山东省东营市第一中学2020届高三下学期第三次质量检测 数学试题（PDF版）

1 一 单项选择题 本题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每个小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的 1 已知集合 Ax x 4 24 1 By yx x 10 lg 1 则 AB A 2 2 B 1 C 12 D 12 2 设 i 是虚数单位 若复数R aa 2i 5i 是纯虚数 则a的值为 A 3 B 3 C 1 D 1 3 a2 是 x xax0 1 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 4 甲 乙两名学生的六次数学测验成绩 百分制 的茎叶图如图所示 甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数 甲同学的平均分比乙同学的平均分高 甲同学的平均分比乙同学的平均分低 甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差 以上说法正确的是 A B C D 5 刘徽 约公元 225 年 295 年 魏晋期间伟大的数学家 中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中 提出的 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 这可视为中国古代 极限观念的佳作 割圆术的核心思想是将一个圆的内接正 n 边形等分成 n 个等腰三角形 如图所示 当 n 变得很大时 这 n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积 运用割圆术的思想 得到sin2的近似值为 A 90 B 180 C 270 D 360 6 函数 x f xa x 2 2 的一个零点在区间1 2 内 则实数a的取值范围是 A 1 3 B 1 2 C 0 3 D 0 2 7 已知圆 M xyaya 20 0 22 截直线 xy0所得线段的长度是2 2 则圆 与圆 Nxy 1 1 1 22 的位置关系是 A 内切 B 相离 C 外切 D 相交 东营一中东营一中20172017 级高三第二学期第级高三第二学期第三三次质量检测次质量检测 数学试数学试题题 2 8 九章算术 中记载 堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱 阳马指底 面为矩形 一侧棱垂直于底面的四棱锥 如图 在堑堵 111 ABCABC 中 ACBC 1 2AA 当阳马 11 BACC A 体积的最大值为 4 3 时 堑堵 111 ABCABC 的外接球的体积为 A 4 3 B 8 2 3 C 32 3 D 64 2 3 二 多项选择题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 在每小题给出的四个选项中 有多项符合题目 要求 全部选对的得 5 分 部分选对的得 3 分 有选错的得 0 分 9 下列函数中 既是偶函数 又在 0 上单调递增的是 A 2 ln 193 yxx B ee xx y C 2 1yx D cos3yx 10 已知 2 1 0 n axa x 的展开式中第 5 项与第七项的二项数系数相等 且展开式的各项系数之和为 1024 则下列说法正确的是 A 展开式中奇数项的二项式系数和为 256 B 展开式中第 6 项的系数最大 C 展开式中存在常数项 D 展开式中含 15 x项的系数为 45 11 在ABC 中 D 在线段AB上 且5 3ADBD 若 5 2 cos 5 CBCDCDB 则 A 3 sin 10 CDB B ABC 的面积为 8 C ABC 的周长为84 5 D ABC 为钝角三角形 12 如图 在四棱锥PABCD 中 PC 底面ABCD 四边形ABCD是直角 梯形 222ABCD ABAD ABADCD F 是AB的中点 E 是PB上 的一点 则下列说法正确的是 A 若2PBPE 则 EF平面PAC B 若2PBPE 则四棱锥PABCD 的体积是三棱锥EACB 体积的 6 倍 C 三棱锥PADC 中有且只有三个面是直角三角形 D 平面BCP 平面ACE 三 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 已知向量 2 am 1 2 b 且ab 则实数m的值是 3 14 已知数列 n a 的前n项和公式为 2 21 n Snn 则数列 n a 的通项公式为 15 在天文学中 天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述 若两颗星的星等与亮度满足 1 2 3 2 1 2 其中星等为 星的亮度为 1 2 1 若 1 10000 2 则 2 1 2 若太阳的星等 是 26 7 天狼星的星等是 1 5 则太阳与天狼星的亮度的比值为 本题第一空 2 分 第二空 3 分 16 设定义域为R R的函数 f x满足 fxf x 则不等式 1 21 x ef xfx 的解集为 四 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤 17 已知函数 f x logkx k 为常数 k 0 且 k 1 1 在下列条件中选择一个 使数列 an 是等比数列 说明理由 数列 f an 是首项为 2 公比为 2 的等比数列 数列 f an 是首项为 4 公差为 2 的等差数列 数列 f an 是首项为 2 公差为 2 的等差数列的前 n 项和构成的数列 2 在 1 的条件下 设 2 1 4 2 1 当 k 2时 求数列 bn 的前 n 项的和Tn 18 已知函数 2 12 3sincos2cosf xxxxm 在 R 上的最大值为 3 1 求 m 的值及函数 fx的单调递增区间 2 若锐角ABC 中角 A B C 所对的边分别为 a b c 且 0fA 求 b c 的取值范围 19 如图 已知四棱锥PABCD 的底面是等腰梯形 AD BC 2AD 4BC 60ABC PAD 为等边三角形 且点P在底面ABCD上的射影为AD的中点G 点E在线段BC上 且 1 3CE EB 1 求证 DE 平面PAD 2 求二面角APCD 的余弦值 4 20 某单位准备购买三台设备 型号分别为 A B C已知这三台设备均使用同一种易耗品 提供设备的商家 规定 可以在购买设备的同时购买该易耗品 每件易耗品的价格为 100 元 也可以在设备使用过程中 随时 单独购买易耗品 每件易耗品的价格为 200 元 为了决策在购买设备时应同时购买的易耗品的件数 该单位 调查了这三种型号的设备各 60 台 调查每台设备在一个月中使用的易耗品的件数 并得到统计表如下所 示 每台设备一个月中使用的易耗品的件数 6 7 8 型号 A 30 30 0 频数 型号 B 20 30 10 型号 C 0 45 15 将调查的每种型号的设备的频率视为概率 各台设备在易耗品的使用上相互独立 1 求该单位一个月中 A B C三台设备使用的易耗品总数超过 21 件的概率 2 以该单位一个月购买易耗品所需总费用的期望值为决策依据 该单位在购买设备时应同时购买 20 件 还是 21 件易耗品 21 已知直线1xy 过椭圆 22 22 10 xy ab ab 的右焦点 且交椭圆于A B两点 线段AB的中点是 2 1 3 3 M 1 求椭圆的方程 2 过原点的直线l与线段AB相交 不含端点 且交椭圆于C D两点 求四边形ACBD面积的最大值 22 已知函数 2 ln1 2 a f xxxxb Ra b 1 当 1b 时 讨论函数 f x的零点个数 2 若 f x在 0 上单调递增 且 2a b ce 求c的最大值 1 1 5 CDAAA 6 8 CBB 9 BC 10 BCD 11 BCD 12 AD 13 1 14 且N nnn a n n 432 21 15 6 16 1 18 1 f xxxm13sin21 cos2 xxmxm 6 3sin2cos22sin 2 2 分 由已知 m23 所以 m1因此 f xx 6 2sin 21 4 分 令 kxkkZ 262 22 2 3 得 kxkkZ 63 2 因此函数fx 的单调递增区间为 kkkZ 63 2 6 分 20172017 级高三第二学期第级高三第二学期第三次质量检测数学试题答案三次质量检测数学试题答案 2 2 由已知 2sin 210 6 A 1 sin 2 62 A 由 0 2 A 得 7 2 666 A 因此 5 2 66 A 所以 3 A 8 分 1 sin 3cossin sin313 2 sinsinsin2tan2 C CC bB cCCCC 10 分 因为为锐角三角形ABC 所以 0 2 2 0 32 C BC 解得 62 C 11 分 因此 3 tan 3 C 那么 1 2 2 b c 12 分 19 1 在等腰梯形ABCD中 点 E 在线段BC上 且 1 3CE EB 点 E 为BC上靠近 C 点的四等分点 由平面几何知识可得DEAD 1 分 点 P 在底面ABCD上的射影为AD的中点 G 连接PG PG 平面ABCD DE 平面ABCD PGDE 2 分 又ADPGG AD 平面PAD PG 平面PAD DE 平面PAD 4 分 2 取BC的中点 F 连接GF 以 G 为原点 GA所在直线为 x 轴 GF 所在直线为 y 轴 GP所在直线为 z 轴 建立空间直角坐标系 如图 由 1 易知 DECB 1CE 又60ABCDCB 3DEGF 2AD PAD 为等边三角形 3PG 则 000G 100A 0 10D 003P 0 23C 33 0AC 1 03AP 1 3 0DC 1 03DP 6 分 设平面APC的法向量为 111 x y z m 3 则 0 0 AC AP m m 即 11 11 330 30 xy xz 令 1 3x 则 1 3y 1 1z 1 3 3 m 8 分 设平面DPC的法向量为 222 x y z n 则 0 0 DC DP n n 即 22 22 30 30 xy xz 令 2 3x 则 2 1y 2 1z 1 1 3 n 10 分 设平面APC与平面DPC的夹角为 则 根号 65 13 二面角APCD 的余弦值为 根号 65 13 12 分 20 1 由题中的表格可知 A 型号的设备一个月使用易耗品的件数为 6 和 7 的频率均为 301 602 B 型号的设备一个月使用易耗品的件数为 6 7 8 的频率均为 301 301 101 602 602 606 C 型号的设备一个月使用易耗品的件数为 7 和 8 的频率均为 453 151 604 604 设该单位一个月中 A B C三台设备使用易耗品的件数分别为 x y z 则 1 6 7 2 P xP x 11 6 7 32 P xP x 131 8 7 8 644 P yP zP z 设该单位三台设备一个月中使用易耗品的件数总数为 X 则 21 22 23 P XP XP X 而 22 6 8 8 7 7 8 7 8 7 P XP xyzP xyzP xyz 1111111137 26422426448 1111 23 7 8 8 26448 P XP xyz 故 711 21 48486 P X 即该单位一个月中 A B C三台设备使用的易耗品总数超过 21 件的概率为 1 6 4 分 2 以题意知 X 所有可能的取值为19 20 21 22 23 5 分 1131 19 6 6 7 2348 P XP xyz 4 20 6 6 8 6 7 7 7 6 7 P XP xyzxyzP xyz 11111311317 23422423448 21 6 7 8 6 8 7 7 6 8 7 7 7 P XP xyzxyzP xyzP xyz 11111311111317 22426423422448 由 1 知 71 22 23 4848 P XP X 7 分 若该单位在肋买设备的同时购买了 20 件易耗品 设该单位一个月中购买易耗品所需的总费用为 1 Y元 则 1 Y 的所有可能取值为2000 2200 2400 2600 1 11723 2000 19 20 84848 P YP XP X 1 17 2200 21 48 P YP X 1 7 2400 22 48 P YP X 1 1 2600 23 48 P YP X 1 231771 20002200240026002142 48484848 EY 9 分 若该单位在肋买设备的同时购买了 21 件易耗品 设该单位一个月中购买易耗品所需的总费用为 2 Y元 则 2 Y 的所有可能取值为2100 2300 2500 2 117175 2100 19 20 21 848486 P YP XP XP X 2 7 2300 22 48 P YP X 2 1 2500 23 48 P YP X 2 571 2100230025002138 64848 EY 11 分 21 EYEY 所以该单位在购买设备时应该购买 21 件易耗品 12 分 21 1 直线1xy 与 x 轴交于点 1 0 所以椭圆右焦点的坐标为 1 0 故1c 1 分 设 1122 A x yB x y 则 1212 42 33 xxyy 21 21 1 yy xx 又 2222 1122 2222 1 1 xyxy abab 所以 2222 2121 22 0 xxyy ab 则 21212121 22 0 xxxxyyyy ab 得 22 2ab 又 222 1abc c 所以 22 2 1ab 因此椭圆的方程为 2 2 1 2 x y 4 分 5 2 联立方程 得 2 2 1 2 1 x y xy 解得 0 1 x y 或 4 3 1 3 x y 5 分 不妨令 41 0 1 33 AB 易知直线 l 的斜率存在 设直线 l ykx 代入 2 2 1 2 x y 得 22 212kx 则 2 2 21 x k 或 2 2 21k 设 3344 C x yD x y 则 2 3 22 4 222 2 212121kk x k x 则 22 34 2 2 2 11 21 CxxDkk k 7 分 41 0 1 33 AB 到直线ykx 的距离分别是 12 22 41 133 11 k dd kk 由于直线 l 与线段 AB 不含端点 相交 所以 41 010 33 kk 即 1 4 k 所以 12 22 444 1 333 11 kk dd kk 9 分 四边形ACBD的面积 1212 2 1114 21 2223 21 k SCD dCD dCD dd k 10 分 令1kt 则 3 4 t 22 21243ktt 2 22 2 4 24 24 21 332433 41243 23 tt S tt tt tt 当 12 3t 即 1 2 k 时 min 4 214 3 2416 33 12 S 符合题意 因此四边形ACBD面积的最大值为 4 3 3 12 分 22 1 当 1b 时 2 ln 2 a f xxxx 定义域为 0 由 0f x 可得 ln 2 ax x 1分 令 ln x g x x 则 2 1ln x gx x 由 0gx 得0ex 由 0gx 得ex 6 所以 g x在 0 e上单调递增 在 e