2012年普通高等学校招生全国统一考试——重庆文科数学

2012 年普通高等学校招生统一考试 重庆卷 数学试题卷 文史类 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 1 命题 若 p 则 q 的逆命题是 A 若 q 则 p B 若p 则 q C 若则 D 若 p 则q p q 2 不等式 的解集是为 1 0 2 x x A B C 2 1 D 1 2 2 1 答案 C 解析 1 0 1 2 021 2 x xxx x 考点定位 本题考查解分式不等式时 利用等价变形转化为整式不等式解 3 设 A B 为直线与圆 的两个交点 则yx 22 1xy AB A 1 B C D 223 答案 D 解析 直线过圆的圆心 则2yx 22 1xy 0 0 C AB 考点定位 本题考查圆的性质 属于基础题 4 的展开式中的系数为 5 1 3 x 3 x A 270 B 90 C 90 D 270 5 sin47sin17 cos30 cos17 A B C D 3 2 1 2 1 2 3 2 答案 C 解析 sin47sin17 cos30sin 3017 sin17 cos30 cos17cos17 sin30 cos17cos30 sin17sin17 cos30sin30 cos171 sin30 cos17cos172 考点定位 本题考查三角恒等变化 其关键是利用473017 6 设 向量且 则xR 1 1 2 axb ab ab A B C D 5102 510 答案 B 7 已知 则 a b c 的大小关系 2 2 log 3log3a 2 2 log 9log3b 3 log 2c 是 A B C D abc abc abc abc 答案 B 解析 2 2222 13 log 3log3log 3log 3log 3 22 a 则 2 2222 13 log 9log32log 3log 3log 3 22 b 2 3 22 log 21 log 2 log 3log 3 c abc 考点定位 本题考查对数函数运算 8 设函数在上可导 其导函数 且函数在处取得极小值 f xR fx f x2x 则函数的图象可能是 yxfx 答案 C 解析 由函数在处取得极小值可知 则 f x2x 2x 0fx 0 xfx 则时 时2x 0fx 20 x 0 xfx 0 x 0 xfx 考点定位 本题考查函数的图象 函数单调性与导数的关系 属于基础题 9 设四面体的六条棱的长分别为 1 1 1 1 和且长为的棱与长为的棱异2aa2 面 则的取值范围是a A B C D 0 2 0 3 1 2 1 3 答案 A 解析 2 22 1 22 BE BFBE 22ABBF 考点定位 本题考查棱锥的结构特征 考查空间 想象能力 极限思想的应用 是中档题 10 设函数集 2 43 32 x f xxxg x 合 0 MxR f g x 则为 2 NxR g x MN A B 0 1 C 1 1 D 1 1 答案 D 解析 由得则或即或 0f g x 2 4 30gxg x 1g x 3g x 321 x 323 x 所以或 由得即所以故1x 3 log 5x 2g x 322 x 34 x 3 log 4x 1 MN 二 填空题 本大题共 5 小题 每小题 5 分 共 25 分 把答案填在答题卡的相应位置 11 首项为 1 公比为 2 的等比数列的前 4 项和 4 S 答案 15 解析 4 4 1 2 15 1 2 S 考点定位 本题考查等比数列的前 n 项和公式 12 函数 为偶函数 则实数 4 f xxa x a 13 设 的内角 的对边分别为 且 ABCABC abc 1 cos 4 abC 1 2 则 sin B 答案 15 4 14 设为直线与双曲线 左支的交点 是左焦点 P 3 b yx a 22 22 1 0 0 xy ab ab 1 F 垂直于轴 则双曲线的离心率 1 PFxe 15 某艺校在一天的 6 节课中随机安排语文 数学 外语三门文化课和其它三门艺术课 各 1 节 则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔 1 节艺术课的概率为 用数 字作答 答案 1 5 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 本小题满分 13 分 小问 6 分 小问 7 分 已知为等差数列 且 n a 求数列的通项公式 记的前项和为 1324 8 12 aaaa n a n an n S 若成等比数列 求正整数的值 12 kk a a S k 答案 n a 2n6k 解析 设数列 的公差为 d 由题意知 解得 n a 1 1 228 2412 ad ad 1 2 2ad 所以 1 1 22 1 2 n aandnn 由 可得 因 成等比数列 1 22 1 22 n n aa nn n Snn 12 kk a a S 所以 从而 即 2 12kk aa S 2 2 2 2 3 kkk 2 560kk 解得 或 舍去 因此 6k 1k 6k 17 本小题满分 13 分 已知函数在处取得极值为 3 f xaxbxc 2x 16c 1 求 a b 的值 2 若有极大值 28 求在上的最大值 f x f x 3 3 答案 13 27 4 27 解析 因 故 由于 在点 3 f xaxbxc 2 3fxaxb f x2x 处取得极值 故有即 化简得解得 2 0 2 16 f fc 120 8216 ab abcc 120 48 ab ab 1 12 a b 由 知 3 12f xxxc 2 312fxx 令 得当时 故在上为 0fx 12 2 2xx 2 x 0fx f x 2 增函数 当 时 故在 上为减函数 2 2 x 0fx f x 2 2 当 时 故在 上为增函数 2 x 0fx f x 2 由此可知 在 处取得极大值 在 处取得极小 f x 1 2x 2 16fc f x 2 2x 值由题设条件知 得此时 2 16fc 1628c 12c 因此 上的最小值 3 921 3 93fcfc 2 164fc f x 3 3 为 2 4f 考点定位 本题主要考查函数的导数与极值 最值之间的关系 属于导数的应用 1 先对函数进行求导 根据 0 求出 a b 的值 1 根据 f x 2 0 f 2 16fc 函数 x3 3ax2 2bx 在 x 1 处有极小值 1 先求出函数中的参数 a b 的值 再令导数 f x 等于 0 求出极值点 判断极值点左右两侧导数的正负 当左正右负时有极大值 当左负 右正时有极小值 再代入原函数求出极大值和极小值 2 列表比较函数的极值与端点函 数值的大小 端点函数值与极大值中最大的为函数的最大值 端点函数值与极小值中最小 的为函数的最小值 18 本小题满分 13 分 小问 7 分 小问 6 分 甲 乙两人轮流投篮 每人每次投一球 约定甲先投且先投中者获胜 一直每人都已投球 3 次时投篮结束 设甲每次投篮投中的概率为 乙每次投篮投中的概率为 且各次投 1 3 1 2 篮互不影响 求乙获胜的概率 求投篮结束时乙只投了 2 个球的概率 答案 13 27 4 27 独立事件同时发生的概率计算公式知 112211223 p Dp A B A Bp A B A B A 112211223 p A p B P A P Bp A p B P A P Bp A 2222 212114 3232327 19 本小题满分 12 分 小问 5 分 小问 7 分 设函数 其中 在处取得最大值 2 其图 sin f xAx 0 0 A 6 x 象与轴的相邻两个交点的距离为 I 求的解析式 II 求函数 2 f x 的值域 42 6cossin1 6 xx g x f x 答案 6 77 5 1 44 2 因 且 22 31 cos1 cos 22 xx 2 cos 0 1 x 2 1 cos 2 x 故 的值域为 g x 77 5 1 44 2 20 本小题满分 12 分 小问 4 分 小问 8 分 已知直三棱柱 中 为的中点 111 ABCABC 4AB 3ACBC DAB 求异面直线和的距离 若 求二 1 CCAB 11 ABAC 面角的平面角的余弦值 11 ACDB 答案 1 3 解析 如答 20 图 1 因 AC BC D 为 AB 的中点 故 CD AB 又直三棱柱中 面 故 1 CC ABC 1 CDCC 所以异面直线 和 AB 的距离为 1 CC 22 CD 5BCBD 由故 面 从而 1 CD CD ABBB CD 11 A ABB 1 CDDA 故 为所求的二面角的平面角 1 CDDB 11 ADB 11 ACDB 因是在面上的射影 又已知 由三垂线定理的逆定理 1 AD 1 AC 11 A ABB 11C ABA 得从而 都与互余 因此 所 11D ABA 11 A AB 1 ADA 1 B AB 111 A ABADA 以 因此得 1 Rt A ADA 11 Rt B A AA 111 1 AAAB ADAA 2 111 8AAAD AB 从而 22 1111 2 3 2 3ADAAADB DAD 所以在中 由余弦定理得 11 ADBA 222 1111 11 11 1 cos 23 ADDBAB ADB AD DB 21 本小题满分 12 分 小问 5 分 小问 7 分 已知椭圆的中心为原点 长轴在 轴Ox 上 上顶点为 左 右焦点分别为A 线段 的中点分别为 12 F F 12 OF OF 且 是面积为 4 的直角 12 B B 12 AB B 三角形 求该椭圆的离心率和标准 方程 过 作直线交椭圆于 1 B 求 的面积 P Q 22 PBQB 2 PB Q 答案 1 2 20 x 2 4 y 16 10 9 12 OAB B 设 则 是上面方程的两根 因此 1122 P x yQ xy 12 y y 12 2 4 5 m yy m 又 所以 12 2 16 5 yy m 111222 2 2 B PxyB Pxy 1212 2 2 B P B Pxx 12 y y 1212 4 4 mymyy y 2 12 1 my y 12 4 16m yy 22 22 16 1 16 16