为双曲线 C 的左 右两个焦点 从 F1引 F1QF2的平分线的垂线 垂 足为 N 试求点 N 的轨迹方程 14 2011 安徽 设 0 点 A 的坐标为 1 1 点 B 在抛物线 y x2上运动 点 Q 满足 经过点 Q 与 x 轴垂直的直线交抛物线于点 M 点 P 满足 求点 P 的轨迹方程 15 2013 南开区一模 已知椭圆 C 的中心在原点 焦点在 x 轴上 它的一个顶点恰好是抛物线的焦点 离心率等于 1 求椭圆 C 的方程 2 过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A B 两点 交 y 轴于 M 点 若 求证 1 2为定值 16 2013 广东 已知抛物线 C 的顶点为原点 其焦点 F 0 c c 0 到直线 l x y 2 0 的距离为 设 P 为直线 l 上的点 过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA PB 其中 A B 为切点 1 求抛物线 C 的方程 2 当点 P x0 y0 为直线 l 上的定点时 求直线 AB 的方程 3 当点 P 在直线 l 上移动时 求 AF BF 的最小值 17 2008 上海 已知双曲线 1 求双曲线 C 的渐近线方程 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 2 已知点 M 的坐标为 0 1 设 P 是双曲线 C 上的点 Q 是点 P 关于原点的对称点 记 求 的 取值范围 3 已知点 D E M 的坐标分别为 2 1 2 1 0 1 P 为双曲线 C 上在第一象限内的点 记 l 为经 过原点与点 P 的直线 s 为 DEM 截直线 l 所得线段的长 试将 s 表示为直线 l 的斜率 k 的函数 18 2011 南通三模 过抛物线 y2 4x 上一点 A 1 2 作抛物线的切线 分别交 x 轴于点 B 交 y 轴于点 D 点 C 异于点 A 在抛物线上 点 E 在线段 AC 上 满足 1 点 F 在线段 BC 上 满足 2 且 1 2 1 线段 CD 与 EF 交于点 P 1 设 求 2 当点 C 在抛物线上移动时 求点 P 的轨迹方程 19 2013 四川 已知椭圆 C a b 0 的两个焦点分别为 F1 1 0 F2 1 0 且椭圆 C 经过 点 求椭圆 C 的离心率 设过点 A 0 2 的直线 l 与椭圆 C 交于 M N 两点 点 Q 是线段 MN 上的点 且 求点 Q 的轨迹方程 20 2014 宜昌模拟 已知点 A B 的坐标分别是 0 1 0 1 直线 AM BM 相交于点 M 且它们的斜率 之积 1 求点 M 轨迹 C 的方程 2 若过点 D 2 0 的直线 l 与 1 中的轨迹 C 交于不同的两点 E F E 在 D F 之间 试求 ODE 与 ODF 面积之比的取值范围 O 为坐标原点 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 高中数学圆锥曲线难题高中数学圆锥曲线难题 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 共一 选择题 共 10 小题 小题 1 已知椭圆 1 过右焦点 F 作不垂直于 x 轴的弦交椭圆于 B 两点 AB 的垂直平分线交 x 轴于 N 则 NF AB 等于 A B C D 考点 椭圆的应 用 菁优网版权所有 专题 计算题 压 轴题 分析 本题适合于 特值法 不 妨取直线的 斜率为 1 由 此推导出 NF AB 的 值 解答 解 取直线 的斜率为 1 右焦点 F 2 0 直线 AB 的 方程为 y x 2 联立 方程组 把 y x 2 代入 整 理得 14x2 36x 9 0 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 设 A x1 y1 B x2 y2 则 AB 中点坐 标为 则 AB 的中 垂线方程为 令 y 0 得 点 N 的坐标 NF AB NF AB 故选 B 点评 特值法是求 解选择题和 填空题的有 效方法 2 设点 P 与正方体 ABCD A1B1C1D1的三条棱 AD BC C1D1所在直线的距离相等 则点 P 的轨迹是 A 圆B 椭圆C 双曲线D 抛物线 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 考点 抛物线的定 义 菁优网版权所有 专题 压轴题 圆 锥曲线的定 义 性质与 方程 分析 设 AB 的中 点为 E CD 的中点为 F 过 EF 做一个 平面 EFMN 与 BC 平行 M C1D1 N A1B1 故平 面 EFMN 内 的点到 AD 和 BC 的距 离相等 PM 为 P 到 C1D1 的距离 根 据 P 到 BC 的距离等于 P 到点 M 的 距离 可得 点 P 的轨 迹 解答 解 由题意 可得 AD 和 BC 平行且相 等 设 AB 的中点为 E CD 的中 点为 F 过 EF 做一个平 面 EFMN 与 BC 平行 且 M C1D1 N A1B1 则平 面 EFMN 与 AD 也平行 故平面 EFMN 内的 点到 AD 和 BC 的距离相 等 由正方体的 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 性质可得平 面 EFMN 垂 直于平面 CDD1C1 故 有 D1C1垂 直于平面 EFMN 故 PM 为 P 到 C1D1 的 距离 由此可得 P 到 BC 的距 离等于 P 到 点 M 的距离 故点 P 的轨 迹是抛物线 故选 D 点评 本题主要考 查抛物线的 定义的应用 属于基础 题 3 2010 密云县一模 如图过抛物线 y2 2px p 0 的焦点 F 的直线依次交抛物线及准线于点 A B C 若 BC 2 BF 且 AF 3 则抛物线的方程为 A y2 x B y2 9xC y2 x D y2 3x 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 考点 抛物线的标 准方程 菁优网版权所有 专题 计算题 压 轴题 数形 结合 分析 分别过点 A B 作准线 的垂线 分 别交准线于 点 E D 设 BF a 根据 抛物线定义 可知 BD a 进而推断出 BCD 的值 在直角三角 形中求得 a 进而根据 BD FG 利 用比例线段 的性质可求 得 p 则抛物 线方程可 得 解答 解 如图分 别过点 A B 作准线 的垂线 分 别交准线于 点 E D 设 BF a 则由 已知得 BC 2a 由 定义得 BD a 故 BCD 30 在直角三角 形 ACE 中 AF 3 A C 3 3a 2 AE AC 3 3a 6 从而得 a 1 BD FG 求得 p 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 因此抛物线 方程为 y2 3x 故选 D 点评 本题主要考 查了抛物线 的标准方 程 考查了 学生对抛物 线的定义和 基本知识的 综合把握 4 2011 海珠区一模 一圆形纸片的圆心为原点 O 点 Q 是圆外的一定点 A 是圆周上一点 把纸片折叠使点 A 与点 Q 重合 然后展开纸片 折痕 CD 与 OA 交于 P 点 当点 A 运动时 P 的轨迹是 A 椭圆B 双曲线C 抛物线D 圆 考点 双曲线的定 义 菁优网版权所有 专题 计算题 压 轴题 数形 结合 分析 根据 CD 是 线段 AQ 的 垂直平分 线 可推断 出 PA PQ 进而可知 PO PQ PO PA OA 结 果为定值 进而根据双 曲线的定义 推断出点 P 的轨迹 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 解答 解 由题意 知 CD 是线 段 AQ 的垂 直平分线 PA PQ PO PQ P O PA OA 定值 根据双曲线 的定义可推 断出点 P 轨 迹是以 Q O 两点为 焦点的双曲 线 故选 B 点评 本题主要考 查了双曲线 的定义的应 用 考查了 学生对椭圆 基础知识的 理解和应用 属于基础 题 5 2012 武汉模拟 抛物线 y2 2px p 0 的焦点为 F A B 在抛物线上 且 弦 AB 的中点 M 在 其准线上的射影为 N 则的最大值为 A B C 1D 考点 抛物线的简 单性质 菁优网版权所有 专题 计算题 压 轴题 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 分析 设 AF a BF b 由抛物 线定义 2 MN a b 再由勾股定 理可得 AB 2 a2 b2 进而根据 基本不等式 求得 AB 的范 围 进而可 得答案 解答 解 设 AF a BF b 由抛物 线定义 得 AF AQ B F BP 在梯形 ABPQ 中 2 MN AQ BP a b 由勾股定理 得 AB 2 a2 b2 配方得 AB 2 a b 2 2ab 又 ab a b 2 2ab a b 2 得到 AB a b 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 所以 即 的最大 值为 故选 A 点评 本题主要考 查抛物线的 应用和余弦 定理的应用 考查了学生 综合分析问 题和解决问 题的能力 6 2014 齐齐哈尔二模 如图 在等腰梯形 ABCD 中 AB CD 且 AB 2AD 设 DAB 0 以 A B 为焦点且过点 D 的双曲线的离心率为 e1 以 C D 为焦点且过点 A 的椭圆的离心率为 e2 则 A 随着角度 的增大 e1 增大 e1e2 为定值 B 随着角度 的增大 e1 减小 e1e2 为定值 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 C 随着角度 的增大 e1 增大 e1e2 也增大 D 随着角度 的增大 e1 减小 e1e2 也减小 考点 椭圆的简单 性质 菁优网版权所有 专题 计算题 压 轴题 分析 连接 BD AC 假 设 AD t 根 据余弦定理 表示出 BD 进而根据双 曲线的性质 可得到 a 的 值 再由 AB 2c e 可表示出 e1 最后根据 余弦函数的 单调性可判 断 e1的单调 性 同样表 示出椭圆中 的 c 和 a 表示 出 e2的关系 式 最后令 e1 e2相乘 即可得到 e1e2的关 系 解答 解 连接 BD AC 设 AD t 则 BD 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 双曲线中 a e1 y cos 在 0 上 单调减 进 而可知当 增大时 y 减小 即 e1 减小 AC BD 椭圆中 CD 2t 1 cos 2c c t 1 c os AC AD t a t e2 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 e1e2 1 故选 B 点评 本题主要考 查椭圆和双 曲线的离心 率的表示 考查考生对 圆锥曲线的 性质的应用 圆锥曲线是 高考的重点 每年必考 平时要注意 基础知识的 积累和练 习 7 2014 怀化三模 从 其中 m n 1 2 3 所表示的圆锥曲线 椭圆 双曲线 抛物线 方程 中任取一个 则此方程是焦点在 x 轴上的双曲线方程的概率为 A B C D 考点 双曲线的标 准方程 列 举法计算基 本事件数及 事件发生的 概率 菁优网版权所有 专题 计算题 压 轴题 分析 m 和 n 的所 有可能取值 共有 3 3 9 个 其中有 两种不符合 题意 故共 有 7 种 可 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 一一列举 从中数出能 使方程是焦 点在 x 轴上 的双曲线的 选法 即 m 和 n 都为正 的选法数 最后由古典 概型的概率 计算公式即 可得其概率 解答 解 设 m n 表 示 m n 的取 值组合 则 取值的所有 情况有 1 1 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3 共 7 个 注意 1 2 1 3 不 合题意 其中能使方 程是焦点在 x 轴上的双曲 线的有 2 2 2 3 3 2 3 3 共 4 个 此方程是焦 点在 x 轴上 的双曲线方 程的概率为 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 故选 B 点评 本题考查了 古典概型概 率的求法 椭圆 双曲 线 抛物线 的标准方程 列举法计数 的技巧 准 确计数是解 决本题的关 键 8 2013 温州二模 抛物线 y2 2px p 0 的准线交 x 轴于点 C 焦点为 F A B 是抛物线上的两点 己知 A B C 三点共线 且 AF AB BF 成等差数列 直线 AB 的斜率为 k 则有 A B C D 考点 椭圆的标准 方程 等差 数列的通项 公式 直线 的斜率 菁优网版权所有 专题 计算题 圆 锥曲线的定 义 性质与 方程 分析 根据抛物线 方程求出点 C 0 可得直线 AB 方程为 y k x 将其与抛物 线方程消去 y 得到关于 x 的一元二次 方程 由根 与系数的关 系得到 x1 x2 和 x1x2关于 p k 的式子 结合两点间 的距离公式 算出 AB 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 再利用抛 物线的定义 得到 AF BF x1 x2 p p 而 AF AB BF 成等差数 列得出 AF BF 2 AB 从而建 立关于 p k 的等式 化 简整理得 即可解出 得 到本题答 案 解答 解 抛物线 y2 2px 的准 线方程为 x 准线与 x 轴 的交点 C 坐 标为 0 因此 得到 直线 AB 方 程为 y k x 与抛物 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 线 y2 2px 消 去 y 化简整理 得 设 A x1 y1 B x2 y2 由根与系数 的关系得 AB AF AB BF 成等差 数列 AF BF 2 AB 根据抛物线 的定义得 AF x1 BF x2 因此 得到 x1 x2 p 2 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 即 p 2 化简得 约去得 1 k2 1 k2 解之得 k2 故选 D 点评 本题给出抛 物线准线交 对称轴于点 C 过点 C 的直线交抛 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 物线于 A B 两点 A B 与焦点 F 构成的三角 形的三边成 等差数列 求直线 AB 的斜率 着 重考查了抛 物线的定义 与简单几何 性质 直线 与抛物线位 置关系等知 识点 属于 中档题 9 2014 和平区模拟 在抛物线 y x2 ax 5 a 0 上取横坐标为 x1 4 x2 2 的两点 经过两点引一条割线 有 平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 5x2 5y2 36 相切 则抛物线顶点的坐标为 A 2 9 B 0 5 C 2 9 D 1 6 考点 抛物线的应 用 菁优网版权所有 专题 计算题 压 轴题 分析 求出两个点 的坐标 利 用两点连线 的斜率公式 求出割线的 斜率 利用 导数在切点 处的值为切 线的斜率求 出切点坐标 利用直线方 程的点斜式 求出直线方 程 利用直 线与圆相切 的条件求出 a 求出抛物 线的顶点坐 标 解答 解 两点坐 标为 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 4 11 4a 2 2a 1 两点连线的 斜率 k 对于 y x2 ax 5 y 2x a 2x a a 2 解 得 x 1 在抛物线上 的切点为 1 a 4 切线方程为 a 2 x y 6 0 直线与圆相 切 圆心 0 0 到 直线的距离 圆半径 解得 a 4 或 0 0 舍去 抛物线方程 为 y x2 4x 5 顶点坐标为 2 9 故选 A 点评 本题考查两 点连线的斜 率公式 考 查导数在切 点处的值为 切线的斜率 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 考查直线与 圆相切的充 要条件是圆 心到直线的 距离等于半 径 10 2012 安徽模拟 下列四个命题中不正确的是 A 若动点 P 与 定点 A 4 0 B 4 0 连 线 PA PB 的斜率之积 为定值 则 动点 P 的轨 迹为双曲线 的一部分 B 设 m n R 常数 a 0 定义运算 m n m n 2 m n 2 若 x 0 则动点 的轨迹是抛 物线的一部 分 C 已知两圆 A x 1 2 y2 1 圆 B x 1 2 y2 25 动 圆 M 与圆 A 外切 与圆 B 内切 则 动圆的圆心 M 的轨迹是 椭圆 D 已知 A 7 0 B 7 0 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 C 2 12 椭圆过 A B 两点且 以 C 为其一 个焦点 则 椭圆的另一 个焦点的轨 迹为双曲线 考点 椭圆的定义 轨迹方程 菁优网版权所有 专题 证明题 压 轴题 分析 利用直译法 求 A 选项中 动点 P 的轨 迹方程 进 而判断表示 的曲线 利 用新定义运 算 利用直 译法求选项 B 中曲线的 轨迹方程 进而判断轨 迹图形 利 用圆与圆的 位置关系 利用定义法 判断选项 C 中动点的轨 迹 利用椭 圆定义 由 定义法判断 D 中动点的 轨迹即可 解答 解 A 设 P x y 因为直线 PA PB 的斜 率存在 所 以 x 4 直 线 PA PB 的斜率分别 是 k1 k2 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 化简得 9y2 4x2 64 即 x 4 动点 P 的轨 迹为双曲线 的一部分 A 正确 B m n m n 2 m n 2 设 P x y 则 y 即 y2 4ax x 0 y 0 即 动点 的轨迹是抛 物线的一部 分 B 正确 C 由题意可 知 动圆 M 与定圆 A 相 外切与定圆 B 相内切 MA r 1 MB 5 r MA MB 6 AB 2 动圆圆心 M 的轨迹是 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 以 A B 为 焦点的椭圆 C 正确 D 设此椭圆 的另一焦点 的坐标 D x y 椭圆过 A B 两点 则 CA DA CB DB 15 DA 13 DB DB D A 2 AB 椭圆的另一 焦点的轨迹 是以 A B 为焦点的双 曲线一支 D 错误 故选 D 点评 本题综合考 查了求动点 轨迹的两种 方法 直译 法和定义法 考查了圆 椭圆 抛物 线 双曲线 的定义 椭 圆 双曲线 抛物线的标 准方程 有 一定难度 二 解答题 共二 解答题 共 10 小题 小题 11 2008 天津 已知中心在原点的双曲线 C 的一个焦点是 F1 3 0 一条渐近线的方程是 求双曲线 C 的方程 若以 k k 0 为斜率的直线 l 与双曲线 C 相交于两个不同的点 M N 且线段 MN 的垂直平分线与两坐标 轴围成的三角形的面积为 求 k 的取值范围 考点 双曲线的应 用 菁优网版权所有 专题 计算题 压 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 轴题 分析 1 设出双 曲线方程 根据焦点坐 标及渐近线 方程求出待 定系数 即 得双曲线 C 的方程 2 设出直 线 l 的方程 代入双曲线 C 的方程 利用判别式 及根与系数 的关系求出 MN 的中点 坐标 从而 得到线段 MN 的垂直 平分线方程 通过求出直 平分线与坐 标轴的交点 计算围城的 三角形面积 由判别式大 于 0 求得 k 的取值范 围 解答 解 解 设双曲 线 C 的方程 为 a 0 b 0 由题设得 解得 所 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 以双曲线方 程为 解 设直线 l 的方 程为 y kx m k 0 点 M x1 y1 N x2 y2 的坐标满足 方程组 将 式代入 式 得 整理得 5 4k2 x2 8kmx 4m2 20 0 此方程有两 个不等实根 于是 5 4k2 0 且 8km 2 4 5 4k2 4m2 20 0 整理得 m2 5 4k2 0 由根与系数 的关系可知 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 线段 MN 的 中点坐标 x0 y0 满 足 从而线段 MN 的垂直 平分线方程 为 此直线与 x 轴 y 轴的交 点坐标分别 为 由题设可得 整理得 k 0 将上式代入 式得 整理得 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 4k2 5 4k2 k 5 0 k 0 解得 或 所以 k 的取 值范围是 点评 本小题主要 考查双曲线 的标准方程 和几何性质 直线方程 两条直线垂 直 线段的 定比分点等 基础知识 考查曲线和 方程的关系 等解析几何 的基本思想 方法 考查 推理运算能 力 12 2013 北京 直线 y kx m m 0 与椭圆相交于 A C 两点 O 是坐标原点 当点 B 的坐标为 0 1 且四边形 OABC 为菱形时 求 AC 的长 当点 B 在 W 上且不是 W 的顶点时 证明 四边形 OABC 不可能为菱形 考点 椭圆的简单 性质 两点 间的距离公 式 菁优网版权所有 专题 压轴题 圆 锥曲线的定 义 性质与 方程 分析 I 先根据 条件得出线 段 OB 的垂 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 直平分线方 程为 y 从而 A C 的坐标为 根据两点间 的距离公式 即可得出 AC 的长 II 欲证明 四边形 OABC 不可 能为菱形 只须证明若 OA OC 则 A C 两点的 横坐标相等 或互为相反 数 设 OA OC r 则 A C 为 圆 x2 y2 r2 与椭圆 的交点 从 而解得 则 A C 两点的横坐 标相等或互 为相反 数 于是结 论得证 解答 解 I 点 B 的坐标 为 0 1 当四边形 OABC 为菱 形时 AC OB 而 B 0 1 O 0 0 线段 OB 的 垂直平分线 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 为 y 将 y 代入 椭圆方程得 x 因此 A C 的坐标为 如图 于是 AC 2 II 欲证明 四边形 OABC 不可 能为菱形 利用反证法 假设四边形 OABC 为菱 形 则有 OA OC 设 OA OC r 则 A C 为 圆 x2 y2 r2 与椭圆 的交点 故 x2 r2 1 则 A C 两点的横坐 标相等或互 为相反数 从而得到点 B 是 W 的顶 点 这与题 设矛盾 于是结论得 证 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 点评 本题主要考 查了椭圆的 简单性质 直线与椭圆 的位置关系 考查等价转 化思想 属 于基础题 13 已知焦点在 x 轴上的双曲线 C 的两条渐近线过坐标原点 且两条渐近线与以点 A 0 为圆心 1 为半径 为圆相切 又知 C 的一个焦点与 A 关于直线 y x 对称 1 求双曲线 C 的方程 2 若 Q 是双曲线 C 上的任一点 F1 F2为双曲线 C 的左 右两个焦点 从 F1引 F1QF2的平分线的垂线 垂 足为 N 试求点 N 的轨迹方程 考点 双曲线的标 准方程 轨 迹方程 双 曲线的简单 性质 菁优网版权所有 专题 计算题 压 轴题 分析 1 设双曲 线 C 的渐近 线方程为 y kx 根据 题意可得 k 1 所以 双曲线 C 的 方程为 C 的一个 焦点与 A 关 于直线 y x 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 对称 可得 双曲线的焦 点坐标进而 求出双曲线 的标准方 程 2 若 Q 在 双曲线的右 支上 则延 长 QF2到 T 使 QT OF1 若 Q 在双曲 线的左支上 则在 QF2上 取一点 T 使 QT QF1 根据双曲线 的定义 TF2 2 再 利用相关点 代入法求出 轨迹方程即 可 解答 解 1 设 双曲线 C 的 渐近线方程 为 y kx 即 kx y 0 该直线与圆 相切 双曲线 C 的 两条渐近线 方程为 y x 3 分 故设双曲线 C 的方程为 又 双曲线 C 的一个焦 点为 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 2a2 2 a2 1 双曲线 C 的方程为 x2 y2 1 6 分 2 若 Q 在 双曲线的右 支上 则延 长 QF2到 T 使 QT OF1 若 Q 在双曲 线的左支上 则在 QF2上 取一点 T 使 QT QF1 8 分 根据双曲线 的定义 TF2 2 所 以点 T 在以 F2 为圆心 2 为 半径的圆上 即点 T 的轨 迹方程是 10 分 由于点 N 是 线段 F1T 的 中点 设 N x y T xT yT 则 12 分 代入 并整 理得点 N 的 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 轨迹方程为 14 分 点评 本题主要考 查双曲线的 有关性质与 定义 以及 求轨迹方程 的方法 如 相关点代入 法 14 2011 安徽 设 0 点 A 的坐标为 1 1 点 B 在抛物线 y x2上运动 点 Q 满足 经过点 Q 与 x 轴垂直的直线交抛物线于点 M 点 P 满足 求点 P 的轨迹方程 考点 抛物线的应 用 轨迹方 程 菁优网版权所有 专题 综合题 压 轴题 分析 设出点的坐 标 利用向 量的坐标公 式求出向量 的坐标 代 入已知条件 中的向量关 系得到各点 的坐标关系 表示出 B 点 的坐标 将 B 的坐标代 入抛物线方 程求出 p 的 轨迹方程 解答 解 由 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 知 Q M P 三 点在同一条 垂直于 x 轴 的直线上 故可设 P x y Q x y0 M x x2 则 x2 y0 y x2 即 y0 1 x2 y 再设 B x1 y1 由 得 将 代入 式得 又点 B 在抛 物线 y x2 将 代入得 1 2x2 1 y 1 x 2 整理得 2 1 x 1 y 1 0 因为 0 所 以 2x y 1 0 故所求的点 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 P 的轨迹方程 y 2x 1 点评 本题考查题 中的向量关 系提供点的 坐标关系 求轨迹方程 的重要方法 相关点法 即求出相关 点的坐标 将相关点的 坐标代入其 满足的方程 求出动点的 轨迹方程 15 2013 南开区一模 已知椭圆 C 的中心在原点 焦点在 x 轴上 它的一个顶点恰好是抛物线的焦点 离心率等于 1 求椭圆 C 的方程 2 过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A B 两点 交 y 轴于 M 点 若 求证 1 2为定值 考点 椭圆的标准 方程 直线 与圆锥曲线 的综合问 题 菁优网版权所有 专题 综合题 压 轴题 分析 1 根据椭 圆 C 的一个 顶点恰好是 抛物线 的焦 点 离心率 等 于 易 求出 a b 的 值 得到椭 圆 C 的方 程 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 2 设 A B M 点 的坐标分别 为 A x1 y1 B x2 y2 设直线 l 的斜 率为 k 则直 线 l 的方程是 y k x 2 然后采用 联 立方程 设 而不求 韦 达定理 结 合已知中 求出 1 2 值 即可得 到结论 解答 解 1 设 椭圆 C 的方 程为 则由题意 知 b 1 2 分 a2 5 4 分 椭圆 C 的方 程为 5 分 2 设 A B M 点 的坐标分别 为 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 A x1 y1 B x2 y2 M 0 y0 又易知 F 点 的坐标为 2 0 6 分 显然直线 l 存 在的斜率 设直线 l 的斜 率为 k 则直 线 l 的方程是 y k x 2 7 分 将直线 l 的方 程代入到椭 圆 C 的方程 中 消去 y 并整理得 1 5k2 x2 20k2x 20k 2 5 0 8 分 9 分 又 11 分 12 分 点评 本题考查的 知识点是椭 圆的标准方 程 直线与 圆锥曲线的 综合问题 其中根据已 知条件计算 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 出椭圆的标 准方程是解 答本题的关 键 16 2013 广东 已知抛物线 C 的顶点为原点 其焦点 F 0 c c 0 到直线 l x y 2 0 的距离为 设 P 为直线 l 上的点 过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA PB 其中 A B 为切点 1 求抛物线 C 的方程 2 当点 P x0 y0 为直线 l 上的定点时 求直线 AB 的方程 3 当点 P 在直线 l 上移动时 求 AF BF 的最小值 考点 抛物线的标 准方程 利 用导数研究 曲线上某点 切线方程 抛物线的简 单性质 菁优网版权所有 专题 压轴题 圆 锥曲线的定 义 性质与 方程 分析 1 利用焦 点到直线 l x y 2 0 的 距离建立关 于变量 c 的 方程 即可 解得 c 从而 得出抛物线 C 的方程 2 先设 由 1 得 到抛物线 C 的方程求导 数 得到切 线 PA PB 的斜率 最 后利用直线 AB 的斜率的 不同表示形 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 式 即可得 出直线 AB 的方程 3 根据抛 物线的定义 有 从而表示 出 AF BF 再由 2 得 x1 x2 2x0 x 1x2 4y0 x0 y0 2 将它 表示成关于 y0的二次函 数的形式 从而即可求 出 AF BF 的 最小值 解答 解 1 焦 点 F 0 c c 0 到 直线 l x y 2 0 的 距离 解得 c 1 所以抛物线 C 的方程为 x2 4y 2 设 由 1 得抛 物线 C 的方 程为 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 所以切线 PA PB 的斜 率分别为 所以 PA PB 联立 可 得点 P 的坐 标为 即 又因为切线 PA 的斜率为 整理得 直线 AB 的 斜率 所以直线 AB 的方程为 整理得 即 因为点 P x0 y0 为直线 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 l x y 2 0 上 的点 所以 x0 y0 2 0 即 y0 x0 2 所以直线 AB 的方程为 3 根据抛 物线的定义 有 所以 由 2 得 x1 x2 2x0 x 1x2 4y0 x0 y0 2 所以 所以当 时 AF BF 的最 小值为 点评 本题以抛物 线为载体 考查抛物线 的标准方程 考查利用导 数研究曲线 的切线方程 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 考查计算能 力 有一定 的综合性 17 2008 上海 已知双曲线 1 求双曲线 C 的渐近线方程 2 已知点 M 的坐标为 0 1 设 P 是双曲线 C 上的点 Q 是点 P 关于原点的对称点 记 求 的 取值范围 3 已知点 D E M 的坐标分别为 2 1 2 1 0 1 P 为双曲线 C 上在第一象限内的点 记 l 为经 过原点与点 P 的直线 s 为 DEM 截直线 l 所得线段的长 试将 s 表示为直线 l 的斜率 k 的函数 考点 双曲线的简 单性质 直 线与圆锥曲 线的综合问 题 菁优网版权所有 专题 计算题 压 轴题 分析 1 在双曲 线 把 1 换成 0 就得到它 的渐近线方 程 2 设 P 的 坐标为 x0 y0 则 Q 的坐标 为 x0 y0 先求出 然后运用向 量数量积的 坐标运算能 够求出 的 取值范围 3 根据 P 为双曲线 C 上第一象限 内的点 可 知直线 l 的斜 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 率 再由题设条 件根据 k 的 不同取值范 围试将 s 表 示为直线 l 的 斜率 k 的函 数 解答 解 1 在 双曲线 把 1 换成 0 所求渐近线 方程为 2 设 P 的 坐标为 x0 y0 则 Q 的坐标 为 x0 y0 的取值范 围是 1 3 若 P 为 双曲线 C 上 第一象限内 的点 则直线 l 的斜 率 由计算可得 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 当 当 s 表示为直 线 l 的斜率 k 的函数是 点评 本题是直线 与圆锥曲线 的综合问题 解题要熟练 掌握双曲线 的性质和解 题技巧 18 2011 南通三模 过抛物线 y2 4x 上一点 A 1 2 作抛物线的切线 分别交 x 轴于点 B 交 y 轴于点 D 点 C 异于点 A 在抛物线上 点 E 在线段 AC 上 满足 1 点 F 在线段 BC 上 满足 2 且 1 2 1 线段 CD 与 EF 交于点 P 1 设 求 2 当点 C 在抛物线上移动时 求点 P 的轨迹方程 考点 抛物线的简 单性质 向 量在几何中 的应用 菁优网版权所有 专题 综合题 压 轴题 分析 1 设出过 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 A 点的切线 方程 确定 出 D 点 分 别表示出 根据 1 2 1 求 出 的值 2 设 C x0 y0 P x y 用 x0 y0表 示出 x y 代入抛物线 方程 进而 确定 P 点的 轨迹 解答 解 1 过 点 A 的切线 方程为 y x 1 1 分 切线交 x 轴 于点 B 1 0 交 y 轴交于 点 D 0 1 则 D 是 AB 的中点 所以 1 3 分 由 1 2 同理由 1 得 1 1 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 3 2 得 1 2 4 将 2 3 4 式代入 1 得 因为 E P F 三 点共线 所 以 1 再由 1 2 1 解 之得 6 分 2 由 1 得 CP 2PD D 是 AB 的中 点 所以点 P 为 ABC 的重心 所以 x y 解得 x0 3x y0 3 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 y 2 代入 y02 4x0得 3y 2 2 12x 由于 x0 1 故 x 所 求轨迹方程 为 3y 2 2 12x x 10 分 点评 本题以抛物 线为载体 考查曲线的 轨迹方程的 探求及综合 应用能力 19 2013 四川 已知椭圆 C a b 0 的两个焦点分别为 F1 1 0 F2 1 0 且椭圆 C 经过 点 求椭圆 C 的离心率 设过点 A 0 2 的直线 l 与椭圆 C 交于 M N 两点 点 Q 是线段 MN 上的点 且 求点 Q 的轨迹方