高等数学(经管类)下、林伟初 郭安学主编、复旦大学出版社、课后习题答案.doc

精品文档习题7-11. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限： A(2，1,-6)，B(0，2，0)，C(-3，0,5)，D(1，-1，-7).解：A在V卦限，B在y轴上，C在xOz平面上，D在VIII卦限。2. 已知点M(-1，2，3)，求点M关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标.解：设所求对称点的坐标为(x，y，z)，则(1) 由x-1=0，y+2=0，z+3=0，得到点M关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3).(2) 由x=-1，y+2=0，z+3=0，得到点M关于x轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3).同理可得：点M关于y轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z轴的对称点的坐标为：(1，-2，3).(3)由x=-1，y=2，z+3=0，得到点M关于xOy面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3).同理，M关于yOz面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M关于zOx面的对称点的坐标为：(-1，-2，3).3. 在z轴上求与两点A(-4，1，7)和B(3，5，-2)等距离的点.解:设所求的点为M(0，0，z)，依题意有|MA|2=|MB|2，即(-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2.解之得z=11，故所求的点为M(0，0，).4. 证明以M1(4,3,1)，M2(7,1,2)，M3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解：由两点距离公式可得， 所以以M1(4,3,1)，M2(7,1,2)，M3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a=2,b=3,c=5,求这个平面的方程.解：所求平面方程为。6. 求通过x轴和点(4,3,1)的平面方程.解：因所求平面经过x轴，故可设其方程为Ay+Bz =0.又点(4,3,1)在平面上，所以-3A-B =0.即B=-3 A代入并化简可得 y-3z =0.7. 求平行于y轴且过M1(1,0,0)，M2(0,0,1)两点的平面方程.解：因所求平面平行于y轴，故可设其方程为Ax+Cz+D=0.又点M1和M2都在平面上，于是可得关系式：A=C=D,代入方程得：DxDz+D=0.显然D0,消去D并整理可得所求的平面方程为x+z1=0.8. 方程x2+y2+z22x+4y=0表示怎样的曲面？解：表示以点（1，-2，0）为球心，半径为的球面方程。9. 指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形？(1) x2y=1；(2) x2+y2=1；(3) 2x2+3y2=1；(4) y=x2. 解：(1)表示直线、平面。(2)表示圆、圆柱面。(3)表示椭圆、椭圆柱面。 (4)表示抛物线、抛物柱面。习题7-21. 下列各函数表达式:(1) 已知f(x,y)=x2+y2,求；(2) 已知求f(x,y).解：（1） （2） 所以2. 求下列函数的定义域，并指出其在平面直角坐标系中的图形：(1) ；(2) ;(3) ；(4) 解：（1）由可得 故所求定义域为D=(x,y)| 表示xOy平面上不包含圆周的区域。 （2）由 可得 故所求的定义域为D=(x,y)| ，表示两条带形闭域。 （3）由 可得 故所求的定义域为D=(x,y)| ，表示xOy平面上直线y=x以下且横坐标的部分。 （4）由 可得 故所求的定义域为D=(x,y)| 。3. 说明下列极限不存在： (1) ；(2) .解：（1）当点P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0)时，有 。显然，此时的极限值随k的变化而变化。 因此，函数f(x,y)在(0,0)处的极限不存在。（2）当点P(x,y)沿曲线趋于点(0,0)时，有 。显然，此时的极限值随k的变化而变化。 因此，函数f(x,y)在(0,0)处的极限不存在。4. 计算下列极限：(1) ；(2);(3) ；(4) .解：（1）因初等函数在(0,1)处连续，故有 （2）（3）（4）。5. 究下列函数的连续性：(1) (2) 解：(1) 所以f(x,y)在(0,0)处连续. (2) 该极限随着k的取值不同而不同，因而f(x,y)在(0,0)处不连续.6. 下列函数在何处间断？(1) ；(2) .解：(1)z在(x,y)| 处间断. (2)z在(x,y)| 处间断.习题7-31. 求下列函数偏导数：(1) z=x3+3xy+y3； (2) ;(3) ； (4) (5) ； (6) 解：(1) (2) (3) (4) (5) (6) 2. 求下列函数在指定点处的偏导数：(1) f(x,y)=x2xy+y2，求fx(1,2)，fy(1,2);(2) ;求(3) ; 求； (4) , 求.解：(1) (2) 因此 (3) 因此所以. (4) 故3设，证明：(1) ;(2) ;(3) .证明：利用函数关于自变量的对称性，可推断得到：(1) (2) 利用函数关于自变量的对称性，可推断得到：(3) 利用函数关于自变量的对称性，可推断得到：.4. 求下列函数的二阶偏导数,：(1) ； (2) .解：(1) (2) 5. 某水泥厂生产A,B两种标号的水泥，其日产量分别记作x,y(单位：吨)，总成本(单位：元)为C(x,y)=20+30x2+10xy+20y2,求当x=4,y=3时，两种标号水泥的边际成本，并解释其经济含义.解：经济含义:当A,B两种标号的水泥日产量分别4吨和3吨时，如果B水泥产量不变，而A水泥的产量每增加1吨，成本将增加270元；如果A水泥产量不变，而B水泥的产量每增加1吨，成本将增加160元。6. 设某商品需求量Q与价格为p和收入y的关系为Q=4002p+0.03y.求当p=25,y=5000时，需求Q对价格p和收入y的偏弹性，并解释其经济含义.解：经济含义: 价格为25和收入为5000时，如果价格不变，而收入增加1个单位，商品的需求量将增加0.03；如果收入不变，而价格增加1个单位，商品的需求量将减少2.习题7-41. 求下列函数的全微分：(1) z=4xy3+5x2y6； (2) (3) u=ln(xyz)； (4) 解：(1) 所以 (2) 所以 (3) 所以 (4) 所以 2. 计算函数z=xy在点(3，1)处的全微分.解：所以 3. 求函数z=xy在点(2，3)处，关于x=0.1，y=0.2的全增量与全微分.解：所以4. 计算 (1.04)2.02的近似值.设函数f(x,y)=xy.x=1,y=2,x=0.04,y=0.02.f(1,3)=13=1,fx(x,y)=yxy-1,fy(x,y)=xylnx,fx(1,2)=2,fy(1,2)=0.由二元函数全微分近似计算公式(7-18)，得(1.05)3.021+20.04+00.02=1.08.5. 设有一个无盖圆柱形玻璃容器，容器的内高为20 cm，内半径为4 cm，容器的壁与底的厚度均为0.1 cm，求容器外壳体积的近似值.解：解设圆柱的直径和高分别用x，y表示，则其体积为.于是，将所需的混凝土量看作当x+x=8+20.1，y+y=20+0.1与x=8，y=20时的两个圆柱体的体积之差V(不考虑底部的混凝土)，因此可用近似计算公式VdV=fx(x,y)x+fy(x,y)y.又，代入x=8，y=20，x=0.2，y=0.1，得到(m3).因此，大约需要55.264m3的混凝土.习题7-51. 求下列函数的全导数：(1) 设z=e3u+2v，而u=t2,v=cost,求导数；(2) 设z=arctan(uv),而u=3x,v=4x3,求导数;(3) 设z=xy+sint,而x=et,y=cost,求导数解： (1) (2) (3) 2. 求下列函数的偏导数(其中f具有一阶连续偏导数)：(1) 设z=u2vuv2，而u=xsiny,v=xcosy，求和；(2) 设z=(3x2+y2)4x+2y，求和；(3) 设u=f(x,y,z)=ex+2y+3z,z=x2cosy，求和；(4) 设w=f(x，x2y，xy2z)，求,.解：(1) (2) 令.(3) 3. 应用全微分形式的不变性，求函数的全微分.解：令而故 4. 已知sinxy2z+ez=0,求和.解：两同时对x求偏导，可得故两边同时对y求偏导，可得故5. 若f的导数存在，验证下列各式：(1) 设u=yf(x2y2)，则；(2) 设，则.证：(1) ,所以.(2) ,所以.6. 求下列函数的二阶偏导数(其中f具有二阶连续偏导数)：(1) ；(2) z=ylnx；(3) z=f(xy,x2y2).解：(1)由第3题可知故.(2) 故,.(3) 故7. 求由下列方程所确定的隐函数z=f(x,y)的偏导数：(1) x2+y2+z24z=0；(2) z33xyz=1.解：(1)两边同时对x求偏导得故两边同时对y求偏导得故(2) 两边同时对x求偏导得故两边同时对y求偏导得故习题7-61. 求下列函数的极值：(1) f(x,y)=x2+y36xy+18x39y+16；(2) f(x,y)=3xyx3y3+1.解：(1) 先解方程组得驻点为(-6,1),(6,5).在点(-6，1)处，=AC-B2=26-360，又A0，所以函数在(6，5)处有极小值f(6，5)=-90.(2) 先解方程组得驻点为(0,0),(1,1).在点(0，0)处，=AC-B2=-90,又A0，y0)下，函数C(x,y)=1000+8x2xy+12y2(元)的条件极值问题.令由得x=25,y=17.根据问题本身的意义及驻点的唯一性知，当投入两种产品的产量分别为25件和17件时，可使成本最低.7. 某公司通过电视和报纸两种媒体做广告，已知销售收入R(单位:万元)与电视广告费x(单位:万元)和报纸广告费y(单位:万元)之间的关系为R(x,y)=15+14x+32y8xy2x210y2，(1) 若广告费用不设限，求最佳广告策略.(2) 若广告费用总预算是2万元，分别用求条件极值和无条件极值的方法求最佳广告策略. 解：(1)得唯一驻点(1.5,1).由此可知，当电视广告费为1.5万元，报纸广告费为1万元时，广告策略最佳。(2) 问题是在约束条件x+y=2(x0，y0)下，函数R(x,y)=15+14x+32y8xy2x210y2的条件极值问题.令由解得x=0.75,y=1.25. 由此可知，当电视广告费为0.75万元，报纸广告费为1.25万元时，广告策略最佳。由x+y=2，可得y =2-x,代入R得 R(x,y)=-4 x2+6x+39令.因此y=1.25.复习题7（A）1. 设，且已知y=1时，z=x则,. 解：由y=1时，z=x，得令，.2. 设，则 1 , 0 .解： 3. 设,则 .解：令而故 4. 设,其中f,g具有二阶连续偏导数,则 .解： 所以0.5. 若函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的偏导数存在，则在该点处函数 ( D ) A有极限 B连续C可微 D以上三项都不成立解：因为偏导数存在，不能推出极限存在，所以ABC三项不一定正确. 6. 偏导数fx(x0,y0)，fy(x0,y0)存在是函数z=f(x,y)在点(x0,y0)连续的( D ) A充分条件 B必要条件C充要条件 D即非充分也非必要条件解：同5.7. 设函数f(x,y)=1x2+y2,则下列结论正确的是( D ) A点(0,0)是f(x,y)的极小值点 B点(0,0)是f(x,y)的极大值点C点(0,0)不是f(x,y)的驻点 Df(0,0)不是f(x,y)的极值8. 求下列极限：(1) ；(2) .解：(1) 因为所以 (2) =09. 设u=e3xy，而x2+y=t2,xy=t+2,求.解：由x2+y=t2,xy=t+2,可得所以.因此，.令故10. 设z=f(x,y)由方程xy+yz+xz=1所确定,求解：两边同时对x求偏导，得.11. 设f(u,v)具有二阶连续偏导数,且满足，又,试证.证：则所以.12. 求函数f(x,y)=x2(2+y2)+ylny的极值.解：先解方程组得驻点为(0,1).在点(0，1)处,=AC-B2=61-00,又A0,所以函数在(0，1)处有极小值f(0，1)=0.（B）1. 设z=ex+f(x2y)，且已知y=0时，z=x2,则 .解：令所以2. 设f(x,y,z)=exyz2，其中z=z(x,y)是由x+y+z+xyz=0确定的隐函数，则 . 解：故因此.3. 设,则 . 解：，所以4. 设,其中f,g具有二阶连续偏导数,则 . 解： .5. 函数在点(0,0)处的偏导数存在的情况是( C ).Afx(0,0)，fy(0,0)都存在Bfx(0,0)存在，fy(0,0)不存在Cfx(0,0)不存在，fy(0,0)存在Dfx(0,0)，fy(0,0)都不存在解：6. 设f(x,y),g(x,y)均为可微函数，且gy(x,y)0，已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件g(x,y)=0下的一个极值点，下列结论正确的是( D ) A若fx(x0,y0)=0,则fy(x0,y0)=0B若fx(x0,y0)=0,则fy(x0,y0)0C若fx(x0,y0)0,则fy(x0,y0)=0D若fx(x0,y0)0,则fy(x0,y0)0解：作拉格朗日函数，则有 ， .由于gy(x,y)0，所以当fx(x0,y0)0，因此，从而fy(x0,y0)0.7. 设函数u=f(x,y,z)有连续偏导数，且z=z(x,y)是由xexyey=zez所确定的隐函数，求du. 解：由xexyey=zez可得.因此 .8. 设函数u=f(x,y,z)有连续偏导数，且y=y(x),z=z(x)分别由下列两式确定：，求.解：由由.故.9. 设z=z(x,y)由方程x2+y2z=g(x+y+z)所确定，其中g具有二阶连续偏导数且g1.(1) 求dz;(2) ,求解：(1),两边分别同时对x、y求偏导得因此(2) ,10. 求函数u=x2+y2+z2在约束条件z=x2+y2和x+y+z=4下的最大值和最小值.解：由.因此，问题转化为求 下的极值问题.令,，.解得: 因此, 又所以最大值为72，最小值为6.习题8-11. 设有一平面薄片，在xOy平面上形成闭区域D，它在点(x,y)处的面密度为(x,y)，且(x,y)在D连续，试用二重积分表示该薄片的质量.解：.2. 试比较下列二重积分的大小：(1) 与，其中D由x轴、y轴及直线x+y=1围成；(2) 与，其中D是以A(1,0)，B(1,1)，C(2，0）为顶点的三角形闭区域.解：(1)在D内，. (2) 在D内，, 习题8-21. 画出积分区域，并计算下列二重积分：(1) ，其中D为矩形闭区域：；(2) ，其中D是由两坐标轴及直线x+y=2所围成的闭区域；(3) ,其中D是由直线y=2,y=x,y=2x所围成的闭区域；(4) ,其中D是半圆形闭区域:x2+y24,x0；(5) ,其中D为:0x4,1ye；(6) 其中D是由曲线所围成的闭区域.解：(1) (2) (3) (4) 因为被积函数是关于y的奇函数，且D关于x轴对称，所以 (5) . (6) .2. 将二重积分化为二次积分（两种次序）其中积分区域D分别如下：(1) 以点(0,0),(2,0),(1,1)为顶点的三角形；(2) 由直线y=x及抛物线y2=4x所围成的闭区域；(3) 由直线y=x,x=2及双曲线所围成的闭区域；(4) 由曲线y=x2及y=1所围成的闭区域.解：(1) (2) (3) (4) 3. 交换下列二次积分的积分次序：(1) ； （2）； (3) ； (4) .解：(1) .(2) (3) (4) .4. 求由平面x=0,y=0,x=1,y=1所围成的柱体被平面z=0及2x+3y+z=6截得的立体体积.解：5. 求由平面x=0,y=0,x+y=1所围成的柱体被平面z=0及曲面x2+y2=6z截得的立体体积.解：习题8-31. 画出积分区域，把二重积分化为极坐标系下的二次积分,其中积分区域D是：(1) x2+y2a2(a0)； (2) x2+y22x；(3) 1x2+y24； (4) 0y1x,0x1.解：(1) (2) (3) (4) 2. 把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：(1) ；(2) 解：(1) .(2) 3. 在极坐标系下计算下列二重积分：(1),其中D是圆形闭区域: x2+y21；(2) ,其中D是由圆周x2+y2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域；(3) ，其中D是由圆周x2+y2=1,x2+y2=4及直线y=0,y=x所围成的在第一象限内的闭区域；(4) 其中D由圆周x2+y2=Rx(R0)所围成.解：(1) (2) .(3) (4) .4. 求由曲面z=x2+y2与所围成的立体体积.解：两条曲线的交线为x2+y2=1，因此，所围成的立体体积为：习题8-41. 计算反常二重积分，其中D：x0,yx.2. 计算反常二重积分，其中D：x2+y21.解：1. 所以2. 由，得复习题8（A）1. 将二重积分化为二次积分(两种次序都要)，其中积分区域D是：(1) x1,y2;(2) 由直线y=x及抛物线y2=4x所围成.解：(1) (2) 2. 交换下列两次积分的次序：(1);(2);(3)解：(1) .(2) .(3) .3. 计算下列二重积分：(1) ， D: x1,y1;(2) ,D由直线y=1,x=2及y=x围成；(3) ,D由y=x和y=x围成；(4) ，D:x+y1;(5) ，D由与y=x围成；(6) ，D是圆域x2y2R2；解: (1) .(2) .(3) .(4) .(5) .(6) .4. 已知反常二重积分收敛，求其值其中D是由曲线y=4x2与y=9x2在第一象限所围成的区域 解：设则 .所以.5. 计算解：由第四节例2以及是偶函数，可知.6. 求由曲面z=0及z=4-x2-y2所围空间立体的体积解：曲面z=0和z=4-x2-y2的交线为x2+y2 =4.因此，所围空间立体的体积为： .7. 已知曲线y=lnx及过此曲线上点(e，1）的切线(1) 求由曲线y=lnx，直线和y=0所围成的平面图形D的面积；(2) 求以平面图形D为底，以曲面z=ey为顶的曲顶柱体的体积解：(1) .(2) .（B）1. 交换积分次序： (1) ； （2）； (3) ； (4) .解：(1) .(2) .(3) .(4) .2. 计算积分.解： .3. 计算积分.解： 令,则原式 .4. 设函数f(x)在区间上连续，且，求.解：设.5. 计算，其中D是由直线y=0,y=1及双曲线x2y2=1所围成的闭区域.解：.6. 计算.解：.7. 证明，其中n为大于1的正整数.证：习题9-11. 判定下列级数的收敛性：(1) ; (2) ; (3) ; (4) ;(5) ; (6) 解：（1），则，级数发散。（2）由于，因此原级数是调和级数去掉前面三项所得的级数，而在一个级数中增加或删去有限项不改变级数的敛散性，所以原级数发散。（3），则，级数发散。（4）因而不存在，级数发散。（5）级数通项为，由于，不满足级数收敛的必要条件，原级数发散。（6）级数通项为，而不存在，级数发散。2. 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和：(1) ； (2) ;(3) ; (4) 解：（1）因为所以该级数的和为即（2）由于，则所以该级数的和为即（3）级数的通项为，由于，不满足级数收敛的必要条件，所以原级数发散。（4）由于因而不存在，原级数发散。习题9-21. 判定下列正项级数的敛散性：(1) ; (2) ； (3) (a0); (4) ；(5) ； (6) ; (7) ; (8) ；(9) ； (10) ; (11) ; (12) 解：（1）由于，而级数收敛，由比较判别法知收敛。（2）因为，而p-级数收敛，由比较判别法的极限形式知收敛。（3）若，通项，级数显然发散；若，有，不满足级数收敛的必要条件，级数发散；若，有，而级数收敛，由比较判别法知收敛。（4）因为，而p-级数收敛，由比较判别法的极限形式知收敛。（5）通项，则，所以由比值判别法知，级数发散。（6）通项，则，所以由比值判别法知，级数发散。（7）通项，则，所以由比值判别法知，级数收敛。（8）通项，则，所以由比值判别法知，级数收敛。（9）通项，则，所以由比值判别法知，级数收敛。（10）通项，则，所以由根值判别法知，级数收敛。（11）由于，而级数收敛，由比较判别法推论知级数收敛。（12）对于级数，因为，由比值判别法知级数收敛；由于，而级数收敛，由比较判别法知，级数收敛。习题9-31. 判定下列级数是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛：(1) ; (2) ; (3) ;() ; (5) ； (6) ;(7) ; (8) (0x)解：（1）这是一个交错级数，,且，由莱布尼兹判别法知收敛但发散，故条件收敛。（2）由于，而级数收敛，所以收敛，故绝对收敛。（3）由于，而级数收敛，所以收敛，故绝对收敛。（4）由于，而级数收敛，所以收敛，故绝对收敛。（5）由于级数和级数都绝对收敛，所以绝对收敛。（6）当n充分大时，除去级数前面有限项，这是一个交错级数，,且有，由莱布尼兹判别法知收敛但发散（），故条件收敛。（7）由于，而级数收敛，所以收敛，故绝对收敛。（8）因为，当时，故得到所以级数的部分和数列当时有界，而数列单调递减趋于零，由狄利克雷判别法推得级数收敛。2. 设级数及都收敛，证明级数及也都收敛证：由于级数及都收敛，则级数收敛。因为，所以由比较判别法知级数收敛，即级数绝对收敛。习题9-41. 求下列幂级数的收敛域：(1) ； (2) ；(3) ； (4) (5) ； (6) 解：（1）因为，故收敛半径当时，原级数显然发散。因此，原级数的收敛域为。（2）因为，故收敛半径。当时，原级数为，由于，即，级数不满足级数收敛的必要条件，因此原级数发散；当时，原级数为，同样不满足级数收敛的必要条件，原级数发散。因此，原级数的收敛域为。（3）因为，故收敛半径。当时，原级数为，此时原级数收敛；当时，原级数为，此时原级数收敛。因此，原级数的收敛域为。（4）令，则，于是，当，即时，原级数绝对收敛；当，即时，原级数发散；故原级数收敛半径为。当时，原级数为，此时原级数收敛；当时，原级数为，此时原级数收敛。因此，原级数的收敛域为。（5）因为，故收敛半径。当时，原级数为，此时原级数发散；当时，原级数为，此时原级数收敛。因此，原级数的收敛域为。（6）因为，故收敛半径。当时，原级数为，此时原级数发散；当时，原级数为，此时原级数收敛。因此，原级数的收敛域为。2. 求下列幂级数的和函数：(1) ； (2) 解：（1）所给幂级数收敛半径为，收敛区间为。因为，在区间内成立，则所以。（2）3. 求下列级数的和：(1) ； (2) 解：（1）由于则。所以（2）因为所以。习题9-51. 将下列函数展开成x的幂级数：(1) ; (2) ； (3) ;(4) ； (5) (6)解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（6）因为；而所以2. 将下列函数在指定点处展开成幂级数，并求其收敛区间：(1) ，在x0； (2) cosx, 在x0=;(3) ，在x0=1; (4) ， 在x0解：（1）；（2）（3）（4）因为；所以习题9-61利用幂级数的展开式求下列各数的近似值：(1) (误差不超过0.0001)； (2) ln3 (误差不超过10-4)；(3) (误差不超过10-5).解：（1）由二项展开式，取可得.取前两项的和作为的近似值，其误差为故取近似值为（2）由于.令, 解出， 以代入上面的展开式, 得，取前六项作为的近似值，则误差为所以。（3）由于；则，取前两项的和作为的近似值，其误差为，所以。2. 计算的近似值，精确到10. 解：由于，则取前三项的和作为近似值，则其误差为，故所求近似值为。3假定银行的年存款利率为 5%，若以年复利计算利息，某公司应在银行中一次存入多少资金？才能保证从存入之日起，以后每年能从银行提取300万元作为职工的福利直至永远. 解： 第一次福利发放在创立之日，第一次所需要筹集的资金(单位：百万元)=3；第二次福利发放在一年后，第二次所需要筹集的资金(单位：百万元) ；第三次福利发放在二年后， 第三次所需要筹集的资金(单位：百万元) ；一直延续下去，则总所需要筹集的资金(单位：百万元)=这是一个公比为的等比级数，收敛于。因此，以年复利计算利息时，该公司需要在银行中一次存入6300万元资金。复习题9（A）1. 判别下列正项级数的敛散性：（1）； （2）；（3）； （4）.解：（1）由于，而调和级数发散，所以原级数发散；（2）由于，而调和级数发散，所以原级数发散；（3）由于，而级数收敛，所以原级数收敛；（4）因为，所以原级数收敛。2. 设正项级数都收敛，试证明级数也收敛.证：由于正项级数收敛，由级数收敛的必要条件有，那么存在充分大的正整数，使得当时，成立，于是当时，。则由比较判别法的推论，可知级数也收敛。同理，可证得级数也收敛。由于，而级数收敛，因此级数绝对收敛。因为，等式左边三个级数都收敛，所以级数收敛。3. 判别下列级数:是绝对收敛?条件收敛?还是发散？（1）； （2）； （3）； （4）.解：（1）这是一个交错级数，,且，由莱布尼兹判别法知收敛但发散，故条件收敛。（2）因为，所以原级数绝对收敛；（3）因为不存在，即原级数不满足级数收敛的必要条件，故原级数发散；（4）因为，所以原级数绝对收敛；4. 求下列幂级数的收敛域：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）.解：（1）由于，则原级数收敛半径为，显然原级数只在收敛；（2）由于，则原级数收敛半径为，显然原级数的收敛域为；（3）由于，则原级数收敛半径为。当时，原级数为，此时级数发散；当时，原级数为，此时级数收敛。因此，原级数的收敛域为。（4）由于，则原级数收敛半径为。当时，原级数为，此时级数发散；当时，原级数为，此时级数收敛。因此，原级数的收敛域为。（5）由于，则原级数收敛半径为。当时，原级数为，级数发散；当时，原级数为，级数发散。因此，原级数的收敛域为。（6）由于，则原级数收敛半径为。当时，原级数为，此时级数收敛；当时，原级数为，此时级数收敛。因此，原级数的收敛域为。5. 求下列幂级数的收敛域及和函数：（1）； （2）； （3）； （4）.解：（1）由于，则原级数收敛半径为。当时，原级数为，此时级数发散；当时，原级数为，此时级数发散。因此，原级数的收敛域为。级数的和为（2）由于，则原级数收敛半径为。当时，原级数为，此时级数发散；当时，原级数为，此时级数发散。因此，原级数的收敛域为。级数的和为（3）由于，则原级数收敛半径为。当时，原级数为，此时级数发散；当时，原级数为，此时级数发散。因此，原级数的收敛域为。级数的和为（4）由于，则原级数收敛半径为。当时，原级数为，此时级数收敛；当时，原级数为，此时级数收敛。因此，原级数的收敛域为。由于，而所以6. 将下列函数展开成x的幂级数：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）.解：（1）；（2）；（3）（4）（5）（6）7. 求下列函数在指定点处的幂级数展开式：（1）； （2）. 解：（1）（2）(B)1. 讨论级数的敛散性.解：由于，由比值判别法知，原级数收敛。2. 已知正项级数收敛，证明级数也收敛.反之，若收敛，是否一定收敛？证：由于正项级数收敛，由级数收敛的必要条件有，那么存在充分大的正整数，使得当时，成立，于是当时，。则由比较判别法的推论，可知级数也收敛。 反之，若收敛，则不一定收敛。例如，级数收敛，但调和级数发散。3. 已知级数收敛，证明级数绝对收敛.证：由柯西不等式，有，亦即，令，分别是级数、和的部分和。由上式，可知成立。由于级数和收敛，那么部分和数列和收敛，因此数列和有界。而，所以正项级数的部分和数列单调有界。由数列的单调有界定理，可知极限存在，所以级数收敛，亦即级数绝对收敛。4. 求幂级数的收敛半径和收敛域.解：原级数，则，级数的收率半径为。 当时，原级数为，此时级数收敛；当时，原级数为，此时级数发散。因此，原级数的收敛半径为，收敛域为。5. 将函数展开为x的幂级数，并求其收敛域.解：由于，而；所以6. 利用幂级数展开式求下列级数的和：（1）； （2）.解：（1）由于；所以（2）由于所以7. 利用级数敛散性，证明，其中，c1是常数。证：由于；则对于任意常数，级数收敛。由级数收敛的必要条件，可知。8. 设数列有界，证明级数收敛. 证：由于数列有界，则存在正数，使得对于数列的任意项，成立，亦即。那么对于任意，成立；由于是常数，显然级数收敛。因此，由比较判别法可知级数收敛。习题10-11. 指出下列方程的阶数： (1) (2)(3) (4)解：(1)三阶(2)二阶(3)一阶(4)一阶2. 验证下列给出的函数是否为相应方程的解：(1), (2), (3)， (4)， 解：(1)是，代入即可. (2)是，代入即可； (3)是，因为 ，满足； (4)是，代入，显然满足.3. 验证:函数x=C1coskt+C2sinkt(k0)是微分方程的通解.解：满足，所以是解，又因为含有两个任意常数，且方程是二阶的，故是通解.4. 已知函数x=C1coskt+C2sinkt(k0)是微分方程的通解,求满足初始条件x| t=0 =2, x| t=0 =0的特解.解：上题可知是微分方程通解，且代入初值条件，得，所以特解为习题10-21. 求下列微分方程的通解：(1)； (2) ；(3) ；(4) ；(5) ； (6) ；(7) ； (8) 解：(1)这是可分离变量方程，分离变量得两端分别积分：这就是方程通解 .(2)这是可分离变量方程，分离变量得两端分别积分：即这就是方程通解 .(3)这是可分离变量方程，分离变量得两端分别积分：即这就是方程通解 .(4)这是可分离变量方程，分离变量得两端分别积分：即这就是方程通解 .(5)这是齐次方程，令则代入原方程并整理两端分别积分：即这就是方程通解 .(6)这是齐次方程，化简得令则代入原方程并整理，两端分别积分：即这就是方程通解 .(7)这是齐次方程，化简得令则代入原方程并整理，两端分别积分：即这就是方程通解 . (8)这是特殊方程，用换元法，令则代入原方程并整理，两端分别积分：即这就是方程通解 .2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解：(1) ， ；(2) ， ；(3) ，；(4) ，解(1)分离变量：两端分别积分：解得：将代入通解中，求得故所求特解为(2)分离变量：两端分别积分：将代入通解中，求得故所求特解为(3)这是齐次方程,令则代入原方程并整理两边积分得即变量回代得所求通解由代入通解，得，故所求初值问题的解为3. 一曲线在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分，且通过点(1,2)，求该曲线方程.解：设曲线方程为：由题意可得方程: ,且，解分离变量方程得：,由得，故所求曲线为：.4. 物体冷却的数学模型在多个领域有广泛的应用.例如，警方破案时，法医要根据尸体当时的温度推断这个人的死亡时间，就可以利用这个模型来计算解决.现设一物体的温度为100，将其放置在空气温度为20的环境中冷却.试求物体温度随时间t的变化规律.解 设物体的温度与时间的函数关系为建立该问题