安徽省皖江名校联盟2020届高三下学期第五次联考 数学（理）试题 （PDF版）

E 020 数学 理科 试卷 第 1 页 共 4 页 姓名座位号 在此卷上答题无效 数 学 理科 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 第 卷第 1 至第 2 页 第 卷第 2 至第 4 页 全卷满分 150 分 考试时间 120 分钟 考生注意事项 1 答题前 考生务必在试题卷 答题卡规定的地方填写自己的姓名 座位号 2 答第 卷时 每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用 橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 3 答第 卷时 必须使用 0 5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上 书写 要求字体工整 笔迹清晰 作 图题可用铅笔在答题卡 规定位置绘出 确认后再用 0 5 毫米的黑色墨水签字笔描清楚 必须在 题号所指示的答题区域作答 超出答题区域书写的答案无效 在试题卷 草稿纸上答题无效 4 考试结束 务必将试题卷和答题卡一并上交 第 卷 选择题 共 60 分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目 要求的 1 已知集合 A y y 3x 3 x 0 B x y 3 x 则 A B A 3 2 B 2 3 C 3 3 D 3 2 已知 i 是虚数单位 且 z 2 i 1 i i 5 且 z 的共轭复数为 z 则 z z A 2B 5C 2D 1 2 3 已知函数 f x log3 x 2 x 2 f x 13 x 2 则 f 2 A 1B 2C 1 2 D 3 4 在数学中 泰勒级数用无限项连加式 级数来表示一个函数 包括正弦 余弦 正切三角函数等等 其中泰勒级数是以于 1715 年发表了泰勒公式的英国数学家布鲁克 泰勒 Sir Brook Taylor 的名字来 命名的 1715 年 泰勒提出了一个常用的方法来构建这一系列级数并适用于所有函数 这就是后来被 人们所熟知的泰勒级数 并建立了如下指数函数公式 ex n 0 xn n x0 0 x1 1 x2 2 x3 3 xn n 其中 x R n N n 1 2 3 4 n 例如 0 1 1 1 2 2 3 6 试用上述公式估计 e 1 2 的近 似值为 精确到 0 001 A 1 601 B 1 642 C 1 648 D 1 647 5 对于不重合的直线 m l 和平面 下列可以推出 成立的是 A m l m l B m l l m C m l m l D m l l m 6 已知单位向量 a 满足等式 2 a b a 2b 13 则 a 与 b 的夹角为 A 30 B 60 C 90 D 120 E 020 数学 理科 试卷 第 2 页 共 4 页 7 已知 f x 是偶函数 且 x 0 时 f x 1 x 1 2 x2 若 a f lg5 b f 1 2 c f ln 1 7 则 a b c 的大小关 系正确的是 A c a bB b c aC a b cD a c0 的最小正周期为 把 f x 的图象向右平移 0 0 b 0 的左 右焦点分别为 F1 F2 其右支上存在一点 M 使得 MF 1 MF2 0 直线 MF 2平行于双曲线的其中一条渐近线 则双曲线 C 的离心率为 A 2B 3C 2 D 5 第 卷 注意事项 第 卷共 3 页 须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答 若在试题卷上作答 答案无效 本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 题 第 21 题为必考题 每个试题考生都必须作答 第 22 题 第 23 题为选考题 考生根据要求作答 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 请把正确的答案填在横线上 13 2019 年 习近平同志在福建 浙江等地调研期间 提出了 绿水青山就是金山银山 的科学论断 将绿 色发展理念贯穿于治国理政思想之中 为了响应中央号召 某日深圳环保局随机抽查了本市市区汽 车尾气排放污染物 x 单位 ppm 与当天私家车路上行驶的时间 y 单位 小时 之间的关系 从某主 干路随机抽取 10 辆私家车 根据测量数据的散点图可以看出 x 与 y 之间具有线性相关关系 其回归 直线方程为 y 0 3x 0 4 若该 10 辆车中有一辆私家车的尾气排放污染物为 6 单位 ppm 据此估 计该私家车行驶的时间为小时 14 已知正四棱柱 ABCD A1B1C1D1的底面边长 AB 6 2 侧棱 AA1 1 则 BD1与 AA1所成的角为 15 把 x 2 1 x 8 n n N 且 1 n 4 的展开式中存在常数项 则展开式的二项式系数最大的一项系数 为 16 已知函数 f x ex 2x 1 g x k x 1 k 1 若 f x g x 在 x R 上仅有 3 个整数解 则 k 的 取值范围是 E 020 数学 理科 试卷 第 3 页 共 4 页 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 解答应写在答题卡 上的指定区域内 17 本小题满分 12 分 已知 an 是各项均为正数 前 n 项和为 Sn Sn an b 若 a2a4 1 4 求 an 的通项公式 若 bn 1 n log 2an 求 bn 的前 2n 1 项和 T2n 1 A B C D M N 第 18 题图 18 本小题满分 12 分 在如图所示的几何体中 底面为平行四边形 ABCD 侧面 MAD 是正三角形 CD MD 面 NMAB 面 NMDC MN AD 2CD 4 AC 2 5 MN 1 求证 MN MA 求二面角 M BD N 的余弦值 19 本小题满分 12 分 已知 O 为坐标原点 若斜率为 2 的直线 l 过点 G 0 1 与抛物线 C y2 2px 交于 A B 两点 OA OB 7 4 求 p 的值 若过点 M 2 0 的直线 l0与抛物线 C 相交于 P Q 两点 求证 1 PM 2 1 QM 2为定值 50 60 70 80 90 100 O 0 008 0 016 0 024 0 036 第 20 题图 20 本小题满分 12 分 2019 年世界海洋日暨全国海洋宣传日主场活动在海南三亚举行 此次活动主题为 珍惜海洋资源保护海洋生物多样性 旨在进一 步提高公众对节约利用海洋资源 保护海洋生物多样性的认识 为 保护蓝色家园做出贡献 联合国于第 63 届联合国大会上将每年的 6 月 8 日确定为 世界海洋日 为了响应世界海洋日的活动 2019 年 12 月北京某高校行政主管部门从该大学随机抽取部分大学生 进行一次海洋知识测试 并根据被测验学生的成绩 得分都在区 间 50 100 内 绘制成如图所示的频率分布直方图 试求被测验大学生得分的中位数 保留到整数 若学生的得分成绩不低于80 分的认为是 成绩优秀 现在从认为 成绩优秀 的学生中根据 原有分组按照分层抽样的方法抽取 10 人进行奖励 最后再从这 10 人中随机选取 3 人作为优 秀代表发言 求所抽取的 3 人不属于同一组的概率 记这 3 人中 为测试成绩在 90 100 内的人数 求 的分布列和数学期望 E 020 数学 理科 试卷 第 4 页 共 4 页 21 本小题满分 12 分 已知函数 f x lnx kx 2 讨论函数 f x 的单调性 若函数 g x ex ax x 2 当 k 1 且 0f x 请考生从第 22 23 题中任选一题做答 并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑 按 所涂题号进行评分 多涂 多答 按所涂的首题进行评分 不涂 按本选考题的首题进行评分 22 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 已知直线 l 的参数方程为 x 1 tcos y 1 tsin 其中 t 为参数 以原点 O 为极点 x 轴的正半轴为极轴建立 极坐标系 曲线 C 的极坐标方程为 2sin 若点 P x y 在直线 l 上 且x y 2 x y 3 求直线 l 的斜率 若 4 求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值 23 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 已知 f x x 1 ax 2a 其中 a R 若 a 1 求不等式 f x 且 1 lg51 lnln71 7 ln7 ln7 cff 故c ab 8 解析 2 3sin 6 f xx 由最小正周期可得 2 再由平移可得 2 3sin 22 6 g xx 由 3 3 35 g 可得 3 3 2 3sin 2 25 即 3 cos2 10 答案选 A 9 解析 由条件可知23 1 31 25 1 53 nn annbnn 215 1 1513 n cnn 根据解 析式分别求出选项数值可知 仅有 C 项 1046 137ca 符合题意 答案选 C 10 解析 根据已知条件 当0 x 5 0 x x eBD1 错 54 50 05 x fxxxexx 或 根据 fx 解析式可知在 x 0 处的切线应该与 x 轴平行 故排除选项 A 答案为 C 11 解析 我们可以将以 A 为顶点的三棱锥 A BCD 其侧棱两两互相垂直的三棱锥补形成为一 个长方体 将长方体的体对角线求出来就是外接球的直径 令 AB x AC y AD z 根据三棱 x y l M F2F1O 锥外接球的表面积为8 利用球的面积公式求得球半径为 2R 列式为 222 8xyz 111 222 Syzxyxz 侧面积 由于 222222 2 4 0 xyzSxyyzxz 所以416S 故4S 故答案为 4 12 解析 根据 1 2 0MFMF 12 MFMF 不妨设直线 2 MF 平行于双曲线的渐近线 0l bxay 如下面的图形 可知l的方程为 b yx a 且 1 MFl 从而l是线段 1 MF的垂 直平分线 且直线 1 MF的方程为 a yxc b 设 1 MF与l相交 于点 N x y 由 a yxc b b yx a 得 a x c ab y c 即 a ab N cc 又 1 0 Fc 由中点公式 得 2 22 aab M cc 将点M的坐标代入 22 22 1 xy ab 中 得 2 22 22 22 1 aab c cc ab 化简 得 22 5ca 即离心率 5 c e a 故选 D 13 答案 1 4 解析 由 0 30 4yx 取6x 得 0 3 60 41 4y 估计该私 家车行驶的时间为 1 4 小时 故答案为 1 4 14 答案 60o 解析 由条件可知易求长方体的对角线 即球的直径 2 11 BBAA 11 B BD 即为 1 BD 与 1 AA所成 且 1 11 1 1 cos 2 BB B BD BD 11 60B BD 故异面直线所成的角60o 15 答案 5 2 解析 8 1 2 n x x 的展开式中第1r 项为 8 18 11 C 2 rn rr rn Tx x 8 3 4 22 8 1 C 1 2 n r nr rr n x 由 3 40 22 nr 可得83 0 1 2 3 8 nr rn 由条件可知满足条件 的 只 有2 2nr 则 6 11 2 x x 的 展 开 式 中 二 项 式 系 数 的 最 大 项 为 4 T 其 系 数 为 3 33 6 15 C 1 22 16 答 案 22 75 43 k ee 解 析 根 据 已 知 条 件 f xg x 可 得 1 0f xg xg xk xk 图像要在直线的下方 下面研究 直线过定点 1 0 容易判 断 00fg 根据 f x的图像单调性可以判断若 f xg x 在xR 仅有 3 个整数解 则除 0 外 还有 两个解应该是 1 2 从而列式满足的条件为 3 22 2 3734 75 43 2523 fegk k ee fegk 17 解析 1 根据已知条件可知 Sn an b 从而有 1 2 nn sab n 作差可得 1 1 1 2 2 2 n nn n a aan a 4 分 故有 n a是各项均为正数的等比数列 24 1 4 a a 2 3 1 4 a 由 n a是各项均为正数可知 3 1 2 a 故 5 3 1 2 a q a 故 32 3 1 2 nn n aa q 8 分 2 由条件可得 1 2 1 log 1 2 1 2 nnn nn bann 21 10 12 34 23 22 21 n Tnnn 211nnn 12 分 18 解析 1 由AD 2CD 4 AC 2 5 可知 AD 4 CD 2 ACDRt 为 从而可知 四边形ABCD为矩形 又CDMD ADMD D 故有平面MAD 平面ABCD 平 面MAD 平面ABCDAD AB 平面ABCD AB 平面MAD AB CD CD 平面MCD AB 平面MCD AB平面MCD 而平面MAB 平面MCDMN MN AB MN 平面MAD 又MA 平面MAD MNMA 6 分 2 如图 以AD的中点为原点 建立空间直角坐标系Oxyz 则 2 2 0 2 0 0 0 0 2 3 0 1 2 3 BDMN 4 2 0 2 2 2 3 BDBM 8 分 设平面MBD的一个法向量为 1111 x y z n 由 1 1 0 0 BD BM n n 可得 11 111 420 222 30 xy xyz 令 1 3x 可得 1 3 6 3 n 同理可得 平面NBD的一个法向量为 2 1 2 0 n 则 12 12 12 1515 cos 45 4 3 n n n n nn 即二面角MBDN 的余弦值为 15 4 12 分 19 解析 1 根据条件可得直线l的方程为21yx 由 2 2 21 ypx yx 可得 2 4 42 10 xp x 设 1122 A x yB xy 则 1212 21 24 p xxx x 将点 A B 代入直线方程中可得 1212 2 2yyxxp 根据点 A B 在抛物线上可得 1212 22y ypxpxp 则 1212 17 2 44 OA OBx xy yPP 6 分 2 设点 1 P x 2 y 2 Q x 2 y 显然直线l的斜率不为 0 直线l的方程为2xmy 联立方程 2 2 4 xmy yx 整理可得 2 480ymy 2 16 2 0m 12 4yym 12 8y y 2 1 1 PMmy 2 2 1 QMmy 22222 12 222222222222 1212 1111161622221 1 1 1 64 1 8 1 884 yymmm PMQMmymymy ymmm 22 11 PMQM 为定值 12 分 20 解析 1 由频率分步直方图可知 第一组的频率为 0 08 第二组的频率为 0 16 第三组的频率为 0 36 由于0 080 160 240 5 而0 080 160 360 60 5 这组数据的中位数在第三组 即 0 50 24 701077 0 36 被测验大学生得分的中位数约为 77 分 4 分 2 认为 成绩优秀 的被测验学生共有两组 其频率分布为0 24 0 16 根据分层抽样的方法可知 两组抽取的人数分别为 6 人 4 人 从 10 人中任选 3 人 有 3 10 C种不同情况 抽取的 3 人不属于同一组的情况有 2112 6464 C CC C 故所抽取的 3 人不属于同一组的概率为 2112 6464 3 10 C CC C4 C5 P 由条件可得 的取值可能有 0 1 2 3 且 3 6 3 10 C1 0 C6 P 21 64 3 10 C C1 1 C2 P 12 64 3 10 C C3 2 C10 P 3 4 3 10 C1 3 C30 P 的分布列为 0 1 2 3 P 1 6 1 2 3 10 1 30 的数学期望为 1131 01231 2 621030 E 12 分 21 解析 函数定义域为 0 11 kx fxk xx 讨论 当 0 0 0 kfxf x 在 递增 当 111 0 0 0 0 0 kfxxfxxfxx kkk 故根据由 故此时 11 0 f x kk 增区间为 减区间为 综上所述 0 0 kf x 在 递增 当 0k 即证 x eaxlnx 当01x 0axlnx 显然成立 当1x 时 0 xlnx 结合已知 2 1 0 2 ae 可得 2