《双曲线》知识点及配套练习

1 双曲线双曲线 知识点及配套练习知识点及配套练习 知识点知识点 1 1 双曲线定义 双曲线定义 平面内一动点到两个定点 的距离的差的绝对值等于定长 即P 1 F 2 F2a 12 2PFPFa 若 则点的轨迹叫做双曲线 为此双曲线的焦点 12 2aFF P 1 F 2 F 若 则点的轨迹是以 为端点的两条射线 12 2aFF P 1 F 2 F 若 则点的轨迹不存在 12 2aFF P 双曲线的标准方程 双曲线的标准方程 1 两焦点在轴上时 方程为 x 22 22 1 xy ab 0 0ab 焦点坐标为 其中 1 0 Fc 2 0 F c 222 cab 2 两焦点在轴上时 方程为 y 22 22 1 yx ab 0 0ab 焦点坐标为 其中 1 0 Fc 2 0 Fc 222 cab 双曲线方程的一般形式 双曲线方程的一般形式 22 1AxBy 0AB 题型题型 1 1 直接双曲线利用定义 直接双曲线利用定义 1 动点到定点的距离比它到定点的距离小 则点的轨迹是 P 1 1 0 F 2 3 0 F2P A 双曲线 B 双曲线一支 C 一条射线 D 两条射线 2 已知 动点满足 则点的轨迹是 1 0 3 F 2 0 3 FP 12 4PFPF P A 双曲线 B 与对应的双曲线下支 C 与对应的双曲线上支 D 两条射线 1 F 2 F 3 双曲线上一点到一个焦点距离为 则它到另一个焦点距离为 22 1 259 xy P12 4 是双曲线上一点 是双曲线的两个焦点 且 则 P1 3664 22 yx 1 F 2 F17 1 PF 2 PF 5 已知两圆 动圆与两圆 都相切 则动圆圆 1 C 22 4 2xy 2 C 22 4 2xy M 1 C 2 C 心的轨迹方程是 M A B C D 或0 x 22 1 214 xy 2x 22 1 214 xy 22 1 214 xy 0 x 2 题型题型 2 2 强化双曲线标准方程 强化双曲线标准方程 1 已知方程中 则方程表示的曲线是 22 axayb 0ab A 焦点在轴上的双曲线 B 焦点在轴上的椭圆 xy C 焦点在轴上的椭圆 D 焦点在轴上的双曲线xy 2 若方程表示焦点在轴上的双曲线 则实数的取值范围是 22 1 21 xy mm ym 3 已知双曲线的实半轴 半焦距 且焦点在轴上 则它的标准方程是 3a 5c y 4 已知双曲线的一个焦点为 则实数的值是 22 82kxky 3 0 2 k 5 双曲线 的焦点坐标是 22 1 4 xy k 0k 6 已知椭圆与双曲线的焦点相同 则实数 22 2 1 4 xy k 22 1 2 xy k k 7 判断方程 所表示的曲线 22 1 51 xy mm 1 5m 题型题型 3 3 利用待定系数法求双曲线方程 利用待定系数法求双曲线方程 1 焦点在轴上 焦距为 且过点的双曲线的标准方程是 y2 3 0 1 2 设双曲线与椭圆有共同焦点 且有一个交点的纵坐标为 求双曲线方程 22 1 2736 xy 4 3 4 已知双曲线焦点在同一坐标轴上且关于原点对称 点和点在双曲线上 3 2 7 P 6 2 7 Q 求双曲线的方程 题型题型 4 4 定义和方程的应用 定义和方程的应用 1 双曲线方程的左右焦点分别为 直线 过点交双曲线的左支于 两点 且 22 1 6436 xy 1 F 2 Fl 1 FAB 则的周长是 ABm 2 ABF 2 已知椭圆与双曲线 是它们的焦点 是椭圆与双曲线的一个交点 22 1 259 xy 22 1 97 xy 1 F 2 FP 则的大小是 12 FPF 3 已知 是双曲线的两个焦点 点在双曲线上且满足 则的 1 F 2 F1 4 2 2 y x P 90 21 PFF 21PF F 面积为 4 已知双曲线的左 右焦点 是双曲线上的一点 若 则 22 1 916 xy 1 F 2 FP 12 32PFPF 12 FPF 5 为双曲线1 2 2 2 2 b y a x 上的一点 为一个焦点 以为直径的圆与 222 ayx 的位置关系是PFPF 6 设 是双曲线的两个焦点 点在双曲线上且 求的面积 1 F 2 F 2 2 1 4 x y P 12 120FPF 12 PFF 4 知识点知识点 2 2 双曲线的渐近线双曲线的渐近线 1 焦点在轴上的 其渐近线方程为 x 22 22 1 xy ab 0 0ab b yx a 2 焦点在轴上的 其渐近线方程为 y 22 22 1 yx ab 0 0ab a yx b 相同渐近线的双曲线 相同渐近线的双曲线 与 22 22 1 xy ab 0 0ab 22 22 xy k ab 0 0ab 0k 相同焦点的双曲线 相同焦点的双曲线 与 22 22 1 xy ab 0 0ab 22 22 1 xy akbk 0 0ab 共轭双曲线 共轭双曲线 双曲线与双曲线 22 22 1 xy ab 22 22 1 xy ab 0 0ab 等轴双曲线 等轴双曲线 其渐近线方程为 22 22 1 xy aa 0a 0 xy 题型题型 5 5 利用双曲线的渐近线方程求双曲线方程 利用双曲线的渐近线方程求双曲线方程 若双曲线的渐近线方程为 不同时为 0mxny m n0 则可设此双曲线方程为 其中不等于零的待定常数 22 mxnyk k 1 双曲线的虚轴长为 一条渐近线方程为 则双曲线的标准方程为 630 xy 2 与双曲线有共同渐近线 且过的双曲线的标准方程为 2 2 1 4 y x 2 2 M 3 与双曲线有共同渐近线 且焦距为的双曲线的标准方程是 22 1 53 xy 8 4 已知双曲线的渐近线为 焦点为椭圆的一对顶点 则其方程为 340 xy 22 1 105 xy 题型题型 6 6 双曲线的渐近线的应用 双曲线的渐近线的应用 1 双曲线的两条渐近线的夹角大小为 22 916144xy 2 以双曲线的右焦点为圆心 且与渐近线相切的圆的方程为 22 169144xy 3 已知双曲线的右焦点为 若过点的直线与双曲线的右支有且只有一个交点 则此直1 412 22 yx FF 线斜率的取值范围是 A B C D 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 5 4 已知双曲线 为上的任意一点 1 求证 点到双曲线的两条渐近线的距 22 1 41 xy C PCPC 离 的乘积是一个常数 2 设点的坐标为 求的最小值 A 3 0 PA 知识点知识点 3 3 直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系 与双曲线有两个公共点 与双曲线只有一个公共点 与双曲线没有公共点 直线与双曲线的位置关系的判断 直线与双曲线的位置关系的判断 设直线 双曲线 把直线方程代入双曲线 0 mmkxyl 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x C 方程中 整理得 22222222 2 0ba kxkma xamb 1 直线与双曲线相交 若且 方程有两个不等实根 则直线与双曲线有两个公共点 a 222 0ba k 0 若 则方程为一次方程 直线与双曲线只有一个公共点 这时直线与渐近线平行 b 222 0ba k 2 直线与双曲线相切 若且 方程有两个相等的实根 这时直线与双曲线只有一个公共点 222 0ba k 0 3 直线与双曲线相离 若且 方程没有实数根 则直线与双曲线没有公共点 222 0ba k 0 直线与双曲线有两个不同的公共点 这时所得的弦长计算公式 直线与双曲线有两个不同的公共点 这时所得的弦长计算公式 直线与 双曲线交于 两点 0 mmkxyl 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x C 11 yxA 22 yxB 则 2 1212 2 1 11ABkxxyy k 6 题型题型 7 7 研究直线与双曲线的交点个数 研究直线与双曲线的交点个数 1 过点可以作 条直线与双曲线有且只有一个公共点 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 0 2 A 2 2 1 4 y x 2 过点且与双曲线只有一个交点的直线有 4 4 P 22 1 169 xy A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条 3 已知直线与双曲线 试讨论实数的取值范围 使得直线与双曲线 1ykx 22 4xy k 1 没有公共点 2 有两个公共点 3 只有一个公共点 4 交于异支两点 5 交左支两 点 题型题型 8 8 直线与双曲线相交所得的弦长问题 直线与双曲线相交所得的弦长问题 1 过双曲线的右焦点作直线 交曲线于 A B 两点 若 则这样的直线存在 022 22 yxl4 AB A 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 0 条 B 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1 条 C 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 条 D 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 3 条 2 过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线交双曲线于 两点 求 1 63 22 yx C 1 F30 ABAB 3 斜率为 2 的直线 被双曲线截得的弦长为 2 求直线 的方程 l 22 1 54 xy 5l 4 双曲线的中心在原点 焦点在轴上 过双曲线右焦点且斜率为的直线交双曲线于 两点 x 15 5 PQ 若 且 求双曲线的方程 OPOQ 4PQ 7 题型题型 9 9 直线与双曲线位置关系的综合应用 直线与双曲线位置关系的综合应用 1 已知双曲线 过点能否作一条直线 使得它与双曲线交于 两点且以为1 2 2 2 y x 1 1 AlPQA