2016年浙江省温州市高考数学一模试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 22 页） 2016 年浙江省温州市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分共 40分 有一项符合题目要求的 1已知集合 A=x|y= B=x|2x 3 0，则 AB=（ ） A（ 1， 0） B（ 0， 3） C（ ， 0） （ 3， +） D（ 1， 3） 2已知 a， b 为异面直线，下列结论不正确的是（ ） A必存在平面 使得 a ， b B必存在平面 使得 a， b 与 所成角相等 C必存在平面 使得 a， b D必存在平面 使得 a， b 与 的距离相等 3已知实数 x， y 满足 ，则 x y 的最大值为（ ） A 1 B 3 C 1 D 3 4已知直线 l： y=kx+b，曲线 C： x2+2x=0，则 “k+b=0”是 “直线 l 与曲线 C 有公共点 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5设函数 y=f（ x）是定义在 R 上的偶函数，对任意的 xR 都有 f（ x+6） =f（ x） +f（ 3），则满足上述条件的 f（ x）可以是（ ） A f（ x） =B C f（ x） =2D f（ x） =26如图，已知 双曲线 C： （ a 0， b 0）的左、右焦点，点 P 在第一象限，且满足 = ，（ ） =0，线段 双曲线 C 交于点 Q，若=5 ，则双曲线 C 的渐近线方为（ ） A y= B y= C y= D y= 第 2 页（共 22 页） 7已知集合 M=（ x， y） |x2+，若实数 ， 满足：对任意的（ x， y） M，都有（ x，y） M，则称（ ， ）是集合 M 的 “和谐实数对 ”则以下集合中，存在 “和谐实数对 ”的是（ ） A （ ， ） |+=4 B （ ， ） |2+2=4 C （ ， ） |2 4=4 D （ ， ）|2 2=4 8 如图，在矩形 ， ， ，点 E 在线段 且 ，现分别沿 E 将 折，使得点 D 落在线段 ，则此时二面角 D B 的余弦值为（ ） A B C D 二、填空题：本大题共 7小题，多空题每题 6分，单空题每题 4分，共 36分 9已知 f（ x） = ，则 f（ f（ 2） = ，函数 f（ x）的零点的个数为 10已知钝角 面积为 ， ， ，则角 B= ， 11某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ，表面积为 12已知公比 q 不为 1 的等比数列 首项 ，前 n 项和为 2， 3， 4成等差数列，则 q= ， 13已知 f（ x） =x+ a），若对任意的 mR，均存在 0 使得 f（ =m，则实数 14已知 ， | |=1， =2，点 P 为线段 动点，动点 Q 满足 = + ，则 的最小值等于 第 3 页（共 22 页） 15已知斜率为 的直线 l 与抛物线 p 0）交于 x 轴上方的不同两点 A、 B，记直线 斜率分别为 k1+ 三、解答题：本大题共 5小题，共 74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16已知 2，且 0 （ I）求 的值； （ ）求函数 f（ x） =4x ）在 0， 上的值域 17如图，在三棱锥 D ， B=D 在底面 的射影为 E， F F （ ）求证：平面 平面 ）若 ， 0，求直线 平面 成的角的正弦值 18已知函数 f（ x） =（ x t） |x|（ tR） （ ）求函数 y=f（ x）的单调区间； （ ）当 t 0 时，若 f（ x）在区间 1， 2上的最大值为 M（ t），最小值为 m（ t），求 M（ t） m（ t） 的最小值 19如图，已知椭圆 C： + =1（ a b 0）经过点（ 1， ），且离心率等于 点 A，B 分别为椭圆 C 的左、右顶点， M， N 是椭圆 C 上非顶点的两点，且 面积等于 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）过点 A 作 椭圆 C 于点 P，求证： 20如图，已知曲线 y= （ x 0）及曲线 y= （ x 0）， 1的横坐标为 0 ）从 的点 nN+）作直线平行于 x 轴，交曲线 点 从点 y 轴，交曲线 n+1点 n=1， 2， 3， ） 的横坐标构成数列第 4 页（共 22 页） （ ）试求 与 间的关系，并证明： 1 ； （ ）若 ，求证： |+| 第 5 页（共 22 页） 2016 年浙江省温州市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分 共 40分 有一项符合题目要求的 1已知集合 A=x|y= B=x|2x 3 0，则 AB=（ ） A（ 1， 0） B（ 0， 3） C（ ， 0） （ 3， +） D（ 1， 3） 【考点】 交集及其运算 【分析】 分别求出集合 A， B，从而求出其交集即可 【解答】 解： 集合 A=x|y=x|x 0|， B=x|2x 3 0=x| 1 x 3， 则 AB=（ 0， 3）， 故选： B 2已知 a， b 为异面直线，下列结论不正确的是（ ） A必存在平面 使得 a ， b B必存在平面 使得 a， b 与 所成角相等 C必存在平面 使得 a， b D必存在平面 使得 a， b 与 的距离相等 【考点】 空间中直线与直线之间的位置关系 【分析】 在 C 中，当 a， b 不垂直时，不存在平面 使得 a， b 其它三种情况都成立 【解答】 解：由 a， b 为异面直线，知： 在 A 中，在空间中任取一点 O，过 O 分别作 a， b 的平行线， 则由过 O 的 a， b 的平行线确一个平面 ，使得 a ， b ，故 A 正确； 在 B 中，平移 b 至 b与 a 相交，因而确定一个平面 ， 在 上作 a， b交角的平分线，明显可以做出两条 过角平分线且与平面 垂直的平面 使得 a， b 与 所成角相等 角平分线有两条，所以有两个平面都可以故 B 正确； 在 C 中，当 a， b 不垂直时，不存在平面 使得 a， b ，故 C 错误； 在 D 中，过异面直线 a， b 的公垂线的中点作与公垂线垂直的平面 ， 则平面 使得 a， b 与 的距离相等，故 D 正确 故选： C 3已知实数 x， y 满足 ，则 x y 的最大值为（ ） A 1 B 3 C 1 D 3 【考点】 简单线 性规划 【分析】 令 z=x y，从而化简为 y=x z，作平面区域，结合图象求解即可 【解答】 解：令 z=x y，则 y=x z， 由题意作平面区域如下， 第 6 页（共 22 页） ， 结合图象可知， 当过点 A（ 3， 0）时， x y 取得最大值 3， 故选 B 4已知直线 l： y=kx+b，曲线 C： x2+2x=0，则 “k+b=0”是 “直线 l 与曲线 C 有公共点 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充 要条件的判断 【分析】 联立方程组，得到（ 1+ 22） x+，根据 =（ 22） 2 4（ 1+k2），得到 b（ k+b） 10，结合充分必要条件判断即可 【解答】 解：由直线 l： y=kx+b，曲线 C： x2+2x=0， 得： ， （ 1+ 22） x+， 若直线和曲线有公共点， 则 =（ 22） 2 4（ 1+， b（ k+b） 10， 则 “k+b=0”是 “直线 l 与曲线 C 有公共 点 ”的充分不必要条件， 故选： A 5设函数 y=f（ x）是定义在 R 上的偶函数，对任意的 xR 都有 f（ x+6） =f（ x） +f（ 3），则满足上述条件的 f（ x）可以是（ ） A f（ x） =B C f（ x） =2D f（ x） =2【考点】 抽象函数及其应用 第 7 页（共 22 页） 【分 析】 根据抽象函数关系结合函数奇偶性的性质求出 f（ 3） =0，从而得到函数的周期是 6，结合三角函数的周期性进行判断即可 【解答】 解： f（ x+6） =f（ x） +f（ 3）， f（ 3+6） =f（ 3） +f（ 3）， f（ 3） =0，函数 f（ x）是偶函数， f（ 3） =0 f（ x+6） =f（ x） +0=f（ x）， f（ x）是以 6 为周期的函数， A函数的周期 T= =6， f（ 3） = 1，不满足条件 f（ 3） =0 B. 是奇函数，不满足条件 C f（ x） =21+则函数的周期是 T= =6， f（ 3） =1+ 1=0，满足条件 D f（ x） =21+则函数的周期是 T= =12，不满足条件 故选： C 6如图，已知 双曲线 C： （ a 0， b 0）的左、右焦点，点 P 在第一象限，且满足 = ，（ ） =0，线段 双曲线 C 交于点 Q，若=5 ，则双曲线 C 的渐近线方为（ ） A y= B y= C y= D y= 【考点】 双曲线的标准方程 第 8 页（共 22 页） 【分析】 由题意， |c， | a， | a，由余弦定理可得= ，确定 a， b 的关系，即可求出双曲线 C 的渐近线方程 【解答】 解：由题意，（ ） =0， |2c， | a， | a， 由余弦定理可得 = ， c= a， b= a， 双曲线 C 的渐近线方程为 y= x 故选： B 7已知集合 M=（ x， y） |x2+，若实数 ， 满足：对任意的（ x， y） M，都有（ x，y） M，则称（ ， ）是集合 M 的 “和谐实数对 ”则以下集合中，存在 “和谐实数对 ”的是（ ） A （ ， ） |+=4 B （ ， ） |2+2=4 C （ ， ） |2 4=4 D （ ， ）|2 2=4 【考点】 曲线与方程 【分析】 由题意， 222+21，问题转化为 2+21 与选项有交点，代入验证，可得结论 【解答】 解：由 题意， 222+21， 问题转化为 2+21 与选项有交点，代入验证，可得 C 符合 故选： C 8如图，在矩形 ， ， ，点 E 在线段 且 ，现分别沿 E 将 折，使得点 D 落在线段 ，则此时二面角 D B 的余弦值为（ ） A B C D 【考点】 二面角的平面角及求法 第 9 页（共 22 页） 【分析】 在折叠前的矩形中连接 O，得到 而得到折起后， B 的平面角，利用余弦定理进行求解即可 【解答】 解：在折叠前的矩形中连接 O， ， ， ， ， ，即 0，即 折起后， 二面角 D B 的平面角， 在 ， ， D = ， =2 ， 由余弦定理得 = ， 故选： D 二、填空题：本大题共 7小题，多空题每题 6分，单空题每题 4分，共 36分 9已知 f（ x） = ，则 f（ f（ 2） = 14 ，函数 f（ x）的零点的个数为 1 【考点】 函数零 点的判定定理；函数的值 【分析】 根据 x 0 与 x0 时 f（ x）的解析式，确定出 f（ f（ 2）的值即可；令 f（ x） =0，确定出 x 的值，即可对函数 f（ x）的零点的个数作出判断 【解答】 解：根据题意得： f（ 2） =（ 2） 2=4， 则 f（ f（ 2） =f（ 4） =24 2=16 2=14； 第 10 页（共 22 页） 令 f（ x） =0，得到 2x 2=0， 解得： x=1， 则函数 f（ x）的零点个数为 1， 故答案为： 14； 1 10已知钝角 面积为 ， ， ，则角 B= ， 【考点】 正弦定理 【分析】 利用已知及三角形面积公式可求 求 B= 或 ，分类讨论：当 B= 时，由余弦定理可得 ，可得 直角 三角形，舍去，从而利用余弦定理可得 值 【解答】 解： 钝角 面积为 ， ， ， = 1 得： ， B= 或 ， 当 B= 时，由余弦定理可得 =1， 此时， 得 A= ，为直角三角形，矛盾，舍去 B= ，由余弦定理可得 = ， 故答案为： ； 11某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 12 ，表面积为 36 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 根据三视图作出棱锥的直观图，根 据三视图数据计算体积和表面积 【解答】 解：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示： 第 11 页（共 22 页） 其中底面 边长为 3 正方形， 底面 棱锥的体积 V= 棱锥的四个侧面均为直角三角形， D=5， 棱锥的表面积 S=32+ + =36 故答案为 12； 36 12已知公比 q 不为 1 的等比数列 首项 ，前 n 项和为 2， 3， 4成等差数列，则 q= ， 【考点】 等比数列的前 n 项和；等比数列的通项公式 【分析】 由 2， 3， 4 成等差数列，可得 2（ 3） =4+2，化为： 3a4+用等比数列的通 项公式解得 q再利用等比数列的前 n 项和公式即可得出 【解答】 解： 2， 3， 4 成等差数列， 2（ 3） =4+2， 2（ 2a3+a2+=2a4+为： 3a4+ ，化为 2q+1=0， q1，解得 q= = = 故答案分别为： ； 13已知 f（ x） =x+ a），若对任意的 mR，均存在 0 使得 f（ =m，则实数 4， +） 【考点】 对数函数的图象与性质 【分析】 令 t=x+ a， 求出 t 的范围，于是函数 y=据对数函数的性质，求出 a 的范围即可 第 12 页（共 22 页） 【解答】 解：令 t=x+ a，易知 t4 a， +） 于是函数 y=t4 a， 显然当 4 a0 时便有 t0 恒成立， 即 a4， 故答案为： 4， +） 14已知 ， | |=1， =2，点 P 为线段 动点，动点 Q 满足 = + ，则 的最小值等于 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 建立平面 直角坐标系，根据 | |=1， =2 得出 B， C 坐标，设 P（ a， 0）， A（ 0， b），使用坐标求出 的表达式，根据 a 的范围求出最小值 【解答】 解：以 在直线为 x 轴，以 的高为 y 轴建立平面直角坐标系，如图 ， B（ 2， 0）， C（ 1， 0）， 设 P（ a， 0）， A（ 0， b），则 2a 1 =（ a， b）， =（ 2 a， 0）， =（ 1 a， 0） =（ 3 3a， b）， =（ 2 a）（ 3 3a） =3a+6=3（ a+ ） 2 当 a= 时， 取得最小值 故答案为： 15已知斜率为 的直线 l 与 抛物线 p 0）交于 x 轴上方的不同两点 A、 B，记直线 斜率分别为 k1+（ 2， +） 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 直线方程为 y= x+b，即 x=2y 2b，代入抛物线 得 4，利用韦达定理，结合斜率公式，即可求出 k1+取值范围 【解答】 解：设直线方程为 y= x+b，即 x=2y 2b， 第 13 页（共 22 页） 代入抛物线 得 4， =16160， p b 设 A（ B（ 得 y1+p， k1+ = = = 2 故答案为：（ 2， +） 三、解答题：本大题共 5小题，共 74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16已知 2，且 0 （ I）求 的值； （ ）求函数 f（ x） =4x ）在 0， 上的值域 【考点】 两角和与差的余弦函数 【分析】 （ ）由已知推导出 22=0，由此能求出 （ ） f（ x） =4x ） =22x+ ） +1，由 ，得 2x+ ，由此能求出函数 f（ x） =4x ）在 0， 上的值域 【解答】 解：（ ） 2，且 0 2 2 2 22=0， 解得 或 2（舍）， 0 ， = （ ） = ， f（ x） =4x ） =4 =2 + =22x+ ） +1， ， 2x+ ， 222x+ ） +13， 函数 f（ x） =4x ）在 0， 上的值域为 2， 3 第 14 页（共 22 页） 17如图，在三棱锥 D ， B=D 在底面 的射影为 E， F F （ ）求证：平面 平面 ）若 ， 0，求直线 平面 成的角的正弦值 【考点】 直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定 【分析】 （ I）由 平面得出 而 平面 而得出平面 平面 （ 出 和平面 则 | |即为所求 【解答】 证明：（ ） 平面 面 面 F=D， 平面 又 面 平面 平面 （ ） C， ， E 为 中点， =2 ， 0， 以 E 为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则 E（ 0， 0， 0）， A（ 0， 2， 0）， D（ 0， 0， 2）， B（ ， 1， 0） =（ 0， 2， 2）， =（ ， 1， 2）， =（ ， 1， 0） 设平面 法向量为 =（ x， y， z） 则 ， ，令 z=1，得 =（ ， 1， 1） =2， | |= ， | |=2， = = 平面 成的角的正弦值为 第 15 页（共 22 页） 18已知函数 f（ x） =（ x t） |x|（ tR） （ ）求函数 y=f（ x）的单调区间； （ ）当 t 0 时，若 f（ x）在区间 1， 2上的最大值为 M（ t），最小值为 m（ t），求 M（ t） m（ t）的最小值 【考点】 函数的最值及其几何意义；函数的单调性及单调区间 【分析】 （ ）根据分段函数的表达式，结合一元二次函数的性质即 可求函数 y=f（ x）的单调区间； （ ）讨论 t 的范围，结合一元二次函数的性质求出函数的最值进行求解即可 【解答】 （ ）解：（ 1） ， 当 t 0 时， f（ x）的单调增区间为 ，单调减区间为 0， 当 t=0 时， f（ x）的单调增区间为（ ， +） 当 t 0 时， f（ x）的单调增区间为 0， +）， ，单调减区间为 （ ）由（ ）知 t 0 时 f（ x）在（ ， 0）上递增，在 上递减，在上递增 从而 当 即 t4 时， M（ t） =f（ 0） =0， ， m（ t） =f（ 1）， f（ 2） = 1 t， 4 2t 所以，当 4t5 时， m（ t） = 1 t， 故 M（ t） m（ t） =1+t5 当 t 5 时， m（ t） =4 2t，故 M（ t） m（ t） =2t 4 6 当 2t，即 2t 4 时， M（ t） =f（ 0） =0， m（ t） =f（ 1）， f（ ） = 1 t， = 1 t， 所以， M（ t） m（ t） =t+13 当 0 t 2 时， M（ t） =f（ 2） =4 2t m（ t） =f（ 1）， f（ ） = 1 t， = 1 t， 所以， M（ t） m（ t） =5 t 3 综上所述，当 t=2 时， M（ t） m（ t）取得最小值为 3 第 16 页（共 22 页） 19如图，已知椭圆 C： + =1（ a b 0）经过点（ 1， ），且离心率等于 点 A，B 分别为椭圆 C 的左、右顶点， M， N 是椭圆 C 上非顶点的两点，且 面积等于 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）过点 A 作 椭圆 C 于点 P，求证： 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ ）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，以及 a， b， c 的关系，解得 a， b，即可得到椭圆方程； （ ）解法一、设直线 方程为 y=y=入椭圆方程，求得 M， 出 面积，由条件可得 设 P（ 则 ，又已知 证 解法二、设直线 方程为 y=x+2），代入 ，求出 P 的坐标和 斜率，所以只需证 ，即 ，即可得到证明 【解答】 解：（ ）由题意得， e= = ， b2= 代入点（ 1， ），可得 + =1， 解得， a=2， b= ， 故椭圆 C 的方程为 + =1； （ ）解法一：如图所示，设直线 方程为 y=y= 联立方程组 ，解得 ， 同理可得 ， 作 x 轴， x 轴， M， N是垂足， S 梯形 N S S 第 17 页（共 2