抛物线与圆的综合

精品文档 1欢迎下载 拔高专题拔高专题 抛物线与圆的综合抛物线与圆的综合 一 基本模型构建 常见模型 思考圆与抛物线以及与坐标系相交 根据抛物线的解析式可求交点 坐 标 根据交点可求三角形的 边长 由于圆的位置不同 三角 形的形状也不同 再根据三角形的形状 再解决其它问题 二 拔高精讲精练 探究点一 探究点一 抛物线 圆和直线相切的问题 例 1 2015 崇左 如图 在平面直角坐标系中 点 M 的坐标是 5 4 M 与 y 轴相切 于点 C 与 x 轴相交于 A B 两点 1 则点 A B C 的坐标分别是 A 2 0 B 8 0 C 0 4 2 设经过 A B 两点的抛物线解析式为 y x 5 2 k 它的顶点为 E 求证 直线 EA 1 4 与 M 相切 3 在抛物线的对称轴上 是否存在点 P 且点 P 在 x 轴的上方 使 PBC 是等腰三角形 如果存在 请求出点 P 的坐标 如果不存在 请说明理由 1 解 连接 MC MA 如图 1 所示 M 与 y 轴相切于点 C MC y 轴 M 5 4 MC MA 5 OC MD 4 C 0 4 MD AB DA DB MDA 90 AD 3 BD 3 OA 5 22 54 3 2 OB 5 3 8 A 2 0 B 8 0 2 证明 把点 A 2 0 代入抛物线 y x 5 2 k 得 k E 5 1 4 9 4 9 4 精品文档 2欢迎下载 DE ME MD DE 4 EA2 32 2 MA2 EA2 52 ME2 9 4 9 4 25 4 9 4 225 16 225 16 225 16 225 16 MA2 EA2 ME2 MAE 90 即 EA MA EA 与 M 相切 3 解 存在 点 P 坐标为 5 4 或 5 或 5 4 理由如下 7155 由勾股定理得 BC 4 分三种情况 当 PB PC 时 点 P 22 OCOB 22 48 5 在 BC 的垂直平分线上 点 P 与 M 重合 P 5 4 当 BP BC 4时 如图 2 所示 5 PD P 5 当 PC BC 4时 连接 MC 22 BPBD 2 803 71715 如图 3 所示 则 PMC 90 根据勾股定理得 PM PD 4 22 PCMC 2 805 5555 P 5 4 综上所述 存在点 P 且点 P 在 x 轴的上方 使 PBC 是等腰三角形 55 点 P 的坐标为 5 4 或 5 或 5 4 7155 变式训练变式训练 2015 柳州 如图 已知抛物线 y x2 7x 6 的顶点坐标为 M 与 x 轴 1 2 相交于 A B 两点 点 B 在点 A 的右侧 与 y 轴相交于点 C 1 用配方法将抛物线的解析式化为顶点式 y a x h 2 k a 0 并指出顶点 M 的坐 标 2 在抛物线的对称轴上找点 R 使得 CR AR 的值最小 并求出其最小值和点 R 的坐标 3 以 AB 为直径作 N 交抛物线于点 P 点 P 在对称轴的左侧 求证 直线 MP 是 N 的 切线 精品文档 3欢迎下载 1 解 y x2 7x 6 x2 7x 3 x 2 抛物线的解析式 1 2 1 2 1 2 7 2 25 8 化为顶点式为 y x 2 顶点 M 的坐标是 1 2 7 2 25 8 7 2 25 8 2 解 y x2 7x 6 当 y 0 时 x2 7x 6 0 解得 x 1 或 1 2 1 2 6 A 1 0 B 6 0 x 0 时 y 3 C 0 3 连接 BC 则 BC 与对称轴 x 的交点为 R 连接 AR 则 CR AR CR BR BC 根据两点之间线段最短可知此时 CR AR 的值 7 2 最小 最小值为 BC 3 设直线 BC 的解析式为 y kx b B 6 0 22 63 5 C 0 3 解得 直线 BC 的解析式为 y x 3 令 x 60 3 kb b 2 3 1 k b 1 2 7 2 得 y 3 R 点坐标为 1 2 7 2 5 4 7 2 5 4 3 证明 设点 P 坐标为 x x2 x 3 A 1 0 B 6 0 N 0 1 2 7 2 7 2 以 AB 为直径的 N 的半径为AB NP 即 x 2 x2 x 3 1 2 5 2 5 2 7 2 1 2 7 2 2 2 化简整理得 x4 14x3 65x2 112x 60 0 x 1 x 2 x 5 x 6 0 解得 5 2 x1 1 与 A 重合 舍去 x2 2 x3 5 在对称轴的右侧 舍去 x4 6 与 B 重合 舍去 点 P 坐标为 2 2 M N 0 PM2 2 2 2 7 2 25 8 7 2 7 2 25 8 2 PN2 2 2 22 225 64 7 2 25 4 400 64 MN2 2 PM2 PN2 MN2 MPN 90 点 P 在 N 上 直线 MP 是 N 的 25 8 625 64 切线 精品文档 4欢迎下载 教师总结 本题是二次函数综合题目 考查了坐标与图形性质 垂径定理 二次函数解 析式的求法 勾股定理 勾股定理的逆定理 切线的判定 等腰三角形的性质等知识 综 合性强 探究点二 抛物线 圆和三角形的最值问题探究点二 抛物线 圆和三角形的最值问题 例 2 2015 茂名 如图 在平面直角坐标系中 A 与 x 轴相交于 C 2 0 D 8 0 两点 与 y 轴相切于点 B 0 4 1 求经过 B C D 三点的抛物线的函数表达式 2 设抛物线的顶点为 E 证明 直线 CE 与 A 相切 3 在 x 轴下方的抛物线上 是否存在一点 F 使 BDF 面积最大 最大值是多少 并求 出点 F 的坐标 解 1 设抛物线的解析式为 y ax2 bx c 把 B 0 4 C 2 0 D 8 0 代入 得 4 042 0 648 c abc abc 解得 经过 B C D 三点的抛物线的函数表达式为 y x2 x 4 4 1 4 5 2 a b c 1 4 5 2 2 y x2 x 4 x 5 2 E 5 设直线 CE 的函数解析式为 1 4 5 2 1 4 9 4 9 4 精品文档 5欢迎下载 y mx n 直线 CE 与 y 轴交于点 G 则 解得 y x 在 0 5 4 2 9 mn mn 3 4 3 2 m n 3 4 3 2 y x 中 令 x 0 y G 0 3 4 3 2 3 2 3 2 如图 1 连接 AB AC AG 则 BG OB OG 4 CG BG CG AB AC 3 2 5 2 22 OCOG 22 2 3 2 5 2 在 ABG 与 ACG 中 ABG ACG ACG ABG A 与 y 轴相切 ABAC BGCG AGAG 于点 B 0 4 ABG 90 ACG ABG 90 点 C 在 A 上 直线 CE 与 A 相 切 3 存在点 F 使 BDF 面积最大 如图 2 连接 BD BF DF 设 F t t2 t 4 1 4 5 2 过 F 作 FN y 轴交 BD 于点 N 设直线 BD 的解析式为 y kx d 则 解得 4 08 d kd 直线 BD 的解析式为 y x 4 4 1 2 k d 1 2 点 N 的坐标为 t t 4 FN t 4 t2 t 4 t2 2t S DBF S DNF S 1 2 1 2 1 4 5 2 1 4 BNF OD FN 8 t2 2t t2 8t t 4 2 16 当 t 4 时 S BDF最大 最 1 2 1 2 1 4 大值是 16 当 t 4 时 t2 t 4 2 F 4 2 1 4 5 2 变式训练变式训练 如图 已知抛物线 y ax2 bx c a 0 c 0 交 x 轴于点 A B 交 y 轴于点 C 设过点 A B C 的圆与 y 轴的另一个交点为 D 已知点 A B C 的坐标分别为 2 0 精品文档 6欢迎下载 8 0 0 4 1 求此抛物线的表达式与点 D 的坐标 2 若点 M 为抛物线上的一动点 且位于第四象限 求 BDM 面积的最大值 解 1 抛物线 y ax2 bx c 过点 A 2 0 B 8 0 C 0 4 解得 420 6480 4 abc abc c 1 4 3 2 4 a b c 抛物线的解析式为 y x2 x 4 OA 2 OB 8 OC 4 AB 10 如答图 1 连接 1 4 3 2 AC BC 由勾股定理得 AC BC AC2 BC2 AB2 100 ACB 90 AB2080 为圆的直径 由垂径定理可知 点 C D 关于直径 AB 对称 D 0 4 2 解法一 设直线 BD 的解析式为 y kx b B 8 0 D 0 4 解 80 4 kb b 得 直线 BD 解析式为 y x 4 设 M x x2 x 4 如答图 2 1 过 1 4 2 k b 1 2 1 4 3 2 点 M 作 ME y 轴 交 BD 于点 E 则 E x x 4 ME x 4 x2 x 4 1 2 1 2 1 4 3 2 x2 x 8 S BDM S MED S MEB ME xE xD ME xB xE ME xB xD 4ME S 1 4 1 2 1 2 1 2 BDM 4 x2 x 8 x2 4x 32 x 2 2 36 当 x 2 时 BDM 的面积有最大值为 1 4 36 解法二 如答图 2 2 过 M 作 MN y 轴于点 N 设 M m m2 m 4 S OBD OB OD 1 4 3 2 1 2 16 S梯形 OBMN MN OB ON m 8 m2 m 4 m m2 m 4 1 2 1 2 1 2 1 4 3 2 1 2 1 4 3 2 精品文档 7欢迎下载 4 m2 m 4 1 4 3 2 S MND MN DN m 4 m2 m 4 2m m m2 m 4 S BDM S OBD S梯形 OBMN 1 2 1 2 1 4 3 2 1 2 1 4 3 2 S MND 16 m m2 m 4 4 m2 m 4 2m m m2 m 4 16 4 m2 1 2 1 4 3 2 1