高中必修1必修4公式及知识要点大全-180312

1 高中数学高中数学 必修必修 1 常用公式及结论常用公式及结论 一 集合一 集合 1 含义与表示 含义与表示 1 集合中元素的特征 确定性 互异性 无序性 2 集合的分类 有限集 无限集 空集 3 集合的表示法 列举法 描述法 图示法 2 集合间的关系 集合间的关系 子集 对任意 都有 则称 A 是 B 的子集 记作 xA xB AB 真子集 若 A 是 B 的子集 且在 B 中至少存在一个元素不属于 A 则 A 是 B 的真子集 记作 AB 或 AB 集合相等 AB BA AB 3 元素与集合的关系 元素与集合的关系 属于 不属于 4 集合的运算 集合的运算 1 交集 由集合 A 和集合 B 中的公共元素组成的集合叫交集 记为AB 2 并集 由属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合叫并集 记为 AB 3 补集 在全集 U 中 由所有不属于集合 A 的元素组成的集合叫补集 记为 U C A 5 5 集合 集合 A A 中有中有 n n 个元素 个元素 12 n a aa A 的子集个数共有 个 真子集有 1 个 非空子集有 1 个 非空真子集有 2 个 2n2n2n2n 6 6 常用数集 常用数集 自然数集 N 正整数集 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 复数集 C N 7 7 集合的运算性质 集合的运算性质 性质一 BABBABAABA 性质二 ABABABAABA 吸收率 性质三 是全集 UUUAAUAAAA 性质四 AACCAAAAAA UU 反身性 性质五 ABBAABBA 交换律 2 性质六 CBACBACBACBA 结合律 性质七 分配率 CABACBA CABACBA 性质八 UACAACA UU 性质九 德摩根律 BCACBACBCACBAC UUUUUU 8 常用结论 常用结论 1 为任意集合 其中AA 为任意非空集合 其中AA 2 0 0 0 0 3 0 A 二 函数的奇偶性二 函数的奇偶性 1 定义 定义 奇函数f x f x 偶函数f x f x 注意定义域 首先要求定义域是 关于原点对称的对称区间 2 性质 性质 1 奇函数的图象关于原点成中心对称图形 偶函数的图象关于 y 轴成轴对称图形 2 如果一个函数的图象关于原点对称 那么这个函数是奇函数 如果一个函数的图象关于 y 轴对称 那么这个函数是偶函数 3 定义在 R 上的奇函数必过原点 即 f 0 0 4 奇函数在对称区间上单调性相同 偶函数在对称区间上单调性相反 5 无论 f x 是什么函数 f x 一定是偶函数 三 函数的单调性三 函数的单调性 1 定义 定义 对于定义域为 D 的函数 f x 若任意的 x1 x2 D 且 x1 x2 f x1 f x2 0 f x1 0 f x1 f x 2 f x 是减函数 注意 在抽象函数单调性的证明中 可以根据需要选择用 作差或作商比较 2 复合函数的单调性 复合函数的单调性 同增异减 3 奇 奇 偶函数单调性 偶函数单调性 奇函数在对称区间上单调性相同 偶函数在对称区间上单调性相反 3 四 函数的周期性四 函数的周期性 1 定义 定义 若函数 f x 满足 f x f x a 则 f x 是最小正周期为 a 的周期函数 2 性质 性质 1 f x f x nT 其中 n Z T 为最小正周期 2 或 则的周期 T 2a 0 1 xf xf axf 1 f xa f x 0 f x xf 五 函数的对称性五 函数的对称性 1 奇 奇 偶函数的对称性偶函数的对称性 奇函数的图象关于原点成中心对称图形 偶函数的图象关于 y 轴成轴对称图形 2 原函数和反函数 原函数和反函数 关于第 I III 象限的平分线对称 即 y x 3 一般的对称函数 一般的对称函数 1 定义 若函数 f x 满足 f a x f a x 则 f x 是关于直线 x a 对称的对称函数 2 性质 f a x f a x f x f 2a x f x 2a f x 六 二次函数六 二次函数 y ax2 bx c 的性质 的性质 0a 1 顶点坐标公式 顶点坐标公式 对称轴 对称轴 最大 小 值 最大 小 值 a bac a b 4 4 2 2 a b x 2 a bac 4 4 2 2 二次函数的解析式的三种形式 二次函数的解析式的三种形式 1 一般式 2 0 f xaxbxc a 2 顶点式 顶点为 h k 2 0 f xa xhk a 3 两根式 对称轴为 12 0 f xa xxxxa 2 21 xx x 七 指数与指数函数七 指数与指数函数 1 幂的运算法则 幂的运算法则 1 a m a n a m n 2 nmnm aaa 3 a m n a m n a n m 4 ab n a n b n 4 5 b 不为 0 6 a 0 1 a 0 n n n b a b a 7 a 不为 0 8 9 n n a a 1 mn m n aa mn m n a a 1 2 根式的性质 根式的性质 1 a 0 n n aa 2 当为奇数时 当为偶数时 n nn aa n 0 0 nn a a aa a a 3 常数与幂的互化公式 常数与幂的互化公式 k a ak log 4 指数函数 指数函数 y a x a 0 且且 a 1 的性质的性质 1 定义域 R 2 值域 0 3 图象过定点 0 1 1 a 4 当 a 1 时 函数为增 当 0 a 1 0 Y X 1 0 a 0 且且 a 1 的性质 的性质 1 定义域 0 2 值域 R 3 图象过定点 1 0 a 1 4 当 a 1 时 函数为增 当 0 a1 X 0 Y 1 0 a 1 0 a 1a 0 6 十一 十一 平均增长率的问题平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为 N 平均增长率为 则对于时间的总产值 有 pxy 1 xyNp 十二 函数的零点 十二 函数的零点 1 定义 定义 对于 把使的 X 叫的零点 yf x 0f x yf x 即的图象与 x 轴相交时的交点的横坐标 yf x 2 函数零点存在性定理 函数零点存在性定理 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线 并有 yf x a b 那么在区间内有零点 即存在 使得 c 就是零 0f af b yf x a b ca b 0f c 点 3 二分法求函数零点的步骤 二分法求函数零点的步骤 给定精确度 1 确定区间 验证 a b 0f af b 2 求的中点 a b 1 2 ab x 3 计算的值 若 则就是零点 1 f x 1 0f x 1 x 若 则零点 1 0f af x 01 xa x 若 则零点 1 0f xf b 01 xx b 4 判断是否达到精确度 若 则零点为或或内任一值 否则重复 2 到 ab ab a b 4 高中数学高中数学 必修必修 4 常用公式及结论常用公式及结论 基本三角函数基本三角函数 2 2 2 7 2 2 终边落在终边落在 x x 轴上的角的集合 轴上的角的集合 终边落在终边落在 y y 轴上的角的集合 轴上的角的集合 z 终边落在坐标轴上的角的集合 终边落在坐标轴上的角的集合 z 2 z 2 2 2 1 2 1 rrlS rl 弧度 度弧度 弧度 弧度度 180 180 1 180 1 2360 倒数关系 倒数关系 正六边形对角线上对应的三角函数之积为正六边形对角线上对应的三角函数之积为 1 1 1 1 1cottan SecCos CscSin 平方关系 平方关系 22 22 22 1 1 1tan CscCot CosSin Sec 乘积关系 乘积关系 顶点的三角函数等于相邻的点对应的函数乘积顶点的三角函数等于相邻的点对应的函数乘积 CosSintan 诱导公式诱导公式 终边相同的角的三角函数值相等 zk tan2tan zk 2 zk 2 k CoskCos SinkSin 轴对称关于与角角x tantan CosCos SinSin 轴对称关于与角角y tantan CosCos SinSin 关于原点对称与角角 tantan CosCos SinSin 对称关于与角角xy 2 cot 2 tan 2 2 SinCos CosSin cot 2 tan 2 2 SinCos CosSin 基本三角函数符号记基本三角函数符号记 忆 忆 一全 二正弦 三切 一全 二正弦 三切 四余弦四余弦 或者或者 一全正 二正弦 三两一全正 二正弦 三两 切 四余弦切 四余弦 三个倒立三角形上底边对应三角函数的平方何等与对三个倒立三角形上底边对应三角函数的平方何等与对 边对应的三角函数的平方边对应的三角函数的平方 8 上述的诱导公式记忆口诀 上述的诱导公式记忆口诀 奇变偶不变 符号看象限奇变偶不变 符号看象限 周期问题周期问题 2 T 0b 0 0A b 2 T 0 b 0 0A b T 0 0A T 0 0A 2 T 0 0A 2 T 0 0A xACosy xASiny xACosy xASiny xACosy xASiny T 0 0A cot T 0 0A tan T 0 0A cot T 0 0A tan xAy xAy xAy xAy 三角函数的性质三角函数的性质 性性 质质 xSiny xCosy 定义域定义域 R RR R 值值 域域 1 1 1 1 周期性周期性 2 2 奇偶性奇偶性奇函数奇函数偶函数偶函数 单调性单调性 减函数 增函数 2 3 2 2 2 2 2 2 2 zkkk zkkk 减函数 增函数 2 2 2 2 zkkk zkkk 对称中心对称中心 zkk 0 zkk 0 2 对称轴对称轴 zkkx 2 zkkx 9 图图 像像 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 y 8 6 4 22468 x O 2 2 2 3 2 2 3 2 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 y 8 6 4 22468 x O 23 2 2 3 2 2 2 性性 质质 xy tan xy cot 定义域定义域 zxx 2 zxx 值值 域域 R RR R 周期性周期性 奇偶性奇偶性奇函数奇函数奇函数奇函数 单调性单调性 增函数 2 2 zkkk 增函数 zkkk 对称中心对称中心 zkk 0 zkk 0 2 对称轴对称轴无无无无 图图 像像 15 10 551015 x 10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 y O 23 2 2 3 2 kxASinySinxy 变化为怎样由 振幅变化 左右伸缩变化 Sinxy ASinxy 左右平移变化 xASiny xASiny 上下平移变化 kxASiny 平面向量共线定理 一般地 对于两个向量平面向量共线定理 一般地 对于两个向量 如果有 0 baa 是共线向量与是共线向量 反之如果与则使得一个实数ababaab 0 x y 0 10 线段定比分点坐标公式 1 21 xx x 1 21 yy y 线段定比分点向量公式 线段中点坐标公式线段中点向量公式 2 21 OPOP OP ab 使得那么又且只有一个实数 线段的定比分点线段的定比分点 点分有向线段P 21P P所成的比的定义式 21 PPPP 1 21 OPOP OP 当时 当时 1 1 2 21 yy y 向量的一个定理的类似推广向量的一个定理的类似推广 向量共线定理 0 aab 推广 平面向量基本定理 不共线的向量 为该平面内的两个其中 21 2211 ee eea 推广 空间向量基本定理 不共面的向量 为该空间内的三个其中 321 332211 eee eeea 一般地 设向量一般地 设向量 aayxbyxa如果且 0 2211 0 1221 yxyxb那么 反过来 如果反过来 如果 ayxyx则 0 1221 b 一般地 对于两个非零向量一般地 对于两个非零向量 有有 其中其中 为两向量的夹角 为两向量的夹角 ba Cosbaba 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 yxyx yyxx ba ba Cos 2 21 xx x 11 特别的 特别的 2 2 aaaaaaa 或者 0 0 2121 21212211 yyxxba yyxxbaayxbyxa 特别的 则且如果 0O 2121 nn OAOAAOAAAn则的中心为边形若正 三角形中的三角问题三角形中的三角问题 2 22 22 CBACBA CBA 22 Cos 2 Cos 2 CCosCos C Sin BA CBA SinBACSinBASin 正弦定理 正弦定理 SinCSinBSinA cba R SinC c SinB b SinA a 2 余弦定理 余弦定理 2 2 2 222 222222 abCosCbac acCosBcabbcCosAcba 变形 变形 ab cba CosC ac bca CosB bc acb CosA 2 2 2 222 222222 CBACBAtantantantantantan 三角公式以及恒等变换三角公式以及恒等变换 两角的和与差公式 两角的和与差公式 S S SinCosCosSinSin SinCosCosSinSin 变形 变形 T tantan1 tantan tan T tantan1 tantan tan C C SinSinCosCosCos SinSinCosCosCos 为三角形的三个内角其中 tantantantantantan tantan1tantantan tantan1tantantan 二倍角公式 二倍角公式 2 2222 tan1 tan2 2tan 21122 22 SinCosSinCosCos CosSinSin 半角公式 半角公式 2 1 2 2 1 2 Cos Cos Cos Sin Sin Cos Cos Sin Cos Cos 1 11 1 2 tan 降幂扩角公式 降幂扩角公式 2 21 2 21 22 Cos Sin Cos Cos 12 积化和差公式 积化和差公式 CosCosSinSin CosCosCosCos SinSinSinCos SinSinCosSin 2 1 2 1 2 1 2 1 和差化积公式 和差化积公式 22 2 22 2 22 2 22 2 SinSinCosCos CosCosCosCos SinCosSinSin CosSinSinSin SSCC CCCC CSSS SCSS 2 2 2 2 万能公式万能公式 2 tan1 2 tan1 2 tan1 2 tan2 2 2 2 Cos Sin CTS 2 tan1 2 tan2 tan 2 三倍角公式 三倍角公式 CosCosCos SinSinSin 343 433 3 3 2 3 tan31 tantan3 3tan 三四立 四立三 中间横个小扁担三四立 四立三 中间横个小扁担 13 1 tan tan y 4 tan tan y 3 tan tan 2 tan 1 22 22 22 22 22 22 22 22 比较容易理解和掌握与差的与弦来靠项是余弦的就用两角和 第一的正弦来靠正弦的就用两角和与差一般是表达式第一项是 的就可以直接写出 其它的推导即表达技巧只要记忆不需要死记公式求解最值问题 进而可以化归相同的形式也有不同的归不同的形式有不同的化注 其中 其中 其中 其中 其中 其中 其中 a b Cosba b a Sinba SinbabSinaCos b a Cosba a b SinbabCosaSin a b Cosba b a SinbabSinaCosy a b SinbabCosaSiny 补充 补充 1 1 由公式由公式 T tantan1 tantan tan T tantan1 tantan tan 可以推导可以推导 2tan1tan1 z 4 时当 在有些题目中应用广泛 2 2 ta