2019-2020学年新教材高中数学 质量检测4 指数函数与对数函数 新人教A版必修第一册

1 质量检测质量检测 四四 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 满分 150 分 考试时间 120 分 钟 第 卷 选择题 共 60 分 一 选择题 本大题共 12 个小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一个是符合题目要求的 1 若函数 y f x 在区间 2 2 上的图象是连续不断的曲线 且方程 f x 0 在 2 2 上仅有一个实数根 则 f 1 f 1 的值 a 大于 0b 小于 0 c 无法判断d 等于 0 解析 由题意不能断定零点在区间 1 1 内部还是外部 答案 c 2 下列函数中 在区间 0 上单调递增的是 a y b y 2 x c y d y 1 x 解析 易知函数 y 2 x y y 在区间 0 上单调递减 函数 1 x y 在区间 0 上单调递增 故选 a 答案 a 3 若集合 m y y 2x p x y log2x 1 则 m p 3x 2 a b 1 2 3 1 2 1 c d 1 1 2 2 3 1 解析 集合 m 表示函数 y 2x的值域 为 0 集合 p 表示函数 y log2x 1 的定义域 则error 解得 x 且 x 1 故选 d 3x 2 2 3 答案 d 4 函数 f x ln x 1 的零点所在的大致区间是 2 x a 1 2 b 0 1 2 c 2 e d 3 4 解析 f 1 ln2 2 lnln1 0 3 e 所以函数 f x ln x 1 的零点所在的大致区间是 1 2 2 x 答案 a 5 已知函数 f x 是奇函数 当 x 0 时 f x lnx 则 f的值为 f 1 e2 a b 1 ln2 1 ln2 c ln2d ln2 解析 f ln 2 f f 2 f 2 ln2 1 e2 1 e2 f 1 e2 答案 c 6 函数 f x 的图象 4x 1 2x a 关于原点对称b 关于直线 y x 对称 c 关于 x 轴对称d 关于 y 轴对称 解析 易知 f x 的定义域为 r r 关于原点对称 f x f x f x 是偶函数 其图象关于 y 轴对称 4 x 1 2 x 1 4x 2x 答案 d 7 已知 a log27 b log38 c 0 30 2 则 a b c 的大小关系为 a c b ab a b c c b c ad c a b 解析 c 0 30 2log24 2 1 b log38 log39 2 c b1 故选 d 答案 d 3 9 在同一直角坐标系中 函数 y y loga a 0 且 a 1 的图象可能是 1 ax x 1 2 解析 当 0 a1 时 函数 y ax的图象过定点 0 1 且单调递增 则函数 y 的图象过定点 1 ax 0 1 且单调递减 函数 y loga的图象过定点且单调递增 各选项均不符合 x 1 2 1 2 0 综上 选 d 答案 d 10 已知函数 f x error 若函数 f x 存在零点 则实数 a 的取值范围是 a 0 b 1 c 1 d 0 解析 函数 f x error 的图象如图 若函数 f x 存在零点 则实数 a 的取值范围是 0 故选 d 答案 d 11 函数 f x log2 x2 ax 3a 在 2 上是增函数 则实数 a 的取值范围是 a 2 b 4 c 2 4 d 4 4 解析 因为 f x 在 2 上是增函数 所以 y x2 ax 3a 在 2 上单调 递增且恒为正 所以error 即 40 时 方程为 x 2 此时方程 f x x 只有 1 个解 当 x 0 时 方程为 x2 4x 2 x 解得 x 1 或 x 2 此时方程 f x x 有 2 个 解 所以方程 f x x 共有 3 个解 答案 c 第 卷 非选择题 共 90 分 二 填空题 本大题共 4 个小题 每小题 5 分 共 20 分 把正确答案填在题中横线上 13 用二分法求方程 x3 2x 5 0 在区间 2 4 上的实数根时 取中点 x1 3 则下一 个有根区间是 解析 设 f x x3 2x 5 则 f 2 0 f 4 0 有 f 2 f 3 0 且 a 1 有两个零点 则实数 a 的取值范围为 解析 函数 f x 的零点的个数就是函数 y ax与函数 y x a 交点的个数 如下图 由函数的图象可知 a 1 时两函数图象有两个交点 0 a1 答案 1 15 如右图 矩形 abcd 的三个顶点 a b c 分别在函数 y y y x的图象上 且矩形的边分别平行于两坐标轴 若点 2 2 a 的纵坐标为 2 则点 d 的坐标为 5 解析 由图象可知 点 a xa 2 在函数 y 的图象上 所以 2 logxa xa 2 2 2 2 2 1 2 点 b xb 2 在函数 y 的图象上 所以 2 xb 4 所以点 c 4 yc 在函数 y x的图象上 2 2 所以 yc 4 2 2 1 4 又 xd xa yd yc 1 2 1 4 所以点 d 的坐标为 1 2 1 4 答案 1 2 1 4 16 设 0 x 2 则函数 y 3 2x 5 的最小值是 解析 y 3 2x 5 2x 2 3 2x 5 1 2 令 t 2x x 0 2 则 1 t 4 于是 y t2 3t 5 t 3 2 1 t 4 1 2 1 2 1 2 当 t 3 时 ymin 1 2 答案 1 2 三 解答题 本大题共 6 个大题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步 骤 17 本小题满分 10 分 计算下列各式的值 2 log3 lg25 lg4 7log72 4 27 3 6 18 本小题满分 12 分 已知函数 f x logax a 0 且 a 1 且函数的图象过点 2 1 1 求函数 f x 的解析式 2 若 f m2 m 0 2 f m2 m log2 m2 m f m2 m 1 且 1 log22 log2 m2 m log22 该不等式等价为 error 解得 1 m 0 或 1 m 2 实数 m 的取值范围为 1 0 1 2 19 本小题满分 12 分 定义在 r r 上的偶函数 y f x 在 0 上递增 函数 f x 的一个零点为 求满足 f 0 的 x 的取值集合 1 2 解 是函数的一个零点 f 0 1 2 1 2 y f x 在 0 上递增 f 0 f 1 2 7 0 1 2 解得 1 x 2 又 y f x 为偶函数 f 0 且在 0 上单调递减 1 2 又 f 0 f 1 2 0 1 2 解得 x 1 1 2 综上所述 x 的取值范围为 1 2 2 20 本小题满分 12 分 已知 f x 4 x 2 4 21 本小题满分 12 分 近几年 我国大部分地区遭遇雾霾天气 给人们的健康 交通 安全等带来了严重影响 经研究 发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因 素 污染治理刻不容缓 为此 某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备 使产生的废 气经过过滤后排放 以降低对空气的污染 已知过滤过程中废气的污染物数量 p 单位 mg l 与过滤时间 t 单位 小时 间的关系为 p p0e kt p0 k 均为非零常数 e 为自然对数 的底数 其中 p0为 t 0 时的污染物数量 若经过 5 小时过滤后还剩余 90 的污染物 8 1 求常数 k 的值 2 试计算污染物减少到 40 至少需要多少时间 精确到 1 小时 参考数据 ln0 2 1 61 ln0 3 1 20 ln0 4 0 92 ln0 5 0 69 ln0 9 0 11 解 1 由已知 当 t 0 时 p p0 当 t 5 时 p 90 p0 于是有 90 p0 p0e 5k 解得 k ln0 9 或 0 022 1 5 解得 t 41 82 ln0 4 1 5ln0 9 0 92 1 5 0 11 4 60 0 11 故污染物减少到 40 至少需要 42 小时 22 本小题满分 12 分 已知 f x 是定义在 1 1 上的奇函数 当 x 0 1 时 f x 2x 4x 1 1 求 f x 在 1 1 上的解析式 2 判断 f x 在 0 1 上的单调性 并说明理由 3 求函数 f x 的值域 解 1 当 x 1 0 时 x 0 1 函数 f x 为奇函数 f x f x 2 x 4 x 1 2x 1 4x 又 f 0 f 0 f 0 2f 0 0 f 0 0 故当 x 1 1 时 f x 的解析式为 f x error 9 3 由 2 知 f x 在 0 1