平面向量练习题一有答案

平面向量练习题一平面向量练习题一 一 选择题 1 若两个非零向量a b 满足 2 ababa 则向量ab 与a 的夹角为 A 6 B 3 C 3 2 D 6 5 答案 B 由abab 得 2222 22aa bbaa bb 即0a b 由 2aba 得 222 24aa bba 即 22 3ba 所以3ba 所以 2 2 abaaa ba 所以向量ab 与a 的夹角的余弦值为 2 1 cos 2 2 abaa abaaa 所以 3 选B 2 已知向量 3 1 0 1 3 2 abckabck 若与垂直则 A 3B 2C lD l 答案 A 解析 因为2abc 与垂直 所以有2 0ab c A 即2 0a cb c AA 所以 332 30k 解得3k 选 A 3 已知 O 是ABC 所在平面内一点 D 为 BC 边中点 且20OAOBOC 则有 A 2AOOD B AOOD C 3AOOD D 2AOOD 答案 B 解 由20OAOBOC 得22OBOCOAAO 即 22OBOCODAO 所以ODAO 即O为AD的中点 选B 4 已知点 1 1 2 ABy 向量 a 1 2 若 ABa uu u rr 则实数 y 的值为 A 5B 6C 7D 8 答案 C 解析 3 1 ABy 因为 ABa uu u rr 所以12 30y 即7y 选C 5 如图 平行四边形 ABCD 中 2 1 60ABADA 点 M 在 AB 边上 且 1 3 AMABDM DB 则等于 A 3 2 B 3 2 C 1 D 1 答案 D 1 3 DMDAAMDAAB DBDAAB 所以 2211444 1 33333 DM DBDAABDAABDAABDA ABAD AB 74741 cos601 21 33332 ADAB 选D 6 在 ABC 中 G 是 ABC 的重心 AB AC 的边长分别为 2 1 BAC 60o 则AG BG A A 8 9 B 10 9 C 53 9 D 53 9 答案 A 解析 由2 1 60ABACBAC 所以 3 90BCACB 将 直角三角形放入直角坐标系中 则 0 1 3 0 AB 所以重 心 3 1 33 G 所以 322 3 1 3333 AGBG 所以 322 3 18 33339 AG BG 选 A 7 若 a b c 均为单位向量 且0a b 则abc 的最小值为 A 21 B 1C 21 D 2 答案 A 2 222 22232 abcabca ba cb cabc 因为 0a b 且1abc 所以2ac 所以 cos 2cos abcab cab cab c 所以 2 32 2cos abcab c 所以当cos 1ab c 时 2 abc 最 小为 2 2 32 2 21 abc 所以21abc 即abc 的最小值 为21 选 A 8 已知 则 1 2 2 3 1 aab a b A B C D 2345 答案 答案 D 因为 所以 1 2 2 3 1 aab 所以 选D 2 3 1 2 1 2 3 1 1 3 ba 1 2 1 3 1 2 35a b 9 如图 在边长为 2 的菱形 ABCD 中 60BAD E 为 BC 中点 则AE BD A 3B 0C 1D 1 答案 C 1 2 AEABBEABBC 所以 11 22 AE BDABBCBDAB BDBC BD 1111 cos120cos602 22 21 2222 ABBDBCBD 选C 10 如图 AB是圆O的直径 P是圆弧AAB上的点 M N是直径AB上关于O对称的两点 且6 4ABMN 则PM PN A 13B 7C 5D 3 答案 C 连结 AP BP 则 PMPAAM PNPBBNPBAM 所以 2 PM PNPAAMPBAMPA PBPA AMAM PBAM 22 1 6 15PA AMAM PBAMAM ABAM 11 已知 1 6 2ababa 则向量ab 与 的夹角为 A 2 B 3 C 4 D 6 答案 B 2 2abaa ba 所以3a b 所以 31 cos 1 62 a b a b a b 所以 3 a b 选B 12 已知平面向量 a 2 m b 1 3 且 abb 则实数 m 的值为 A 2 3 B 2 3C 4 3D 6 3 答案 B 解析 因为 abb 所以 2 0abba bb 即 2340m 解得2 3m 选B 13 若函数 102 36 sin 2 xxxf 的图象与x轴交于点 A 过点 A 的直线l与 函数的图象交于 B C 两点 则 OAOCOB A 32B 16C 16D 32 答案 D 由 0f x 解得4x 即 4 0 A 过点 A 的直线l与函数的图象交于 B C 两点 根据对称性可知 A是 B C的中点 所以2OBOCOA 所以 2 2 222 432OBOCOAOA OAOA 选D 14 已知点 1 3 4 1 ABAB 则与向量同方向的单位向量为 A B C D 34 55 43 55 3 4 5 5 4 3 5 5 答案 A 所以 这样同方向的单位向量是 3 4 AB 5AB 选 A 134 555 AB 15 已知点 则向量在方向上的投影为 1 1 A 1 2 B 2 1 C 3 4 DAB CD A B C D 3 2 2 3 15 2 3 2 2 3 15 2 答案 A 本题考查向量的投影以及数量的坐标运算 因为 2 1 5 5 ABCD 所以 所以向量在方向上的 2 1 5 5 15AB CD 22 555 2CD ABCD 投影为 选 A 153 2 cos 25 2 AB CD ABAB CD CD 16 已知向量 1 1 2 2 mnmnmn 若则 A B C D 4 3 2 1 答案 B 所以 0 62 1 1 3 32 nmnm3 故选 B 17 已知 a b 是单位向量 a b 0 若向量 c 满足 c a b 1 则 c 的最大值为 A B C D 21 221 22 答案 C 命题立意 本题考查数量积的应用 因为 即 又 所以0a b ab 1ab 不妨让固定 设 则 即的终点在以对应点为2ab a b uab 1cu c u 圆心 半径为 1 的圆上 则当与方向相同时 选 C c u max 21c 18 设是已知的平面向量且 关于向量的分解 有如下四个命题 a 0 a a 给定向量 总存在向量 使 b c abc 给定向量和 总存在实数和 使 b c abc 给定单位向量和正数 总存在单位向量和实数 使 b c abc 给定正数和 总存在单位向量和单位向量 使 b c abc 上述命题中的向量 和在同一平面内且两两不共线 则真命题的个数是 b c a A 1B 2C 3D 4 答案 B 本题是选择题中的压轴题 主要考查平面向量的基本定理和向量加法的三角 形法则 利用向量加法的三角形法则 易的 是对的 利用平面向量的基本定理 易的 是对 的 以的终点作长度为的圆 这个圆必须和向量有交点 这个不一定能满足 a b 是错的 利用向量加法的三角形法则 结合三角形两边的和大于第三边 即必须 所以 是假命题 综上 本题选 B bca 19 已知向量 1 2 am bm 若a b 则实数m等于 A 2 B 2C 2 或2D 0 答案 C 因为所以 所以选 C 1 2 am bmab 且1 22 m mm 20 在四边形中 则该四边形的面积为 ABCD 2 4 2 1 BDAC A B C 5D 10552 答案 C 本题考查的是向量垂直的判断以及向量的模长 因为 所以 所以四边形的面积为022 4 1 BDACBCAC 故选 C5 2 2 4 21 2 2222 BDAC 二 填空题 21 若 1 2 1abx 且ab 则x 答案 2 解 因为ab 所以20a bx A 即2x 22 如图 在 ABC 中 O 为 BC 中点 若 AB I 3AC 60AB AC 则 OA 答案 13 2 因为 60AB AC 所以 13 cos603 22 AB ACABAC 又 1 2 AOABAC 所以 222 2 11 2 44 AOABACABAB ACAC 即 2113 1 39 44 AO 所以 13 2 OA 23 已知向量 a b 满足 26 1 2ababab 且 则ab 与的夹角为 答案 3 解析 由 26 abab 得 22 26aa bb A 即 22 261 861a bab A 所以 11 cos 1 22 a b a b a b A 所以 3 a b 即ab 与的夹角为 3 24 已知向量 0 2 1 1 ba 则向量ba 的夹角为 答案 4 解析 因为 0 2 1 1 ba 所以2 2ab 所以 22 cos 22 2 a b a b a b A 所以 4 a b 25 如图 在平行四边形中 对角线与交于点 则ABCDACBDOABADAO 答案 2 所以 故填 2 AOACADAB2 2 26 在平行四边形ABCD中 AD 1 E为CD的中点 若 则AB60BAD 1AC BE 的长为 答案 1 2 因为 E 为 CD 的中点 所以 11 22 BEBCCEADDCADAB 因为 所以ADACAB 1AC BE 即 22111 1 222 AC BEADABADABADABAB AD 所以 解得 211 1cos601 22 ABAB 211 0 24 ABAB 1 2 AB 27 为边 为对角线的矩形中 则实数OAOB 3 1 OA 2 OBk k 答案 4 本题考查向量的坐标运算以及向量的数量积的运算 在矩形中 所以 因为 3 1 2 OAOBk 2 3 1 1 1 ABOBOAkk 所以 即 解得 ABOA 0AB OA 310k 4k 28 在平面直角坐标系xOy中 已知 1 OAt 2 2 OB 若90oABO 则实数 t的值为 答案 5 因为 所以 3 2 BAt 90oABO 故 3 2 2 2 6240BA OBtt 5t 29 若非零向量满足 则夹角的余弦值为 a b 32abab a b 答案 1 3 等式平方得 2222 944ababa b 则 即 得 222 44 cosaaba b 2 2 044 3 cosbb 1 cos 3 30 已知正方形的边长为 1 记以为起点 其余顶点为终点的向量分别为 ABCDA 1 a 以为起点 其余顶点为终点的向量分别为 若 2 a 3 a C 1 c 2 c 3 c 且 则的最小值是 1 2 3i j k l ij kl ijkl aacc 答案 5 根据对称性 的模最大时互为相反向量 且它们与当向量 lkji ccaa CBcCAcADaACaccaa lkjilkji 最小 这时 5 2