1998年投资的收益和风险[1]精要.

全国大学生数学建模竞赛优秀论文评析 1 第一篇第一篇 投资的收益和风险投资的收益和风险 19981998 年年 A A 题题 投资的收益和风险投资的收益和风险 市场上有 n 种资产 如股票 债券 供投资者选择 某公司有 1 2 i s in 数额为 M 的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资 公司财务分析人员对这 n 种资 产进行了评估 估算出在这一时期内购买的平均收益率为 并预测出购买的风险 i s i r i s 损失率为 考虑到投资越分散 总的风险越小 公司确定 当用这笔资金购买若干 i q 种资产时 总体风险可用所投资的中最大的一个风险来度量 i s 购买要付交易费 费率为 并且当购买额不超过给定值时 交易费按购买 i s i p i u 计算 不买当然无须付费 另外 假定同期银行存款利率是 且既无交易费又 i u 0 r 无风险 5 已知 n 4 时的相关数据如下 0 r i s i r i q i p i u 元 S1282 51103 S2211 52198 S3235 54 552 S4252 66 540 试给该公司设计一种投资组合方案 即用给定的资金 M 有选择地购买若干种资 产或存银行生息 使净收益尽可能大 而总体风险尽可能小 试就一般情况对以上问题进行讨论 并利用以下数据进行计算 i s i r i q i p i u 元 i s i r i q i p i u 元 S19 6422 1181S933 653 32 7475 S218 5543 2407S1036 8402 9248 S349 4606 0428S1111 8315 1195 S423 9421 5549S1295 55 7320 S58 11 27 6270S1335462 7267 S614393 4397S149 45 34 5328 S740 7685 6178S1515237 6131 S831 233 43 1220 全国大学生数学建模竞赛优秀论文评析 2 组合投资方案的决策方法组合投资方案的决策方法 摘要 摘要 本文对组合投资方案决策问题提出了有效的算法 组合投资问题可以归结 在一定的约束条件下使得平均净收益最大和总体风险最小的双重目标的非线性规划模 型 通常 投资风险和收益之间存在正相关关系 这就决定了多重目标问题没有最优 解 由于投资者只能在收益和风险之间进行权衡 而我们的权衡准则是选定总体风险 的一个上界值 来确定净收益的最大值 为了简化算法 我们在合理分析的基础上采 用了将实际分段费用率函数近似以作为替代 故使得非线性规划问题转化为线性规pi 划问题 所得的组合投资方案选择模型在资产数目不太大的情况下 可以用手工操作 的办法顺利求解 若资产数目较大时 手工算法费时很大 则可用编程的方法加以解 决 本模型最终给出资产组合的风险控制值和相应的最大净收益率及投资比例向量的 关系供投资者决策 并为投资者提供了一些实用的建议 同时还讨论了模型的优缺点 关健词关健词 组合投资 线性规划 决策 1 1 问题的重述问题的重述 1 1 1 投资 收益与风险投资 收益与风险 投资是金融和经济的名词 它涉及财产的累积以求在未来得到收益 技术上来说 这个字意味著 将某物品放入其他地方的行动 从金融学角度来讲 相较于投机而 言 投资的时间段更长一些 更趋向是为了在未来一定时间段内获得某种比较持续稳 定的现金流收益 是未来收益的累积 投资不仅与收益相关 更与风险相关 收益越 大则风险也越大 俗话说 鸡蛋不要放在一个篮子里 如何合理投资以实现是资金 收益最大化是投资者关心的问题 1 1 2 投资的相关条件投资的相关条件 某公司准备用资金 M 作为一个时期内对市场上 n 种资产 如股票 债券等 的投 资 经评估 该时期内购买的平均收益率为 风险损失率为 所付交易费率为Siriqi 当购买额不超过给定值时 交易费按购买计算 同期存款利率是 5 既无交piuiui 易费又无风险 1 1 3 要求的具体问题要求的具体问题 问题问题 1 现已知 4 种资产的相关数据 见表 1 要求设计一种投资组合方案 用给定的资金 M 有选择地购买若干种资产或存银行生息 使净收益尽可能大 而总 体风险尽可能小 本文获 1998 年全国二等奖 队员 方红生 邱大鹏 齐丽群 指导教师 安徽财贸学院数学建摸教练组 全国大学生数学建模竞赛优秀论文评析 3 问题问题 2 在问题 1 的基础上就一般情况进行讨论 并用表 2 中的 15 种资产的数据 进行计算 表 1 四种资产的相关数据 Siri qi pi ui 元 S1 282 51103 S2 211 52198 S3 235 54 552 S4 252 66 540 表 2 十五种资产的相关数据 i s i r i q i p i u 元 i s i r i q i p i u 元 S1 9 6422 1181 S9 33 653 32 7475 S2 18 5543 2407 S10 36 8402 9248 S3 49 4606 0428 S11 11 8315 1195 S4 23 9421 5549 S12 95 55 7320 S5 8 11 27 6270 S13 35462 7267 S6 14393 4397 S14 9 45 34 5328 S7 40 7685 6178 S15 15237 6131 S8 31 233 43 1220 1 2 问题的分析问题的分析 投资是指经济主体为在未来获取收益而投放资金于一定对象的经济行为 投资常 可获得较银行存款利息高的收益 但同时也必须承担一定的风险 公司将一笔数额为 M 的资金进行投资时 必然希望收益尽可能大而风险尽可能小 组合投资便是达到这 一目的一种的有效方法 它是将资金同时投资于多种资产的投资方法 其目的是通过 分散投资来降低投资风险 当参加组合的各种资产选定时 资产组合的收益和风险通 常由投资比例向量确定 本题实际上就是要求建立一个确定投资比例向量模型 使资 产组合的净收益尽可能大 而总体风险尽可能小 1 3 模型的假设模型的假设 在投资期内银行利率不会改变 风险损失率等于同期无风险收益率与预期收益率波动下限的差值 题目要求的净收益是指净收益率的期望值 即平均净收益率 题目中的 总体风险可用所投资的中最大的一个风险来度量 可理解为 资 i S 产 组合的风险采用所投资的对资产组合的风险损失率贡献值中的最大值来度量 i S 公司投资决策者是风险厌恶型投资者 在控制资产组合风险的前提下 使平均净收益率最大是该公司所期望的 给出资产组合的风险控制值和相应的最大净收益率及投资比例向量的关系是公 司投资决策者所期望的 将银行存款也当作一种资产 题目提供的所有数据是确切可靠的 全国大学生数学建模竞赛优秀论文评析 4 模型的适用对象尽可能是大投资者 投资者均可理智的确定自己的风险承受能力 1 4 定义与符号说明定义与符号说明 序号序号符号符号意义意义 1 Mn 由 n 种资产构成的资产组合收益率下限 2 mi 第 i 种资产收益率下限 3 Qn 由 n 种资产构成的资产组合的风险损失率 4 q0 投资者所允许的中单个资产风险损失率的上限Si 5 xi投资于的投资比例系数Si 6X资产组合的投资比例系数向量 7 Fn 由 n 种资产构成的资产组合风险值 8 Ri的收益率Si 9 Ti的净收益率Si 10 ti的平均净收益率Si 11 Ci的实际交易费率Si 1 5 模型的建立与求解模型的建立与求解 1 5 1 含有四种风险资产和银行存款的资产组合选择模型含有四种风险资产和银行存款的资产组合选择模型 模型的建立模型的建立 根据前面的假定 风险损失率是指银行存款利率与资产收益率波动下限的qir0Si 差值 即银行存款利率与资产最不景气时收益率的差值 它可以用公式表示如下 r0Si 风险损失率 银行存款利息最小收益 本金 本金本金 本金 rm rm i i 0 0 风险是指对未来收益率的不确定性 而风险损失率反映的是最坏情况下的收益损 失 所以 风险损失率可以作为度量风险的一个指标 设 分别是投资于 和银行存款的投资比例系x1x2x3x4x5S1S2S3S4 数 根据上面的公式 可得资产组合的风险损失率计算模型如下 QrMx rx mx rmx q iiiii iii ii i 50500 1 4 1 5 1 5 1 4 上式中的 分别为资产 对总体风险损失率x q 11 x q 22 x q 33 x q 44 S1S2S3S4 的贡献值 由前面的假定知 资产组合的风险为 F5 Fx qx qx qx q 511223344 max 从 1 和 2 可看出 即资产组合风险值的四倍可作为资产组合风险损失率QF 55 4 的上限 当投资在上的投资比例系数为时资产的净收益率为 平均净收SixiSiTRC iii 益率为 其中tE TCrC iiiii 全国大学生数学建模竞赛优秀论文评析 5 M u x M u x p Mx up x C i i i i i i ii i i 0 00 资产组合的平均净收益率为 tx tr x i i i 1 4 05 从 和 可看出 资产组合投资的收益和风险由投资比例向量 X x1x2x3x4x5 确定 要使资产组合的净收益尽可能大 而总体风险尽可能小 可使用下面的模型选 择投资比例向量 X 模型模型 A 443322114 maxminqxqxqxqxF max tx tr x i i i 1 4 05 s t xxxxx x xxxx 12345 12345 1 0 模型 A 是多目标规划模型 将表 1 的数据代入模型 A 可发现 模型中的两个目标 不可能同时达到最优 即模型没有最优解 实际上 投资者往往希望收益尽可能的大 而风险尽可能的小 但高收益往往伴随高风险 投资者只能在收益和风险之间进行权 衡 我们采用的权衡方法是 在选定总体风险的一个上界时 来使得总体的净收益达 到最大 即可通过下面的模型选择投资比例向量 max tx tr x i i i 1 4 05 s t xxxxx Fq xxxxx 12345 50 12345 1 0 根据 2 式可知 上述模型等价于模型 B 模型模型 B max tx tr x i i i 1 4 05 s t xxxxx x qqi xxxxx ii 12345 0 12345 1 12 34 0 模型 B 的意义是 在给出资产组合风险上限的条件下 使资产组合的净收益率q0 t 最大 由于 M 相当大 是经纪人为保护每笔交易的最低收入而设置的 考虑到公司为ui 了聚集社会闲散资金 必会面向众多投资者 包括中小投资者 所以的取值通常较ui 小 那么也相当小 可看作 故模型 B 可简化为模型 C Mui Cipi 模型模型 C max tx rpr x iii i 1 4 05 全国大学生数学建模竞赛优秀论文评析 6 s t xxxxx x q q i xxxxx i i 12345 0 12345 1 12 34 0 模型的求解模型的求解 模型 C 中的取值范围定为 0 对于模型 C 我们的求解方法是 对系数进行q0 了降序排列 当确定一个值时 为了使平均净收益率 t 达到最大值 只需使系数最q0 大的变量在限定范围内尽可能大的满足 若系数存在两个以上相等时 则让风险损失 率最小的先满足 从而保证了在风险较小的情况下使其具有同样的平均最大收益值 若最后再有剩余 则按照同样的方式处理 根据上述方法 可给出资产组合的风险控 制值和相应的最大净收益率及投资比例向量的关系如表 3 表 3 资产组合的风险控制值和相应的最大净收益率及投资比例向量的关系 风险控制值 q0最大净收益率tmax 投资比例向量X 2 5 0 27 1 0 0 0 0 0 9375 2 5 0 19 0 032q0 qq 00 25 1 25 0 0 0 0 0 9375 0 185 0 q0 qqqq 0000 25 15 01 2515 0 0 0 0 185 0 q0 qqqqqq 000000 25 15 1 251526 26 0 0 0 0 05 0 q0 qqqqqqqq 00000000 25 15 55 26 1 25155526 公司只需根据自己的实际情况给出所能承当的最大风险 即能从表 3 中查得相q0 应的最大净收益率及投资比例向量 从而确定出在风险为时净收益率最大的投资方q0 案 该投资方案的净收益率和风险损失率的关系如图 1 所示 0 q t 12345 O 15 0 2 0 05 0 25 0 1 0 0 q t 12345 O 15 0 2 0 05 0 25 0 1 0 图 1 四个种组合投资方案的净收益率和风险损失率的关系 1 5 2 含有含有 n 种风险资产和银行存款的资产组合选择模型种风险资产和银行存款的资产组合选择模型 模型的建立模型的建立 设投资于 和银行存款的投资比例系数分别为 S1S2Snx1x2xn 则投资比例系数向量为 X 和建立五种资产组合决策模型的xn 1x1x2xnxn 1 过程相同 要使资产组合的净收益尽可能大 而总体风险尽可能小 可使用下面的模 型 D 选择投资比例向量 X 全国大学生数学建模竞赛优秀论文评析 7 模型模型 D max tx tr x i i i n n 1 01 minmax Fx qx qx q nnn 1122 s t xxx xin n i 121 1 0121 通常 模型 D 中的两个目标不可能同时达到最优 原因是高收益往往伴随高风险 投资者只能在收益和风险之间进行权衡 和模型 B 类似 可得下面的投资比例向量选 择模型 模型模型 E max tx tr x i i i n n 1 01 s t xxx x qqin xin n ii i 121 0 1 12 0121 模型 E 的意义是 在给定资产组合风险的条件下 使资产组合的净收益 t 最大 q0 和将模型 B 简化为模型 C 同样的理由 可将模型 E 简化为模型 F 模型模型 F max tx rpr x iii i n n 1 01 s t xxx x q q in xin n i i i 121 0 1 12 0121 模型 F 和模型 E 具有同样的意义 它是一个线性规划模型 当 n 相对较小时 用 手工就可以求解 模型的求解模型的求解 下面就模型 F 由表 2 中的数据 n 15 进行组合投资决策方案求解 采用与模型 C 类似的方法 可得结果如表 4 由于的净收益率小于同期银行存款利率 SSS 14125 故其投资比例系数始终为零 具体线性规划模型为 max txxxxxxxxx xxxxxxx 043403510339032303090281022401530106 0075007400670050049003300005 37101398426 115111614125 s t xxx x q q i xi i i i 1216 0 1 1215 01216 根据上述方法 可给出资产组合的风险控制值和相应的最大净收益率及投资比例 向量的关系如表 4 同样 公司可根据自己的实际情况给出所能承当的最大风险 q0 即能从表 4 中查得相应的最大净收益率及投资比例向量 从而确定出在风险为时净q0 收益最大的投资方案 该投资方案的净收益和风险关系如图 2 所示 全国大学生数学建模竞赛优秀论文评析 8 0 q t 1020 304050 O 1 0 2 0 3 0 4 0 60 70 0 q t 1020 304050 O 1 0 2 0 3 0 4 0 60 70 图 2 十五种组合投资方案的净收益和风险关系 表 4 资产组合的风险控制值和相应的最大净收益率及投资比例向量的关系 q0 tmax X 60 0 434 0 0 1 0 0 31 875 60 0 351 0 q0 0 0 0 0 60 1 0 0 0 60 00 qq 17 73931 31 875 0 339 0 q0 0 0 0 0 6860 1 0 0 68 0 0 0 60 0000 qqqq 12 17 73931 0 323 0 q0 0 0 0 406860 1 0 0 40 0 0 68 0 0 0 60 0 0 000000 qqqqqq 10 3228 12 0 309 0 q0 0 0 0 46 0 0 40 46406860 1 0 68 0 0 0 60 0 0 00000000 qqqqqqqq 7 88559 10 3228 0 281 0 q0 0 0 0 46 0 0 40 3 53 3 53 46406860 1 68 0 0 0 60 0 0 0000 000000 qqqq qqqqqq 6 63909 7 88559 0 224 0 q0 0 0 0 46 0 0 40 3 53 4 33 68 0 0 4 33 3 5346406860 1 60 0 0 000000 000000 qqqqqq qqqqqq 5 91221 6 63909 0 153 0 q0 0 0 0 46 0 0 40 3 53 4 33 68 0 0 42 60 42 4 33 3 5346406860 1 0 0000000 0000000 qqqqqqq qqqqqqq 5 13393 5 91221 0 106 0 03234q0 0 0 0 46 0 0 40 3 53 4 33 68 54424 333 5346406860 1 0 42 60 54 0 00000 00000000000 qqqqq qqqqqqqqqqq 4 57473 5 13393 0 075 0 q0 0 0 0 46 0 0 40 3 53 4 33 68 39 0 42 60 54 395442 4 33 3 5346406860 1 000000000 000000000 qqqqqqqqq qqqqqqqqq 3 81577 4 57473 0 074 0 q0 0 42395442 4 333 5346406860 1 0 46 0 0 40 3 53 4 33 68 39 0 42 60 54 42 0000000000 0000000000 qqqqqqqqqq qqqqqqqqqq 全国大学生数学建模竞赛优秀论文评析 9 3 39756 3 81577 0 067 0 q0 0 23 0 2342395442 4 33 3 5346 406860 1 40 3 53 4 33 68 39 0 42 60 54 42 000000000 000000000000 qqqqqqqqq qqqqqqqqqqqq 0 3 39756 0 05 0 q0 312342395442 4 333 5346406860 1 23 0 46 0 31 40 3 53 4 33 68 39 0 42 60 54 42 000000000000 000000000000 qqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqq 1 6 模型的结果分析模型的结果分析 1 6 1 应用分析应用分析 结合图表不难得出以下结论 结合图表不难得出以下结论 当解向量 X 中非零向量元素越少 则投资者所承担风险的值越小 也就是说 q0 投资越分散 投资者所承担的风险值越小 在给定的风险值的前提下 收益是最大的 q0 在不同的值区间内 新增的单位风险值所增加的收益率值也不同 q0 t q0 单位风险收益率与呈类似反比例的函数关系 q0 由上述结论可为投资者提供一些参考意见 由上述结论可为投资者提供一些参考意见 投资量力而行 投资者在作投资决策之前必须衡量自己承担风险的能力 确定投 资的最大可承受风险目标 以免造成过度损失 甚至破产 按风险等级和获利大小的最佳组合方式 在风险水平一定时 投资者应使收益最 大化 在收益水平一定时 投资者应使风险最小化 考虑自己的承受能力 适当分散投资于几种资产 对净收益率小于同期银行存款利率 投资者便不必投资 1 6 2 误差分析误差分析 含有四种风险资产和银行存款的资产组合选择模型含有四种风险资产和银行存款的资产组合选择模型 模型 C 中对净收益率计算的简化导致资产组合的净收益产生的误差不超过 资产组合的净收益率的误差范围是 为增加值 当 Mu p ii i 1 4 993 0 993 4 t M t 相当大 误差范围很小 可忽略不计 含有含有 n n 种风险资产和银行存款的资产组合选择模型种风险资产和银行存款的资产组合选择模型 模型 F 中对净收益率计算的简化导致资产组合的净收益产生的误差不超过 u p ii i n 1 资产组合的净收益率的误差范围是 当 n 15 时 净收益率增加Mput n i iin 0 1 值的范围是 当 M 相当大 误差范围很小 可忽略不计 0 181673 15 t M 1 7 模型的评价模型的评价 模型把净收益与总体风险的关系转化为平均净收益率 与的关系 这样不仅使tFn 模型简单明了 而且用相对量表示方法更容易令人接受 模型 A 向模型 B 的转变可以 全国大学生数学建模竞赛优秀论文评析 10 深刻地反映 F 与 t 之间的内在联系 模型 A B C 在总体上还对问题的算法作了较明 确的操作 通过在限定的情况下来使 t 达到最大值 模型 C 是在能保证反映 t 与q0 关系的前提下 使模型 A 和模型 B 的非线性规划问题转化为线性规划问题 从而使q0 模型算法简化到可以用手工操作 而无需用编程的方法 虽然模型可以用手工求解 但是若 n 值相当大 n50 则手工算法绝非易事 故可采用 QSB 软件或编程的方法求解 其中 QSB 软件所