数三真题参考答案(2005-2009).doc

硕博考研 2009年数三真题参考答案一、选择题：1. C 2.A 3.A 4.D 5.B 6.A 7.D 8.B二、填空题：9. 10. 11. 12. 8000 13. 2 14. 三、解答题：15. 【解析】 故则而二元函数存在极小值16. 【解析】令得17. 【解析】由得，18. 【解析】（）作辅助函数，易验证满足：；在闭区间上连续，在开区间内可导，且。根据罗尔定理，可得在内至少有一点，使，即（）任取，则函数满足；在闭区间上连续，开区间内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在，使得又由于，对上式（*式）两边取时的极限可得：故存在，且。19. 【解析】旋转体的体积为曲边梯形的面积为：，则由题可知两边对t求导可得 继续求导可得，化简可得，解之得在式中令，则，代入得。所以该曲线方程为：。20. 【解析】（）解方程 故有一个自由变量，令，由解得， 求特解，令，得 故 ，其中为任意常数 解方程 故有两个自由变量，令，由得求特解 故 ，其中为任意常数（）证明：由于 故 线性无关.21. 【解析】（） （） 若规范形为，说明有两个特征值为正，一个为0。则1) 若，则 ， ，不符题意2) 若 ，即，则，符合3) 若 ，即，则 ，不符题意综上所述，故22. 【解析】（I）由 得其边缘密度函数 故 即 （II）而23. 【解析】（）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用压缩样本空间则相当于只有1个红球，2个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球 （）X，Y取值范围为0，1，2，故 XY01201/41/61/3611/31/9021/9002008年数三真题参考答案一、选择题：1. B 2.C 3.C 4.A 5.C 6.D 7.A 8.D二、填空题：9. 1 10. 11. 12. 13. 3 14. 三、解答题：15. 解： 16. 解：17. 解：（1）对于，令，则因为的周期为2，所以所以（2）因为所以所以所以是周期为2的周期函数18. 解： 19. 解：由题得设两边求积分由，对上式两边求导令，则所以至少应为3795.20. 解：方程组有唯一解由，知，又，故。记，由克莱姆法则知，方程组有无穷多解由，有，则故的同解方程组为，则基础解系为，为任意常数。又，故可取特解为所以的通解为为任意常数。21. 解：（1）假设线性相关，则可由线性表出，不妨设，其中不全为零（若同时为0，则为0，由可知）又，整理得：则线性相关，矛盾（因为分别属于不同特征值得特征向量，故线性无关）.故：线性无关.（2）记则可逆，即：，.22. 解：1.2. 当时，当时，当时，当时，当时，当时，所以 ，则23. 解：(1)因为：, ,而 ,所以 T是的无偏估计(2) , 因为 令 所以 因为 且,所以 2007年数三真题参考答案一、选择题：1. B 2.D 3.C 4.B 5.D 6.D 7.A 8.B 9.C 10.A 二、填空题：11. 0 12. 13. 14. 15. 1 6. 三、解答题：17.【详解】 方程 两边对求导得， 即，则. 上式两边再对求导得 则，所以曲线在点附近是凸的.18.【详解】因为被积函数关于均为偶函数，且积分区域关于轴均对称，所以 ，其中为在第一象限内的部分. 而 . 所以 .19. 【详解】令，则在上连续，在内具有二阶导数且.（1）若在内同一点取得最大值，则， 于是由罗尔定理可得，存在，使得. 再利用罗尔定理，可得 存在，使得，即.（2）若在内不同点取得最大值，则，于是 ， 于是由零值定理可得，存在，使得 于是由罗尔定理可得，存在，使得. 再利用罗尔定理，可得 ，存在，使得，即.20. 【详解】，而 ， ， 所以 ， 收敛区间为 .21. 【详解】将方程组和方程合并，后可得线性方程组其系数矩阵.显然，当时无公共解.当时，可求得公共解为 ,为任意常数；当时，可求得公共解为 .22. 【详解】（I）， 则是矩阵的属于2的特征向量. 同理可得，. 所以的全部特征值为2，1，1 设的属于1的特征向量为，显然为对称矩阵，所以根据不同特征值所对应的特征向量正交，可得. 即 ，解方程组可得的属于1的特征向量 ，其中为不全为零的任意常数. 由前可知的属于2的特征向量为 ，其中不为零.（II）令，由（）可得，则 .23. 【详解】（I）. (II) 利用卷积公式可得 24. 【详解】（I）， 令. （II）， 而， 所以 ， 所以，故不是的无偏估计量.2006年数三真题参考答案一、填空题：1. 1 2. 3. 4. 2 5. 6. 2二、选择题：7. A 8.C 9.D 10.B 11.D 12.A 13.B 14.A 三 、解答题：15. 【详解】() . () （通分）16. 【详解】积分区域如右图.因为根号下的函数为关于的一次函数，“先后”积分较容易，所以 .17. 【详解】 令，则 ，且.又 ，（），故当时，单调减少，即，则单调增加，于是，即.18. 【详解】() 设曲线的方程为，则由题设可得 ，这是一阶线性微分方程，其中，代入通解公式得 ，又，所以. 故曲线的方程为 . () 与直线（）所围成平面图形如右图所示. 所以 ， 故.19. 【详解】记，则. 所以当时，所给幂级数收敛；当时，所给幂级数发散；当时，所给幂级数为，均收敛，故所给幂级数的收敛域为在内，而 ，所以 ，又，于是 .同理 ，又 ，所以 .故 . 由于所给幂级数在处都收敛，且在 处都连续，所以在成立，即 ，.20. 【详解】记以为列向量的矩阵为，则 . 于是当时，线性相关. 当时，显然是一个极大线性无关组，且； 当时， ， 由于此时有三阶非零行列式，所以为极大线性无关组，且.21. 【详解】 ()因为矩阵的各行元素之和均为3，所以，则由特征值和特征向量的定义知，是矩阵的特征值，是对应的特征向量.对应的全部特征向量为，其中为不为零的常数.又由题设知，即，而且线性无关，所以是矩阵的二重特征值，是其对应的特征向量，对应的全部特征向量为，其中为不全为零的常数.()因为是实对称矩阵，所以与正交，所以只需将正交.取，.再将单位化，得，令，则，由是实对称矩阵必可相似对角化，得. （）由()知 ，所以 . ，则.22. 【详解】 （I） 设的分布函数为，即，则1) 当时，；2) 当时， .3) 当时，.4) 当，.所以.（II） ，而 ， ，所以 .() .23. 【详解】（）因为，令 ，可得的矩估计为 . （）记似然函数为，则.两边取对数得，令，解得为的最大似然估计.2005年数三真题参考答案一、填空题1. 2 2. 3. 4. 5. 6. a=0.4, b=0.1二、选择题7.B 8.A 9.D 10.B 11.C 12.A 13.D 14.C 三 、解答题15. 【详解】 = = =16.【详解】 由已知条件可得 ， ， ，所以 =17. 【详解】 记，于是 =+=18. 【详解】 设 ， ，则 ，由于 =， ,因此 ，又由于 ，故 所以 19.【详解】 方法一：设，则F(x)在0，1上的导数连续，并且，由于时，因此，即F(x)在0，1上单调递减.注意到 ，而 =，故F(1)=0.因此时，由此可得对任何，有 方法二： =， = 由于时，因此 ， ，从而 20. 【详解】 方程组（ii）的未知量个数大于方程个数，故方程组方程组（ii）有无穷多解.因为方程组（i）与（ii）同解，所以方程组（i）的系数矩阵的秩小于3.对方程组（i）的系数矩阵施以初等行变换 ，从而a=2. 此时，方程组（i）的系数矩阵可化为 ，故是方程组（i）的一个基础解系.将代入方程组（ii）可得 或当时，对方程组（ii）的系数矩阵施以初等行变换，有 ，显然此时方程组（i）与（ii）同解.当时，对方程组（ii）的系数矩阵施以初等行变换，有 ，显然此时方程组（i）与（ii）的解不相同. 综上所述，当a=2,b=1,c=2时，方程组（i）与（ii）同解.21. 【详解】 (I) 因 ，有 = = =.（II）矩阵是正定矩阵.由(I)的结果可知，矩阵D合同于矩阵又D为正定矩阵，可知矩阵M为正定矩阵.因矩阵M为