Duffing方程MATLAB仿真分析

1 非线性电路报告非线性电路报告 Duffing 方程的方程的 MATLAB 仿真分析仿真分析 班级 学号 姓名 2 摘要摘要 Duffing 方程是一种重要的动力系统 1 是反映工程物理系统中非线性现象和混沌动力 学行为的极其重要的方程式 通过 Duffing 方程可以探讨铁磁谐振电路中的分岔 拟周期 运动 子谐波振荡 而在非线性与混沌系统的研究中 Duffing 方程展示了丰富的混沌动力 学行为 本文通过对不同情况下的 Duffing 方程进行分析 利用 MATLAB 进行仿真 从而 对 Duffing 方程有进一步的了解 关键词关键词 Duffing 方程 混沌 MATLAB 仿真 1 引言引言 最初的 Duffing 方程通过在经典动力学系统中引入一个具有摆动的非线性方程 数学 上将含有自变量三次项的二阶方程称为 Duffing 方程 Duffing 方程是弱信号检测中的常用 模型 他所描述的非线性系统表现出多种非线性特性 包括振荡 分岔 混沌等复杂状态 在非线性与混沌系统的研究中 Duffing 方程展示了丰富的混沌动力学行为 Duffing 方程 的非线性与混沌特性得到了人们坚持不懈的研究 Duffing 方程的工程背景 Duffing 方程 的混沌动力学行为的控制以及 Duffing 方程在工程物理系统中的应用 一直是人们研究与 关注的复杂话题 混沌是确定性的非线性系统在一定的条件下呈现出来的貌似无序但又遵循一定规律的 复杂动力学行为 2 是一种宏观无序 微观有序的现象 混沌是自然界一种普遍存在的非 线性现象 电路中的混沌实际上是在一定的参数条件下 在一些属于确定性系统的电路里 产生的类似于随机响应 混沌系统对微弱信号具有极强的敏感性同时对噪声具有极大的抑制能力 它的这种性 质证明了混沌系统具有可应用于小信号检测的潜力 从检测过程中分析混沌运动发生的间 歇性 Duffing 方程是一个在混沌系统小信号检测中被广泛使用的一个典型的非线性方程 即存在于噪声中的信号可以被 Duffing 振子通过从混沌运动状态到周期振荡状态的改变测 试出来 本文用 MATLAB 对 Duffing 方程进行模拟分析 找出系统在各种参数下的运动状 态 为基于 Duffing 振子的小信号检测提供研究基础 3 2 Duffing 方程的形式方程的形式 2 1 具体形式具体形式 著名的 Duffing 方程式反映工程物理系统中非线性现象和混沌动力学定位的极为重要 的方程式 典型的 Duffing 方程的具体形式为 2 1 2 2 d xdx g xf x t dtdt 为阻尼系数 为含有三次方项的非线性函数 为周期函数 通常对其 g x f x t 进行如下分类 1 如果满足超线性条件 即 则该 Duffing 方程为超线性 g x lim x g x x 的 2 如果满足次线性条件 即 则该 Duffing 方程为次线性的 g x lim0 x g x x 3 如果满足半线性条件 即 g x 则该 Duffing 方程为半线性的 0lim inflim sup xx g xg x xx Duffing 方程系统是一个典型的非线性振动系统 尽管是从简单物理模型中得出来的非 线性振动模型 但是其模型具有代表性 工程实际中的许多非线性振动问题的数学模型都 可以转化为该方程来研究 如船的横摇运动 结构振动 化学键的破坏等 横向波动方程 的轴向张力扰动模型 转子轴承的动力学方程也与 Duffing 系统基本相似 另外 Duffing 系 统也非常广泛地被应用到实际工程中 例如尖锐碰摩转子的故障检测 微弱周期信号检测 电力系统周期振荡分析 周期电路系统的模拟与控制等 关于 Duffing 系统还有许多问题 尚未彻底研究清楚 如 Duffing 方程的分数谐波振动 超谐波振动 组合振动等等 而且 研究结果中规律性的成果可以推广到其他类似系统 因此从某种角度来说 对非线性 Duffing 系统的研究是研究许多复杂动力学系统的基础 4 2 2 典型形式典型形式 2 2 2 3 2 cos d xdx xxFt dtdt 其中 是阻尼系数 为常数 为周期驱动力 为非线性 cosFt 3 xx 恢复力 为了便于分析 也可将系统描述为 2 3 3 cos dx y dt dy yxxFt dt 2 3 结合电路对结合电路对 Duffing 方程分析方程分析 本节通过用 Duffing 方程描述一种 LC 并联铁磁混沌电路的混沌动力学行为 并进行理 论分析 最终得出一些结论 电路图如图 2 1 所示 图 2 1 并联 LC 铁磁混沌振荡电路 对于上述电路图 有 2 4 3 1 c c cs d u dt du Cabuu t dtR 其中 同时 对方程进行归一化处理 令 cos sm u tUt t x 为了方便分析 令 c u y 2 1 a C 2 1 b C 1 k CR 2 m U f CR 则上述方程可以改写为 1 R 5 2 5 2 3 2 cos d xdx xxkf dd 为了便于仿真 将改为 上式即为 这便是 t 2 3 2 cos d xdx xxkft dtdt Duffing 方程的经典形式 3 Duffing 方程仿真及其分析方程仿真及其分析 MATILAB 中的 Simulink 是一个动态系统建模仿真和分析的软件包 它是一种基于 MATLAB 的框图设计环境 支持线性系统和非线性系统 可以用连续采样时间 离散采样 时间或两种混合的采样时间进行建模 它也支持多速率系统 也就是系统中的不同部分具 有不同的采样速率 Simulink 中包括许多实现不同功能的模块库 选择不同的模块建模就 能模拟出不同的系统 利用 MATLAB 程序实现对上一章中建立的并联 LC 铁磁混沌振荡电路进行仿真 仿真 结果如下 6 3 1 取初值 取初值 0 0 1 当 0 1 92 825 时 其混沌奇怪吸引子如图 3 1 所示 相应的时域仿真k f 如图 3 2 所示 图 3 1 状态平面的混沌奇怪吸引子 LC iu 图 3 2 MATLAB 仿真的 的波形图 L i t C ut 注 其中红色为 蓝色为 C ut L i t 7 2 当 0 1 88 时 其混沌奇怪吸引子如图 3 3 所示 相应的时域仿真如图k f 3 4 所示 图 3 3 状态平面的混沌奇怪吸引子 LC iu 图 3 4 MATLAB 仿真的 的波形图 L i t C ut 注 其中红色为 蓝色为 C ut L i t 8 3 当 0 1 50 时 其混沌奇怪吸引子如图 3 5 所示 相应的时域仿真如图k f 3 6 所示 图 3 5 状态平面的混沌奇怪吸引子 LC iu 图 3 6 MATLAB 仿真的 的波形图 L i t C ut 注 其中红色为 蓝色为 C ut L i t 3 2 取初值 取初值 1 0 3 1 当 0 1 92 985 时 其混沌奇怪吸引子如图 3 7 所示 相应的时域仿真k f 如图 3 8 所示 9 图 3 7 状态平面的混沌奇怪吸引子 LC iu 图 3 8 MATLAB 仿真的 的波形图 L i t C ut 注 其中红色为 蓝色为 C ut L i t 2 当 0 1 88 时 其混沌奇怪吸引子如图 3 9 所示 相应的时域仿真如图k f 3 10 所示 10 图 3 9 状态平面的混沌奇怪吸引子 LC iu 图 3 10 MATLAB 仿真的 的波形图 L i t C ut 注 其中红色为 蓝色为 C ut L i t 3 当 0 1 50 时 其混沌奇怪吸引子如图 3 11 所示 相应的时域仿真如k f 图 3 12 所示 11 图 3 11 状态平面的混沌奇怪吸引子 LC iu 图 3 12 MATLAB 仿真的 的波形图 L i t C ut 注 其中红色为 蓝色为 C ut L i t 3 3 小结小结 由上述情况的仿真结果可以看出 1 对于给定初值 当参数变化时 系统特性发生变化 但各信号并没有很强的规 律性 这反映了确定系统中的不确定性的行为特征 2 当系统初值发生变化时 即使参数相同 系统特性也会发生变化 这体现了混 沌系统对初始值的极端敏感性 12 从以上分析可以看出 混沌状态下的相轨道在相平面上既不趋于平衡点又不能发散 而是在一定区域内无限填充或游荡 混沌奇怪吸引子是整体稳定和局部不稳定相结合的产 物 从相应的时域仿真图中可以清楚地看到混沌振荡的非周期性 这时 电压 电流都是 非正弦波 高次谐波分量很严重 对于 Duffing 方程描述的 LC 并联铁磁混沌电路系统转换为三阶自治等价扭扩系统时 Duffing 系统存在同宿轨 该系统的轨线满足不交率 所以其轨线在相空间只能缠绕而不会 相交 其混沌吸引子具有分数维数 通过上述对 Duffing 方程的分析和计算机仿真 可以看到铁磁电路在一定的参数条件 下 特别是在过电压下 确实存在分岔和混沌 分岔和混沌振荡会造成系统电压或电流的 波形畸变 LC 并联铁磁电路的分岔和混沌振荡会给工程物理系统稳定性特别是电力系统稳 定性带来严重的危害 这还需要进一步的深入讨论研究 4 结论结论 本文对非线性动力学系统中典型的 Duffing 方程进行了研究 使用 Matlab 软件对系统 进行仿真 研究 Duffing 方程在不同参数下的响应 通过此次仿真 对杜芬方程有了更加 深刻的认识 从自己的仿真中看到了混沌现象 提高了对研