2012年全国硕士研究生统一考试数学一试题及答案.doc

2012年全国硕士研究生统一考试数学一试题及答案一、选择题：共8小题，每题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定的位置上。1、曲线渐近线的条数（ ）（A）0； （B）1； （C）2； （D）3。解：（C）：，可得有一条水平渐近线；，可得有一条铅直渐近线；，可得不是铅直渐近线，故答案为（C）。2、设函数，其中为正整数，则（ ）（A）；（B）；（C）；（D）。解：（A）：；则。故答案为（A）。3如果函数在处连续，那么下列例题正确的是（ ）（A）若极限存在，则在处可微；（B）若极限存在，则在处可微；（C）若在处可微，则极限存在；（D）若在处可微，则极限存在。解：（B）：在处连续：对（A）：令，可得，则不存在，同理得也不存在，故（A）错；对（B）：令，可得，同理，则由微分定义可得在处可微，故答案为（B）；对（C）和（D）：在处可微，可知在处偏导，即， 则，显然极限不存在，同理，显然极限不存在，故（C）和（D）选项错误。4、设，则有（ ）（A）；（B）；（C）；（D）解：（A）：方法一：令，则，可得在上严格单调增加，可得，故答案为（A）；方法二：由定积分的几何意可得，故答案为（A）。5、设，其中为任意常数，则下列向量组线性相关的是（ ）（A）； （B）； （C）； （D）。解：（C）：，故线性相关，可得答案为（C）。6、设为3阶矩阵，为3阶可逆矩阵，且，则（ ）（A）； （B）； （C）； （D）。解：（B）：，可得，故答案为（B）。7、设随机变量与相互独立，且分别服从参数为1和参数为4的指数分布，则（ ）（A）； （B）； （C）； （D）。解：（A）：由题意得与的概率密度分别为和，由与相互独立，可得，则，故答案为（A）。8、将长度为的木棒随机的截成两段，则两段长度的相关系数为（ ）（A）1； （B）； （C）； （D）。解：（D）：设两段长度分别为和，则，可得相关系为，故答案为（D）。二、填空题：9-14，共6题，满分24分请将答案写在答题纸指定的位置上。9、若函数满足方程及，则 。解：的特征方程为解得，可得通解为：，代入得，可得。故可得答案为。10、 。解：，令，可得由对称性得，再令可得。11、 。解：或：令，则，可得。12、已知曲面，则 。解：由曲面可得，向面投影，可得，则。13、设为三维单位向量，为阶单位矩阵，则矩阵的秩为 。解：因为为三维单位向量，则，且，可得的特征值为，故的特征值为，且这实对称矩，必可对角化，其秩等于非零特征值的个数。14设是随机事件，互不相容，则 。解：，而，互不相容可得，可得。三、解答题：15-23，共9题，共94分，将解答写在答题纸指定的位置上，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤。15（本题10分）、证明：，其中。证明：令，当时，可导，且（1）当时，显然，则可得当时，即当时，单调增加，可得；（2）当时，显然可得当时，即当时，单调减少，可得；由（1）和（2）可得当时，。16（本题10分）、求的极值。解：先求函数的驻点，可得驻点为；又所以，可得，而，故可得在点处取得极大值。17（本题10分）求幂级数的收敛域与和函数。解：，可得当，可得级数，显然发散，故收敛域为，且；，可得，即；，可得，可得，可得当时，则。18（本题10分）、已知曲线，其中有连续导数，且，当时，若曲线的切线与轴的交点到切点的距离恒为1，求的表达式，并求此曲线与轴、轴无边界区域的面积。解：（1）设为上的任意一点，可得切线斜率为，可得过点的切线方程为，令，可得，由于曲线的切线与轴的交点到切点的距离恒为1，故有化简得，解得，代入得，则，；（2）曲线与轴、轴无边界区域的面积为：。19（本题10分）、计算曲线积分，其中是第一象限中从点沿圆周到点，再沿圆周到点曲线段。 解：圆周为圆，圆周为圆，补一直线段，令显然在、和所围闭区域上具有一阶连续偏导数，且，且取为正方向，由格林公式可得。20（本题11分）设。（1）求；（2）已知线性方程组有无穷解，求，并求的通解。解：（1）；（2）要使方程组有无穷解，则必有解得，则可得的同解方程组为，可得的通解为。21（本题11分）三阶矩阵，为矩阵的转置矩阵，已知，且二次型。（1）求；（2）求二次型对应二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程。解：（1），由得，解得；（2）当，则解得； 当时，与同解，可得特征值所对应的特征向量为；当时，则与同解，可得特征值所对应的特征向量为；时，与同解，可得特征值所对应的特征向量为；令，可得。22（本题11分）已知随机变量及分布律如下，求（1）；（2）与解：（1），；（2），而，其中，可得；，可得；，从而可得相关系数。23（本题11分）设随机变量与相互独立，且分别服从正态分布与，其中是求知参数，设。（1）求的概率密度；（2）设是来自总体的简单随机样本，求的最大似然估计量；（3）证明是的无偏