2019-2020学年朔州市应县第一中学校高二上学期期末数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年山西省朔州市应县第一中学校高二上学期期末数学（理）试题一、单选题1命题“若，则”的否命题是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】B【解析】根据命题“若p，则q”的否命题是“若p，则q”【详解】命题“若，则”的否命题是“若，则”故选B【点睛】本题考查了命题与它的否命题的应用问题，是基础题2命题：，的否定是（ ）A，B，C，D，【答案】C【解析】根据特称命题的否定是全称命题，即可判断结果【详解】由特称命题的否定可知： 命题的否定是“， 故选：C【点睛】本题考查特称命题的否定，属基础题3 椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(10,0)，则焦点坐标为()A(13,0)B(0，10)C(0，13)D【答案】D【解析】根据椭圆的顶点坐标确定出焦点的位置，然后再结合题中的数据求出c的值后可得焦点坐标【详解】由题意知，椭圆的焦点在y轴上，且，所以，所以焦点坐标为故选D【点睛】解答本题的关键是确定椭圆焦点的位置，解题时注意焦点在长轴所在的坐标轴上，然后再结合的关系求出c后可得所求，考查椭圆中的基本计算，属于基础题4已知四边形为矩形，平面，连接，则下列各组向量中，数量积不为零的是（ ）A与B与C与D与【答案】A【解析】根据题意，若空间非零向量的数量积为0，则这两个向量必然互相垂直据此依次分析选项，判定所给的向量是否垂直，即可得答案【详解】作出草图：根据题意，依次分析选项： 对于A，与不一定垂直，即向量 与，则向量 与的数量积不一定为0； 对于B，根据题意，有平面，则，又由，则有平面，进而有，即向量 与 一定垂直，则向量 与 的数量积一定为0； 对于C，根据题意，有平面，则，又由，则有平面，进而有，即向量与一定垂直，则向量 与 的数量积一定为0；对于D，根据题意，有平面，则，即向量 与一定垂直，则向量与的数量积一定为0；故选：A【点睛】本题考查了空间向量的数量积的运算，若空间非零向量的数量积为0，则这两个向量必然互相垂直，这是解题的关键5与圆(x2)2y22相切，且在x轴与y轴上的截距相等的直线条数是()A1B2C3D4【答案】C【解析】分类讨论当截距为0与不为0两种情况下切线方程求法利用点到直线距离公式，求得圆心到直线距离等于半径，可求得参数值【详解】当在x轴与y轴上的截距为0时，设切线方程为 所以圆心到直线的距离 可解得 ，所以切线方程为 当在x轴与y轴上的截距不为0时，设切线方程为 所以，解得 或 （舍），即切线方程为所以共有3条切线方程所以选C【点睛】本题考查了点到直线距离的简单应用，直线与圆的位置关系，属于基础题6给出下列两个命题，命题“”是“”的充分不必要条件；命题q：函数是奇函数，则下列命题是真命题的是（ ）ABCD【答案】C【解析】试题分析：可知，命题p为假命题，命题q均为真命题，所以为真命题，故选C【考点】命题的真假性判断7从点射出的光线经过直线反射后的反射光线射到点上，则该束光线经过的路程是（ ）ABCD2【答案】A【解析】由题意可得，点关于直线的对称点在反射光线上，可得光线从点到点所经过的最短路程是线段，计算求得结果【详解】由题意可得，设点关于直线的对称点，所以，所以点在反射光线上，故光线从到所经过的最短路程是线段， 故选：A【点睛】本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标，反射定理的应用，属于基础题8已知双曲线E：1，直线l交双曲线于A，B两点，若线段AB的中点坐标为，则直线l的方程为（ ）A4xy10B2xy0C2x8y70Dx4y30【答案】C【解析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入双曲线方程后相减得到直线的斜率【详解】解：依题意，设点A（x1，y1），B（x2，y2），则有两式相减得，即.又线段AB的中点坐标是，因此x1x21，y1y2（1）22，所以，即直线AB的斜率为，直线l的方程为y1，即2x8y70.故选：C【点睛】本题考查直线与双曲线相交问题，由于已知弦中点坐标，因此用“点差法”可求得直线的斜率9设F1、F2是双曲线的左右焦点，若双曲线上存在一点A使F1AF2=90，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】B【解析】因为，根据双曲线的几何定义可得，所以在中，因为，所以，即，所以，则，故选B10已知点若点在函数的图象上，则使得的面积为2的点的个数为( )A4B3C2D1【答案】A【解析】试题分析：直线方程为即设点，点到直线的距离为，因为，由面积为可得即，解得或或所以点的个数有4个故A正确【考点】1直线方程；2点到线的距离11已知正四棱柱中，则CD与平面所成角的正弦值等于（ ）ABCD【答案】A【解析】试题分析：设，面积为【考点】线面角12已知椭圆（），为椭圆上的两点，线段的垂直平分线交轴于点，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】设，的坐标分别为 和因线段的垂直平分线与轴相交，故不平行于轴，即又交点为，故把点坐标代入，同时把，代入椭圆方程，最后联立方程即可得到关于和的关系式，最后根据和的范围确定的范围，再根据椭圆的性质即可求出离心率【详解】设，的坐标分别为 和因线段的垂直平分线与轴相交，故不平行于轴，即又交点为，故，即 ，在椭圆上， 将上式代入，得 ，可得，且， ，所以椭圆的离心率的取值范围是故选：C.【点睛】本小题考查椭圆性质、直线方程等知识，以及综合分析能力，属于难题二、填空题13已知命题：（，且）是增函数；命题：对任意的，都有成立，若命题为真题，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】先假设命题是真命题，得；再假设命题是真命题，得；再根据命题为真题，可得命题均为真，由此即可求出结果.【详解】若命题是真命题，则；若命题是真命题，则；又命题为真题，所以；故答案为：.【点睛】本题考查了指数函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题14已知p：(xm)23(xm)是q：x23x43(xm)变形，得(xm)(xm3)0，解得xm3或xm；由命题q中的不等式x23x40变形，得(x1)(x4)0，解得4x1，因为命题p是命题q的必要不充分条件，所以m34或m1，解得m7或m1.所以m的取值范围为m|m1或m7点睛：本题考查必要不充分判断及应用，解得中对于充要条件判定问题与应用中若 ，则是的充分条件，若 ，则是的必要条件，若，则是的充要条件；从集合的角度看，若 ，则是的充分条件，若，则是的必要条件，若，则是的充要条件，若是 的真子集，则是的充分不必要条件，若是的真子集，则是的必要不充分条件，本题解答中要注意命题的否定的书写是本题的一个易错点15已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆的内部，则椭圆离心率的取值范围是_【答案】【解析】设椭圆的方程为，根据题意可得点在以为直径的圆上运动且这个圆上的点都在椭圆内部由此建立、的不等式，解出再利用离心率的公式加以计算，可得此椭圆离心率的取值范围【详解】解：设椭圆的方程为，焦点为、，如图所示若点满足，则，可得点在以为直径的圆上运动，满足的点总在椭圆内部，以为直径的圆是椭圆内部的一个圆，即椭圆短轴的端点在椭圆内由此可得，即，解之得因此椭圆的离心率，椭圆离心率的取值范围是故答案为：【点睛】本题给出椭圆满足的条件，求椭圆的离心率的范围着重考查了向量数量积的运算性质、椭圆的标准方程与简单性质等知识，属于中档题16已知是双曲线：的右焦点.若是的左支上一点，是轴上一点，则面积的最小值为_.【答案】【解析】先求出双曲线的焦点，直线的方程以及的长；设直线与双曲线相切，且切点为左支上一点，联立双曲线方程，消去，由判别式为，求得，再由平行直线的距离公式可得三角形的面积的最小值【详解】双曲线：的右焦点为， 由，可得直线的方程为 ， 设直线与双曲线相切，且切点为左支上一点， 联立 ，可得 ， 由 ， 解得（4舍去）， 可得到直线的距离为 ， 即有的面积的最小值为 故答案为：【点睛】本题考查三角形的面积的最小值的求法，注意运用联立直线方程和双曲线方程，运用判别式为0，考查化简整理的运算能力，属于中档题三、解答题17给定实数 t，已知命题 p：函数 有零点；命题 q： x1，) 41.()当 t1 时，判断命题 q 的真假；()若 pq 为假命题，求 t 的取值范围【答案】（1）命题 q 为真命题（2）.【解析】(1) t1 时，,进而得到结果；（2）若 pq 为假命题，则 p，q 都是假命题，当 p 为假命题时，40 ，q 为真命题时，1，即 410，取补集即可得到q 为假命题时， ，最终两者取交集.【详解】()当 t1 时，3 在1，)上恒成立，故命题 q 为真命题 ()若 pq 为假命题，则 p，q 都是假命题 当 p 为假命题时， 40，解得1t1； 当 q 为真命题时，41，即10，解得 t或 t当 q 为假命题时， t 的取值范围是 .【点睛】（1）由简单命题和逻辑连接词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假假若p且q真，则p 真，q也真；若p或q真，则p，q至少有一个真；若p且q假，则p，q至少有一个假（2）可把“p或q”为真命题转化为并集的运算；把“p且q”为真命题转化为交集的运算18如图，是边长为2的正三角形.若，平面，平面平面，且.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）取的中点，连接，由平面平面，得平面，再证即可证明（2）证明平面，再根据面面垂直的判定定理从而进行证明【详解】（1）取的中点，连接，因为，且，.所以，.又因为平面平面，所以平面，又平面，所以 又因为平面，平面，所以平面.（2）连接，由（1）知，又，所以四边形是平行四边形，所以.又是正三角形，为的中点，因为平面平面，所以平面，所以平面.又平面，所以.因为，所以平面.因为平面，所以平面平面.【点睛】本题考查了线面平行的证明，线面垂直，面面垂直的判定定理，考查空间想象和推理能力，熟记定理是关键，是一道中档题19如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABAD，ADBC，APABAD1（1）若直线PB与CD所成角的大小为求BC的长；（2）求二面角BPDA的余弦值【答案】(1) BC的长为2;(2)二面角的余弦值为.【解析】【详解】试题分析：（1）以为单位正交基底，建立空间直角坐标系设，则，利用空间向量夹角余弦公式列方程求解即可；（2）分别求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.试题解析：解：（1）以 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz因为APABAD1，所以A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)设C(1，y，0)，则(1，0，1)，(1，1y，0) 因为直线PB与CD所成角大小为，所以|cos，| | ，即，解得y2或y0（舍），所以C(1，2，0)，所以BC的长为2 （2）设平面PBD的一个法向量为(x，y，z)因为(1，0，1)，(0，1，1)，则即 令x1，则y1，z1，所以(1，1，1) 因为平面PAD的一个法向量为(1，0，0)，所以cos， 所以，由图可知二面角BPDA的余弦值为20已知椭圆 的左右焦点分别为和，离心率，连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设A，B是直线上的不同两点，若，求的最小值【答案】(1) (2)【解析】（1）由题意列出关于 的方程，求解即可写出椭圆的标准方程.（2）设的坐标，由可得坐标之间的关系，根据距离公式写出距离后利用基本不等式求最值.【详解】（1）由题意得 ，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）由（1）知：，设直线上的不同两点的坐标分别为，则,由，得，即，不妨设，则当时取等号.所以的最小值是.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，数量积的运算，均值不等式，属于中档题.21如图所示，抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，点，均在抛物线上（1）写出该抛物线的方程及其准线方程；（2）当与的斜率存在且倾斜角互补时，求的值及直线的斜率【答案】(1)抛物线的方程是, 准线方程是；（2）1【解析】试题分析：（I）设出抛物线的方程，把点P代入抛物线求得p则抛物线的方程可得，进而求得抛物线的准线方程（2）设直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，则可分别表示和，根据倾斜角互补可知，进而求得的值，把A，B代入抛物线方程两式相减后即可求得直线AB的斜率试题解析：（I）由已知条件，可设抛物线的方程为因为点在抛物线上,所以，得. 2分故所求抛物线的方程是, 准线方程是. 4分（2）设直线的方程为，即：，代入，消去得：. 5分设，由韦达定理得：，即：. 7分将换成，得，从而得：， 9分直线的斜率. 12分.【考点】抛物线的应用22已知椭圆（），以椭圆内一点为中点作弦，设线段的中垂线与椭圆相交于， 两点