2016年天津市河西区中考数学模拟试卷（三）含答案解析

第 1 页（共 29 页） 2016 年天津市河西区中考数学模拟试卷（三） 一、选择题（共 3小题，每小题 0分，满分 0分） 1将一副直角三角尺如图放置，若 0，则 大小为（ ） A 140 B 160 C 170 D 150 2如图，四个有理数在数轴上的对应点 M， P， N， Q，若点 M， N 表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（ ） A点 M B点 N C点 P D点 Q 3抛物线 y=bx+c（ a0）的对称轴为直线 x= 1，与 x 轴的一个交点 A 在点（ 3， 0）和（ 2， 0）之间，其部分图象如图，则下列结论： 40； 2a b=0； a+b+c 0； 点 M（ N（ 抛物线上，若 y1中正确结论的个数是（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 二、填空题（共 9小题，每小题 0分，满分 0分） 4将多项式 4a 分解因式为 5不等式组 的解集是 6关于 x 的分式方程 有解，则字母 a 的取值范围是 7菱形 对角线 边作正方形 为 8若 x2+x+m=（ x 3）（ x+n）对 x 恒成立，则 n= 9已知 m 是方程 x 1=0 的一个根，则 m（ m+1） 2 m+3） +4 的值为 10已知 x 是 的小数部分，则 = 第 2 页（共 29 页） 11二次函数 y= O 为坐标原点，点 A 在 y 轴的正半轴上，点 B、 y= 图象上，四边形 菱形，且 20，则菱形 面积为 12如图， 正方形 ， 直线 l 的夹角为 30，延长 l 于点正方形 长 l 于点 正方形 长 直线 l 于点 正方形 ，依此规律，则 三、解答题 13根据某网站调查， 2014 年网民们最关注的热点话题分别有：消费、教育、环保、反腐及其他共五类根据调查的部分相关数据，绘制的统计图表如下： 根据所给信息解答下列问题： （ 1）请补全条形统计图并在图中标明相应数据； （ 2）若菏泽市约有 880 万人口，请你估计最关注环保问题的人数约为多少万人？ （ 3）在这次调查中，某单位共有甲、乙、丙、丁四人最关注教育问题，现准备从这四人中随机抽取两人进行座谈，试用列表或树形图的方法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率 14甲、乙两车分别从相距 480 A、 B 两地相向而行，乙车比甲车先出发 1 小时，并以各自的速度匀速行驶，途径 C 地，甲车到达 C 地停留 1 小时，因有事按原路原速返回 页（共 29 页） 地乙车从 B 地直达 A 地，两车同时到达 A 地甲、乙两车距各自出发地的路程 y（千米）与甲车出发所用的时间 x（小时）的关系如图，结合图象信息解答下列问题： （ 1）乙车的速度是 千米 /时， t= 小时； （ 2）求甲车距它出发地的路程 y 与它出发的时间 x 的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （ 3）直接写出乙车出发多长时间两车相距 120 千米 15如图， M、 N 为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞工程 人员为了计算工程量，必须计算 M、 N 两点之间的直线距离，选择测量点 A、 B、 C，点 B、 C 分别在 ，现测得 千米、 米， 4米、 5 米、 0 米，求 M、 N 两点之间的直线距离 16母亲节前夕，某淘宝店主从厂家购进 A、 B 两种礼盒，已知 A、 B 两种礼盒的单价比为2： 3，单价和为 200 元 （ 1）求 A、 B 两种礼盒的单价分别是多少元？ （ 2）该店主购进这两种礼盒恰好用去 9600 元，且购进 A 种礼盒最多 36 个， B 种礼盒的数量 不超过 A 种礼盒数量的 2 倍，共有几种进货方案？ （ 3）根据市场行情，销售一个 A 种礼盒可获利 10 元，销售一个 B 种礼盒可获利 18 元为奉献爱心，该店主决定每售出一个 B 种礼盒，为爱心公益基金捐款 m 元，每个 A 种礼盒的利润不变，在（ 2）的条件下，要使礼盒全部售出后所有方案获利相同， m 值是多少？此时店主获利多少元？ 17如图，已知 0， D 是直线 的点， C （ 1）如图 1，过点 A 作 截取 D，连接 断 形状并证明； 第 4 页（共 29 页） （ 2）如图 2， E 是直线 一点，且 D，直线 交于点 P， 度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由 18一次函数 y=2x+2 与反比例函数 y= （ k0）的图象都过点 A（ 1， m）， y=2x+2 的图象与 x 轴交于 B 点 （ 1）求点 B 的坐标及反比例函数的表达式； （ 2） C（ 0， 2）是 y 轴上一点，若四边形 平行四边形，直接写出点 D 的坐标，并判断 D 点是否在此反比例函数的图象上，并说明理 由 19如图，在 ， C，以 直径的 O 分别交 点 D、 E， 延长线于 O 的切线 于点 F （ 1）求证： （ 2）若 ， ： 4，求 长 20如图 1 所示，在正方形 正方形 ，点 B、 C、 G 在同一条直线上， M 是线段 中点， 延长线交 点 N，连接 证： M， 需写证明过 程） （ 1）如图 2，当点 B、 C、 F 在同一条直线上， 延长线交 点 N，其余条件不变，试探究线段 怎样的关系？请写出猜想，并给予证明； （ 2）如图 3，当点 E、 B、 C 在同一条直线上， 延长线交 延长线于点 N，其余条件不变，探究线段 怎样的关系？请直接写出猜想 第 5 页（共 29 页） 21如图，顶点 M 在 y 轴上的抛物线与直线 y=x+1 相交于 A、 B 两点，且点 A 在 x 轴上，点 B 的横坐标为 2，连结 （ 1）求抛物线的函数关系式； （ 2）判断 形状，并说明理由； （ 3）把抛物线与直线 y=x 的交点称为抛物线的不动点若将（ 1）中抛物线平移，使其顶点为（ m， 2m），当 m 满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点 22如图，四边形 边长为 4 的正方形，点 P 为 上任意一点（与点 O、 A 不重合），连接 点 P 作 点 D，且 P，过点 M 作 点 N，连接 OP=t （ 1）求点 M 的坐标（用含 t 的代数式表示） （ 2）试判断线段 长 度是否随点 P 的位置的变化而改变？并说明理由 （ 3）当 t 为何值时，四边形 面积最小 23已知关于 x 的一元二次方程 x+ =0 有两个不相等的实数根， k 为正整数 （ 1）求 k 的值； （ 2）当此方程有一根为零时，直线 y=x+2 与关于 x 的二次函数 y=x+ 的图象交于A、 B 两点，若 M 是线段 的一个动点，过点 M 作 x 轴，交 二次函数的图象于点N，求线段 最大值及此时点 M 的坐标； （ 3）将（ 2）中的二次函数图象 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折到 x 轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象 x 轴上方的部分组成一个 “W”形状的新图象，若直线 y= x+ b 的值 第 6 页（共 29 页） 第 7 页（共 29 页） 2016年天津市河西区中考数学模拟试卷（三） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 3小题，每小题 0分，满分 0分） 1将 一副直角三角尺如图放置，若 0，则 大小为（ ） A 140 B 160 C 170 D 150 【考点】 直角三角形的性质 【分析】 利用直角三角形的性质以及互余的关系，进而得出 度数，即可得出答案 【解答】 解： 将一副直角三角尺如图放置， 0， 0 20=70， 0+70=160 故选： B 2如图，四个有理数在数轴上的对应点 M， P， N， Q，若点 M， N 表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（ ） A点 M B点 N C点 P D点 Q 【考点】 有理数大小比较 【分析】 先根据相反数确定原点的位置，再根据点的位置确定绝对值最小的数即可 【解答】 解： 点 M， N 表示的有理数互为相反数， 原点的位置大约在 O 点， 绝对值最小的数的点是 P 点， 故选 C 3抛物线 y=bx+c（ a0）的对称轴为直线 x= 1，与 x 轴的一个交点 A 在点（ 3， 0）和（ 2， 0）之间，其部分图象如图，则下列结论： 40； 2a b=0； a+b+c 0； 点 M（ N（ 抛物线上，若 y1中正确结论的个数是（ ） 第 8 页（共 29 页） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 【考点】 二次函数图象与系数的关系 【分析】 根据函数与 x 中轴的交点的个数，以及对称轴的解析式，函数值的符号的确定即可作出 判断 【解答】 解：函数与 x 轴有两个交点，则 40，即 40，故 正确； 函数的对称轴是 x= 1，即 = 1，则 b=2a， 2a b=0，故 正确； 当 x=1 时，函数对应的点在 x 轴下方，则 a+b+c 0，则 正确； 则 大小无法判断，则 错误 故选 C 二、填空题（共 9小题，每小题 0分，满分 0分） 4将多项式 4a 分解因式为 a（ x 2） 2 【考点】 提公因式法与公式法的综合运用 【分析】 原式提取 a，再利用完全平方公式分解即可 【解答】 解：原式 =a（ 4x+4） =a（ x 2） 2， 故答案为： a（ x 2） 2 5不等式组 的解集是 1x 3 【考点】 解一元一次不等式组 【分析】 分别解每一个不等式，再求解集的公共部分 【解答】 解： ， 解不等式 得： x 1， 解不等式 得： x 3， 所以不等式组的解集是： 1x 3， 故答案为： 1x 3 6关于 x 的分式方程 有解，则字母 a 的取值范围是 a5， a0 【考点】 分式方程的解 第 9 页（共 29 页） 【分析】 先解关于 x 的分式方程，求得 x 的值，然后再依据 “关于 x 的分式方程 有解 ”，即 x0 且 x2 建立不等式即可求 a 的取值范围 【解答】 解：方程 去分母得： 5（ x 2） = 去括号得： 5x 10= 移项，合并同类项得： （ 5 a） x=10， 关于 x 的分式方程 有解， 5 a0， x0 且 x2， 即 a5， 系数化为 1 得： x= ， 0 且 2， 即 a5， a0，综上所述：关于 x 的分式方程 有解，则字母 a 的取值范围是 a5， a0， 故答案为： a5， a0 7菱形 对角线 边作正方形 为 5 【考点】 菱形的性质；正方形的性质 【分析】 作出图形，根据菱形的对角线互相垂直平分求出 后分正方形在 两边两种情况补成以 斜边的 后求出 利用勾股定理列式计算即可得解 【解答】 解： 6=3 4=2m， 如图 1，正方形 上方时，过点 B 作 延长线于 G， O=3 F+2=8 在 ， = = 如图 2，正方形 下方时，过点 B 作 G， O=3 F 2=4 在 ， = =5 综上所述， 为 5 故答案为： 5 第 10 页（共 29 页） 8若 x2+x+m=（ x 3）（ x+n）对 x 恒成立，则 n= 4 【考点】 因式分解 【分析】 利用多项式乘法去括号，得出关于 n 的关系式进而求出 n 的值 【解答】 解： x2+x+m=（ x 3）（ x+n）， x2+x+m= n 3） x 3n， 故 n 3=1， 解得： n=4 故答案为： 4 9已知 m 是方程 x 1=0 的一个根，则 m（ m+1） 2 m+3） +4 的值为 3 【考点】 一元二次方程的解 【分析】 根据一元二次方程的解的定义得到 m 1=0，则 m2=m+1，然后利用降次的 方法对原式进行化简即可 【解答】 解： m 是方程 x 1=0 的一个根， m 1=0， m2=m+1， m（ m+1） 2 m+3） +4 =m（ m+1）（ m+1）（ m+3） +4 =m（ m+1+2m+1）（ m+3） +4 =3m 4m 3+4 =22m+1 =2（ m+1） 2m+1 =2m+2 2m+1 =3 故答案为 3 10已知 x 是 的小数部分，则 = 【考点】 分式的混合运算 【分析】 将分母因式分解，计算括号内分式加法，再将除法转化为乘法，最后约分可化简原式，将 x 的值代入计算即可 第 11 页（共 29 页） 【解答】 解：原式 = = = ， x 是 的小数部分，且 2 3， x= 2， 原式 = = = 故答案为： 11二次函数 y= O 为坐标原点，点 A 在 y 轴的正半轴上，点 B、 y= 图象上，四边形 菱形，且 20，则菱形 面积为 2 【考点】 菱形的性质；二次函数图象上点的坐标特征 【分析】 连结 D，如图，根据菱形的性质得 0，利用含 30度的直角三角形三边的关系得 BD=t，则 t， B（ t， t），利用二次函数图象上点的坐标特征得 t，解得 （舍去）， ，则 ， ，然后根据菱形性质得 ， ，再利用菱形面积公式计算即可 【解答】 解：连结 D，如图， 四边形 菱形， 20， 0， 设 BD=t，则 t， 第 12 页（共 29 页） B（ t， t）， 把 B（ t， t）代入 y= t，解得 （舍去）， ， ， ， ， ， 菱形 面积 = 22 =2 故答案为 2 12如图，正方形 ， 直线 l 的夹角为 30，延长 l 于点正方形 长 l 于点 正方形 长 直线 l 于点 正方 形 ，依此规律，则 2（ ） 2015 【考点】 正方形的性质 【分析】 由四边形 到 是得到 据平行线的性质得到 0，解直角三角形得到 ， ，同理： （ ）2， （ ） 3，找出规律 =2（ ） n，答案即可求出 【解答】 解： 四边形 0， ， ， 1， ， 同理： （ ） 2， （ ） 3， =2（ ） n， （ ） 2015， 故答案为： 2（ ） 2015 第 13 页（共 29 页） 三、解答题 13根据某网站调查， 2014 年网民们最关注的热点话题分别有：消费、教育、环保、反腐及其他共五类根据调查的部分相关数据，绘制的统计图表如下： 根据所给信息解答下列问题： （ 1）请补全条形统计图并在图中标明相应数据； （ 2）若菏泽市约有 880 万人口，请你估计最关注环保问题的人数约为多少万人？ （ 3）在这次调查中，某单位共有甲、乙、丙、丁四人最关注教育问题，现准备从这四人中随机抽取两人进行座谈，试用列表或树形图的方法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率 【考点】 列表法与树状图法；扇 形统计图；条形统计图 【分析】 （ 1）根据关注消费的人数是 420 人，所占的比例式是 30%，即可求得总人数，然后利用总人数乘以关注教育的比例求得关注教育的人数； （ 2）利用总人数乘以对应的百分比即可； （ 3）利用列举法即可求解即可 【解答】 解：（ 1）调查的总人数是： 42030%=1400（人）， 关注教育的人数是： 140025%=350（人） ； （ 2） 88010%=88 万人； （ 3）画树形图得： 则 P（抽取的两人恰好是甲和乙） = = 第 14 页（共 29 页） 14甲、乙两车分别从相距 480 A、 B 两地相向而行，乙车比甲车先出发 1 小时，并以各自的速度匀速行驶，途径 C 地，甲车到达 C 地停留 1 小时，因有事按原路原速返回 车从 B 地直达 A 地，两车同时到达 A 地甲、乙两车距各自出发地的路程 y（千米）与甲车出发所用的时间 x（小时）的关系如图，结合图象信息解答下列问题： （ 1）乙车的速度是 60 千米 /时， t= 3 小时； （ 2）求甲车距它出发地的路程 y 与它出发的时间 x 的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （ 3）直接写出乙车出发多长时间两车相距 120 千米 【考点】 一次函数的应用 【分析】 （ 1）首先根据图示，可得乙车的速度是 60 千米 /时，然后根据路程 速度 =时间，用两地之间的距离除以乙车的速度，求出乙车到达 A 地用的时间是多少；最后根据路程 时间=速度，用两地之间的距离除以甲车往返 地用的时间，求出甲车的速度，再用 360 除以甲车的速度，求出 t 的值是多少即可 （ 2）根据题意，分 3 种情况： 当 0x3 时； 当 3 x4 时； 4 x7 时；分类讨论，求出甲车距它出发地的路程 y 与它出发的时间 x 的函数关系式，并写出自变量的取值范围即可 （ 3）根据题意，分 3 种情况： 甲乙两车相遇之前相距 120 千米； 当甲车停留在 C 地时； 两车都朝 A 地行驶时；然后根据路程 速度 =时间，分类讨论，求出乙车出发多长时间两车相距 120 千米即可 【解答】 解：（ 1）根据图示，可得 乙车的速度是 60 千米 /时， 甲车的速度是： =7206 =120（千米 /小时） t=360120=3（小时） （ 2） 当 0x3 时，设 y= 把（ 3， 360）代入，可得 360， 解得 20， y=120x（ 0x3） 当 3 x4 时， y=360 4 x7 时，设 y=b， 第 15 页（共 29 页） 把（ 4， 360）和（ 7， 0）代入，可得 解得 y= 120x+840（ 4 x7） （ 3） +1 =300180+1 = = （小时） 当甲车停留在 C 地时， 60 =2406 =4（小时） 两车都朝 A 地行驶时， 设乙车出发 x 小时后两车相距 120 千米， 则 60x 120（ x 1） 360=120， 所以 480 60x=120， 所以 60x=360， 解得 x=6 综上，可得 乙车出发 后两车相距 120 千米 故答案为： 60、 3 15如图， M、 N 为山两侧的两个村庄，为了两村交通方 便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞工程人员为了计算工程量，必须计算 M、 N 两点之间的直线距离，选择测量点 A、 B、 C，点 B、 C 分别在 ，现测得 千米、 米， 4米、 5 米、 0 米，求 M、 N 两点之间的直线距离 第 16 页（共 29 页） 【考点】 相似三角形的应用 【分析】 先根据相似三角形的判定得出 利用相似三角形的性质解答即可 【解答】 解：在 ， = ， = ， ，又 A= A， ，即 ， 解得： 500 米， 答： M、 N 两点之间的直线距离是 1500 米； 16母亲节前夕 ，某淘宝店主从厂家购进 A、 B 两种礼盒，已知 A、 B 两种礼盒的单价比为2： 3，单价和为 200 元 （ 1）求 A、 B 两种礼盒的单价分别是多少元？ （ 2）该店主购进这两种礼盒恰好用去 9600 元，且购进 A 种礼盒最多 36 个， B 种礼盒的数量不超过 A 种礼盒数量的 2 倍，共有几种进货方案？ （ 3）根据市场行情，销售一个 A 种礼盒可获利 10 元，销售一个 B 种礼盒可获利 18 元为奉献爱心，该店主决定每售出一个 B 种礼盒，为爱心公益基金捐款 m 元，每个 A 种礼盒的利润不变，在（ 2）的条件下，要使礼盒全部售出后所有方案获利相同， m 值是多少？此时店 主获利多少元？ 【考点】 一次函数的应用；一元一次方程的应用；一元一次不等式组的应用 【分析】 （ 1）利用 A、 B 两种礼盒的单价比为 2： 3，单价和为 200 元，得出等式求出即可； （ 2）利用两种礼盒恰好用去 9600 元，结合（ 1）中所求，得出等式，利用两种礼盒的数量关系求出即可； （ 3）首先表示出店主获利，进而利用 a， b 关系得出符合题意的答案 【解答】 解：（ 1）设 A 种礼盒单价为 2x 元， B 种礼盒单价为 3x 元，依据题意得： 2x+3x=200， 解得： x=40， 则 2x=80， 3x=120， 答： A 种礼盒单价为 80 元 ， B 种礼盒单价为 120 元； 第 17 页（共 29 页） （ 2）设购进 A 种礼盒 a 个， B 种礼盒 b 个，依据题意可得： ， 解得： 30a36， a， b 的值均为整数， a 的值为： 30、 33、 36， 共有三种方案； （ 3）设店主获利为 w 元，则 w=10a+（ 18 m） b， 由 80a+120b=9600， 得： a=120 b， 则 w=（ 3 m） b+1200， 要使（ 2）中方案获利都相同， 3 m=0， m=3， 此时店 主获利 1200 元 17如图，已知 0， D 是直线 的点， C （ 1）如图 1，过点 A 作 截取 D，连接 断 形状并证明； （ 2）如图 2， E 是直线 一点，且 D，直线 交于点 P， 度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由 【考点】 全等三角形的判定与性质 【分析】 （ 1）利用 明 等，再利用全等三角形的性质得 出 C，即可判断三角形的形状； （ 2）作 A，使 D，连结 用 明 等，再利用全等三角形的性质得出 C， 0，即可得出 5 【解答】 解：（ 1） 等腰直角三角形，理由如下： 0， 在 ， 第 18 页（共 29 页） ， C， 等腰三角形， 0， 0， 等腰直角三角形； （ 2）作 A，使 D，连结 图， 0， 在 ， ， C， 等腰三角形， 0， 0， 等腰直角三角形， 5， E， 四边形 平行四边形， 5 18一次函数 y=2x+2 与反比例函数 y= （ k0）的图象都过点 A（ 1， m）， y=2x+2 的图象与 x 轴交于 B 点 （ 1）求点 B 的坐标及反比例函数的表达式； 第 19 页（共 29 页） （ 2） C（ 0， 2）是 y 轴上一点，若四边形 平行四边形 ，直接写出点 D 的坐标，并判断 D 点是否在此反比例函数的图象上，并说明理由 【考点】 反比例函数与一次函数的交点问题 【分析】 （ 1）在 y=2x+2 中令 y=0，求得 B 的坐标，然后求得 A 的坐标，利用待定系数法求得反比例函数的解析式； （ 2）根据平行线的性质即可直接求得 D 的坐标，然后代入反比例函数的解析式判断即可 【解答】 解：（ 1）在 y=2x+2 中令 y=0，则 x= 1， B 的坐标是（ 1， 0）， A 在直线 y=2x+2 上， A 的坐标是（ 1， 4） A（ 1， 4）在反比例函数 y= 图象上 k=4 反比例函数的解析式为： y= ； （ 2） 四边形 平行四边形， D 的坐标是（ 2， 2）， D（ 2， 2）在反比例函数 y= 的图象上 19如图，在 ， C，以 直径的 O 分别交 点 D、 E， 延长线于 O 的切线 于点 F （ 1）求证： （ 2）若 ， ： 4，求 长 【考点】 切线的性质；相似三角形的判定与性质 【分析】 （ 1）首先连接 直径，可得 0，又由 O 的切线，易证得 后由 C，证得： （ 2）首先连接 CE=x，由勾股定理可得方程：（ 2 ） 2= 3x） 2 求得答案 【解答】 （ 1）证明：如图，连接 O 的直径， 0， 0 O 的切线， 0， 即 0 第 20 页（共 29 页） C， 0， （ 2）解：如图，连接 0， 设 CE=x， ： 4， x， C=5x， x， 在 ， 即（ 2 ） 2= 3x） 2， x=2 20如图 1 所示，在正方形 正方形 ，点 B、 C、 G 在同一条直线上， M 是线段 中点， 延长线交 点 N，连接 证： M， 需写证明过程） （ 1）如图 2，当点 B、 C、 F 在同一条直线上， 延长线交 点 N，其余条件不变，试探究线段 怎样的关系？请写出猜想，并给予证明； （ 2）如图 3，当点 E、 B、 C 在同一条直线上， 延长线交 延长线于点 N，其余条件 不变，探究线段 怎样的关系？请直接写出猜想 【考点】 四边形综合题 【分析】 （ 1）连接 四边形 正方形，得到 是得到 得 得 出 N， N，推出 出 等腰直角三角形，即可得到结论； 第 21 页（共 29 页） （ 2）连接 四边形 正方形，得到 点 E、 B、 C 在同一条直线上，于是得到 求得 得 出 N，N，推出 出 等腰直角三角形，于是结论得到 【解答】 解：（ 1）如图 2， M， 证明：连接 四边形 正方形， M 是 中点， M， 在 ， ， N， N， D， E， F， 0， 在 ， ， F， 0， 0， 0， M （ 2）猜想： M， 证明如下：如图 3，连接 连接 四边形 正方形， 点 E、 B、 C 在同一条直线上， 在 ， ， 第 22 页（共 29 页） N， N， D， E， F， 0+45=135， 80 45=135， 在 ， ， F， 0， 0， 0， M 21如图，顶点 M 在 y 轴上的抛物线与直线 y=x+1 相交于 A、 B 两点，且点 A 在 x 轴上，点 B 的横坐标为 2，连结 （ 1）求抛物线的函数关系式； （ 2）判断 形状，并说明理由； （ 3）把抛物线与直线 y=x 的交点称为抛物线的不动点若将（ 1）中抛物线平移，使其顶点为（ m， 2m），当 m 满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点 第 23 页（共 29 页） 【考点】 二次函数综合题 【分析】 （ 1）由条件可分别求得 A、 B 的坐标，设出抛物线解析式，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （ 2）结合（ 1）中 A、 B、 C 的坐标，根据勾股定理可分别求得 得到判定 直角三角形； （ 3）由条件可写出平移后的抛物线的解析式，联立 y=x，可得到关于 x 的一元二次方程，根据根的判别式可求得 m 的范围 【解答】 解：（ 1） A 点为直线 y=x+1 与 x 轴的交点， A（ 1， 0）， 又 B 点横坐标为 2，代入 y=x+1 可求得 y=3， B（ 2， 3）， 抛物线顶点在 y 轴上， 可设抛物线解析式为 y=c， 把 A、 B 两点坐标代入可得 ，解得 ， 抛物线解析式为 y=1； （ 2） 直角三角形理由如： 由（ 1）抛物线解析式为 y=1 可知 M 点坐标为（ 0， 1）， ， = =3 ， =2 ， +18=20= 直角三角形； （ 3）当抛物线 y=1 平移后顶点坐标为（ m， 2m）时，其解析式为 y=（ x m） 2+2m，即 y=2mx+m， 联立 y=x，可得 ，消去 y 整理可得 2m+1） x+m=0， 平移后的抛物线总有不动点， 方程 2m+1） x+m=0 总有实数根， 0，即（ 2m+1） 2 4（ m） 0， 解得 m ， 即当 m 时，平移后的抛物线总有不动点 第 24 页（共 29 页） 22如图，四边形 边长为 4 的正方形，点 P 为 上任意一点（与点 O、 A 不重合），连接 点 P 作 点 D，且 P，过点 M 作 点 N，连接 OP=t （ 1）求点 M 的坐标（用含 t 的代数式表示） （ 2）试判断线段 长度是否随点 P 的位置的变化而改变？并说明理由 （ 3）当 t 为何值时，四边形 面积最小 【考点】 四边形综合题 【分析】 （ 1）作 ，则 0，先证出 证明 出 O=t， C=4，求出 可得出点 M 的坐标； （ 2）连接 证明四边形 正方形，得出 5= 出四边形 平行四边形，即可得出 A=4； （ 3）先证明 出比例式 ，得出 出 出四边形 是关于 t 的二次函数，即可得出结果 【