【2015届备考】2014全国名校数学试题分类解析汇编：F单元　平面向量

1 22 F F 单元单元 平面向量平面向量 目录 F 单元 平面向量 1 F1 平面向量的概念及其线性运算 1 F2 平面向量基本定理及向量坐标运算 1 F3 平面向量的数量积及应用 1 F4 单元综合 1 F1 平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算 数学 理 卷 2015 届浙江省重点中学协作体高考摸底测试 201408 F19 将一圆的六个等分点分成两组相间的三点 它们 所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星 如图所示的正六角星是以原点为中心 其中 分别为原点Ox y 到两个顶点的向量 若将原点到正六角星 12 个顶点的向量 都写成为的形OOa xb y 式 则的最大值为 ab A 2 B 3 C 4 D 5 知识点 向量的表示 分类讨论 答案解析 D解析 解 因为若求的最大值 所以考虑右图中的 6 个顶点之向量即可 ab 讨论如下 1 若 故 OAx 1 0a b 2 若 故 3OBOFFByx 3 1a b 3 若 故 2OCOFFCyx 2 1a b 4 若 223ODOFFEEDyxOCyxyxyx 故 3 2a b 2 22 5 若 故 OEOFFEyx 1 1a b 6 若 故 OFy 0 1a b 因此 的最大值为 故选 D ab 325 思路点拨 根据题意分类讨论即可 数学文卷 2015 届吉林省长春市十一中高二下学期期末考试 201407 F16 设点 是线段的中点 点在直线外 则MBCABC4 BCACABACAB AM A 8B 4C 2D 1 知识点 向量的线性运算性质及几何意义 答案解析 C 解析 解 由 ACABACAB 4 BCBC 而 AM2 故选 C 2ABACAM 思路点拨 先由 又 4 可得答4 BCACABACAB BC 2 AM 案 数学卷 2016 届广东省湛江第一中学高一下学期期末考试 201407 F18 在中 ABC 点是上的点 则 PBCACABAPPCBP 2 3 2 3 1 12 C A 3 1 3 2 21 D B 知识点 向量的共线定理及运算法则 向量相等的条件 答案解析 C 解析 解 如图所示 3 22 2 2 3 BPPCBPBC 2 3 BCACABBPACAB 212 333 APABBPABACABABAC 故选 C 12 33 lm 思路点拨 由 可得 利用向量的运算法则以及向量相等即2BPPC 2 3 BPBC 可得出 数学卷 2016 届广东省湛江第一中学高一下学期期末考试 201407 F15 下列说法正 确的是 A 方向相同或相反的向量是平行向量 B 零向量是0 C 长度相等的向量叫做相等向量 D 共线向量是在一条直线上的向量 知识点 平面向量的基本定义 相等向量与相反向量 平行向量与共线向量 答案解析 B解析 解 因为方向相同或相反的非零向量叫做共线向量 故A错 误 因为 零向量的表示方法是 故B正确 0 因为方向相同 模相等的向量是相等向量 长度相等的向量不一定是相等向量 故C错误 因为方向相同或相反的非零向量叫做共线向量 故D错误 思路点拨 根据平面向量的定义 判定每个命题是否正确 从而得出答案 数学卷 2016 届四川省成都七中高一下学期期末考试 201407 F18 如果将 OA 绕原点逆时针方向旋转得到 则的坐标是 3 1 22 O 0 120OB OB A B C D 13 22 31 22 1 3 3 1 22 知识点 向量间的关系 点的对称性 答案解析 D解析 解 因为 所在直线的倾斜角为 绕原点逆时OA 3 1 22 0 30O 针方向旋转得到所在直线的倾斜角为 所以两点关于轴对称 由此 0 120OB 0 150 A By 4 22 可知点坐标为 故的坐标是 故选D B 3 1 22 OB 3 1 22 思路点拨 将 绕原点逆时针方向旋转得到后可得两点OA 3 1 22 O 0 120OB A B 关于轴对称 据此可得结果 y 数学卷 2016 届云南省玉溪一中高一下学期期末考试 201407 F19 已知 D E F 分别是 ABC 的边 AB BC CA 的中点 则 A 0BDBEFC B 0BDCFDF C 0ADCECF D 0ADBECF 知识点 利用平行四边形法则 三角形法则计算向量的和与差 答案解析 D解析 解 根据题意画图如下 F E D C B A 因为 故A错误 2BDBEFCBDEBCFEDCFCF 因为 故B错误 BDCFDFBDFCDFBFFCBC 因为 故C错误 2ADCECFADCEFCADFEAD 因为 故D正确 0ADBECFDBBECFDECF 故选 D 思路点拨 根据平行四边形法则 三角形法则依次计算每个选项的向量的和与差 然后 做出判断即可 5 22 F2 平面向量基本定理及向量坐标运算平面向量基本定理及向量坐标运算 数学 文 卷 2015 届湖北省部分重点中学高三上学期起点考试 201408 F215 设 且 则 x y R 1 xa r 1 y r b 2 4 r c rr ca r b c rrr a 2bc 知识点 向量的运算 向量的坐标表示 答案解析 解析 解 因为 又因为20 1 xa r 1 y r b 2 4 r c 所以 即 故 又因为 所以 rr ca240 x 2x 2 1 a bc 1420y 即 2y 故 则 故答案为 1 2 b 1 2 2 122 420 a 2bc20 思路点拨 先利用 解出的值 再进行坐标运算即可 rr ca r b c x y 数学卷 2016 届广东省湛江第一中学高一下学期期末考试 201407 F2F3F2F31818 本小题 本小题 满分满分 14 分 分 如图 在平行四边形中 ABCD3AB 2BC 与的夹角为 1 e AB AB 2 e AD AD ABAD 3 1 若 求 的值 21 eyexAC xy 2 求的值 BDAC 3 求与的夹角的余弦值 ACBD 知识点 平面向量基本定理 模长及夹角 平面向量的数量积运算 6 22 答案解析 1 2 3 3 2xy 3 p5 133 133 解析 解 1 3AB 2BC 1 AB e AB 2 AD e AD 1212 32ACABBCeexeye 3 2xy 2 由向量的运算法则知 21 23BDADABee 22 212121 2323495AC BDeeeeee 3 与的夹角为 与的夹角为 又 1 AB AD 3 p 1 e 2 e 3 p 1 e 2 e AC AD AB 21 23ee 22 2112 491219eee e BD ADAB 21 23ee 22 2112 49127eee e 设与的夹角为 可得 cos AC BD 55 133 133197 AC BD AC BD 与的夹角的余弦值为 AC BD 5 133 133 思路点拨 1 由平行四边形法则得 而 分别是 ACABBC 1 e 2 e AB 方向上的单位向量 再结合数乘运算 平面向量基本定理中的 唯一性 不AD 难求出 xy 2 由题意可以 为基底 将及用基底表示 再利用内积的定义AB AC AC BD 及运算可求得的值 AC BD 3 直接套用夹角公式计算 cos AC BD AC BD q 数学卷 2016 届广东省湛江第一中学高一下学期期末考试 201407 F2F3F2F31616 本小题 本小题 满分满分 1212 分 分 已知 当为何值时 2 3 2 1 bak 与垂直 bak 1 ba 3 与平行 平行时它们是同向还是反向 bak 2 ba 3 7 22 知识点 向量的坐标运算 向量垂直的充要条件 向量的坐标形式的数量积公式 向 量共线的坐标形式的充要条件 答案解析 1 2 解析 解 kab 1 2 3 2 3 22 kkk 31 233 2104ab 1 得 kab 3ab kab 3ab 解得 103422380kkk 19k 2 得 此时 kab 3ab 4310 22kk 1 3 k kab 所以方向相反 10 41 10 4 333 思路点拨 1 先求出与的坐标 kab 3ab 1 利用向量垂直的充要条件 数量积为 列出方程求出 0k 2 利用向量共线的坐标形式的充要条件 坐标交叉相乘相等 列出方程求出 将 k 代入两向量的坐标 判断出方向相反 k 数学卷 2016 届广东省湛江第一中学高一下学期期末考试 201407 F210 若是 一组基底 向量则称为向量在基底下的坐标 现已 Ryxyx yx 知向量在基底下的坐标为 则向量在另一组基底a 1 2 1 1 qp 2 2 a 下的坐标为 2 1 1 1 nm 0 2 A 2 0 B 0 2 C 2 0 D 知识点 平面向量的基本定理及其意义 答案解析 D 解析 解 由条件可得 222 24 22 4apq 设 则由 1 11 2 2amnlmlmlmlm 2 24lmlm 解得 0 2lm 向量在另一组基底下的坐标为 a 2 1 1 1 nm 0 2 故选 D 思路点拨 利用向量基底的定义及向量的坐标运算求出 设出在另一组基底a a 8 22 下的坐标 利用坐标运算求出的坐标 列出方程求出 a 数学卷 2016 届四川省成都七中高一下学期期末考试 201407 F2E510 如图 在直角 梯形中 点在阴影区域 含边界 中运动 则有ABCD1 2DAABBC P 的取值范围是 PA BD A A B C D 1 1 2 1 1 2 1 1 1 0 知识点 向量的坐标表示 简单的线性规划 答案解析 C解析 解 以BC所在的直线为轴 以BA所在的直线为轴建立坐标xy 系 如下图 可得 设 所以 令 0 0B 2 0C 0 1A 1 1D P x y1PA BDxy A 由几何意义可知z表示y轴上的负截距 可知过时有最大值1 与1zxy 0 0B DC重合时有最小值 故答案为 1 1 1 思路点拨 建立坐标系后用坐标表示出后再借助于线性规划求得最值 PA BD A 数学卷 2016 届四川省成都七中高一下学期期末考试 201407 F26 平面上三 A B C 9 22 点不共线 是不同于的任意一点 若 则的O A B C 0OBOCABAC AABCD 形状是 A 等腰 B Rt C 等腰直角 D 等边DDDD 知识点 向量的基本运算 中垂线定理 答案解析 A解析 解 根据题意画出图形为 设BC中点为E点 是不同于ABCDO 的任意一点 即 所以是的中 A B C 0OBOCABAC A20CBAE AEBC 垂线 所以 故是等腰 故选A ABAC ABCDD E CB A 思路点拨 画出图形后利用已知条件得到 然后再利用中垂线的性质即可 20CBAE 数学卷 2016 届四川省成都七中高一下学期期末考试 201407 F22 已知 A B C 是 直线 上三点 M 是直线 外一点 若则满足的关系是 ll MAxMByMC x y A 0 B C D xy 1xy 1xy 综上 11 分4 2 k4 4 3 2 k 或 2 3 2 k2 2 3 k 2 2 3 2 3 2 k 思路点拨 求出椭圆的 a b c P 是第一象限内该椭圆上的一点设为 00 y xP 利用 以及 P 在椭圆上 求点 P 的坐标 12 5 4 PF PF 设过定点M 0 2 的直线l方程为y kx 2 A x1 y1 B x2 y2 与椭圆联立 注意到交于不同的两点A B 且 AOB为锐角 其中O为作标原点 就是0D 利用韦达定理 代入化简 求直线l的斜率k的取值范围 0 OBOA 数学文卷 2015 届吉林省长春市十一中高二下学期期末考试 201407 F310 在椭圆 上有两个动点 为定点 则的最小值为1 936 22 yx QP 0 3EEQEP QPEP A 6 B C 9 D 33 3612 知识点 向量在几何中的应用 答案解析 A 解析 解 设 则1 936 22 yx 即 P x y 2 2 9 4 x y EQEP 2 cosEP QPEPQPEPQEP 而 2 22 3 3 4 EPxy 2 4 6x 66x 15 22 当时 有最小值 6 故选 A 4x 2 22 3 3 4 EPxy 2 4 6x 思路点拨 根据 和向量的数量积的几何意义 得 EQEP 设出点 P的坐标 利用两点间距离公式求出 2 cosEP QPEPQPEPQEP EP2 根据点 P在椭圆上 代入消去 y 转化为二次函数求最值问题 即可解得结 果 典型总结 此题考查了向量在几何中的应用 以及向量数量积的几何意义 和椭 圆的有界性 二次函数求最值等基础知识 注意椭圆的有界性 考查学生灵活应用 知识分析解决问题的能力 数学文卷 2014 届西藏自治区高三最后一次模拟统一考试 201405 F38 已知 若与垂直 则 3 2 1 2 ba bak ba 2 k A 2 B C D 4 25 4 27 3 25 知识点 平面向量数量积的运算 答案解析 D 解析 解 4 3 1 3 2 1 2 ba 与垂直 0 bak ba 2 bak ba 2 k 1 2k 0 5k 26 1 2k 0 k 故选 D 思路点拨 由向量垂直的条件 数量积为0 列出方程 求出k即可 数学卷 2016 届广东省湛江第一中学高一下学期期末考试 201407 F3C6B3F3C6B320 本 本 小题满分小题满分 14 分 其中第 分 其中第 1 2 问文理科学生都要做 第 问文理科学生都要做 第 3 问按题目要求分文理来做 问按题目要求分文理来做 已知为坐标原点 向量 点是直O 1 sin OA 0 cos OB 2 sin OCP 线上的一点 且 ABBPAB 1 求点的坐标 用表示 P 2 若三点共线 求以线段为邻边的平行四边形的对角线长 CPO OBOA 3 3 文科生做 文科生做 记函数 且 求 的值 CABPf 5 23 2 f 2sin 16 22 3 3 理科生做 理科生做 记函数 讨论函数的单调性 并求BPf CA 2 8 f 其值域 知识点 向量的数量积公式 向量的坐标表示 二倍角公式 函数的单调性与值域 答案解析 1 2 3 函数单调 2cossin 1aa 74 5 26 5 8 8 p p a 递增 函数单调递减 值域为 8 2 p p a 1 2 解析 解 1 设点 P 的坐标为 则 x y cossin 1ABaa cos BPxya ABBP cossincos 1xyaaa 点 P 的坐标为 2cossin 1xyaa 2cossin 1aa 2 由三点共线知 CPO OPOC 1sin22cossinaaa sin4 tan cos3 a a a 222 2sincos2tan24 2sincos sincostan125 aaa aa aaa 274 sincos12sincos2 5 OA OBaaaa 226 sincos122sincos 5 OA OBaaaa 所以以线段为邻边的平行四边形的对角线长分别为 OBOA 74 5 26 5 3 文科 cossin 1 2sin 1BPCAaaa 2sincossin1sin2cos22sin 2 4 f p aaaaaaa 又 3 23 23 2sin sin 254545 f qpp qq 2 7 sin2cos2cos21 2sin 24425 ppp qqqq 3 理科 cossin 1 2sin 1BPCAaaa 17 22 2sincossin1sin2cos22sin 2 4 f p aaaaaaa 5 20 8 244 p ppp aa 即函数单调递增 20 42 pp a 8 8 p p a 即函数单调递减 5 2 424 ppp a 8 2 p p a 且 2 sin 2 1 2sin 21 2 424 pp aa 的值域为 fa 1 2 思路点拨 1 设点 P 的坐标为 然后利用可得点 P 的坐标 x yABBP 2 由三点共线 得到后在计算出以及即可 CPO OPOC tanaOA OB OA OB 3 文科 由与可化简 再结合即可 BP CA fa 3 2 25 f q 3 理科 由与可化简 即可求出单调性及值域 BP CA fa 数学卷 2016 届广东省湛江第一中学高一下学期期末考试 201407 F2F3F2F31818 本小题 本小题 满分满分 14 分 分 如图 在平行四边形中 ABCD3AB 2BC 与的夹角为 1 e AB AB 2 e AD AD ABAD 3 1 若 求 的值 21 eyexAC xy 2 求的值 BDAC 3 求与的夹角的余弦值 ACBD 18 22 知识点 平面向量基本定理 模长及夹角 平面向量的数量积运算 答案解析 1 2 3 3 2xy 3 p5 133 133 解析 解 1 3AB 2BC 1 AB e AB 2 AD e AD 1212 32ACABBCeexeye 3 2xy 2 由向量的运算法则知 21 23BDADABee 22 212121 2323495AC BDeeeeee 3 与的夹角为 与的夹角为 又 1 AB AD 3 p 1 e 2 e 3 p 1 e 2 e AC AD AB 21 23ee 22 2112 491219eee e BD ADAB 21 23ee 22 2112 49127eee e 设与的夹角为 可得 cos AC BD 55 133 133197 AC BD AC BD 与的夹角的余弦值为 AC BD 5 133 133 思路点拨 1 由平行四边形法则得 而 分别是 ACABBC 1 e 2 e AB 方向上的单位向量 再结合数乘运算 平面向量基本定理中的 唯一性 不AD 难求出 xy 2 由题意可以 为基底 将及用基底表示 再利用内积的定义AB AC AC BD 及运算可求得的值 AC BD 3 直接套用夹角公式计算 cos AC BD AC BD q 19 22 数学卷 2016 届广东省湛江第一中学高一下学期期末考试 201407 F2F3F2F31616 本小题 本小题 满分满分 1212 分 分 已知 当为何值时 2 3 2 1 bak 与垂直 bak 1 ba 3 与平行 平行时它们是同向还是反向 bak 2 ba 3 知识点 向量的坐标运算 向量垂直的充要条件 向量的坐标形式的数量积公式 向 量共线的坐标形式的充要条件 答案解析 1 2 解析 解 kab 1 2 3 2 3 22 kkk 31 233 2104ab 1 得 kab 3ab kab 3ab 解得 103422380kkk 19k 2 得 此时 kab 3ab 4310 22kk 1 3 k kab 所以方向相反 10 41 10 4 333 思路点拨 1 先求出与的坐标 kab 3ab 1 利用向量垂直的充要条件 数量积为 列出方程求出 0k 2 利用向量共线的坐标形式的充要条件 坐标交叉相乘相等 列出方程求出 将 k 代入两向量的坐标 判断出方向相反 k 数学卷 2016 届广东省湛江第一中学高一下学期期末考试 201407 F39 对于非零向 量 下列命题中正确的是 ba 在上的投影为 或abaA b a00 abaB0 b 2 bababaC bacbcaD 知识点 平面向量数量积的运算 平面向量的基本定理及其意义 数量积表示两个 向量的夹角 答案解析 C 解析 解 对于 A 在上的投影为 当时 a bcos a b a b q ab 20 22 命题 A 错误 cos1q cosaaq 对于 B 是非零向量 且消去律不成立 命题 B 错误 a b 对于 C 命题 C 正确 ab 0a b 2 a ba b 对于 D 向量的数量积中消去律不成立 命题 D 不成立 故选 C 思路点拨 利用平面向量的投影公式 运算律 垂直的性质求解 数学卷 2016 届四川省成都七中高一下学期期末考试 201407 F319 已知向量 向量 1 cos sinpaa 2 cos sinpbb 1 求在方向上的投影 1 p 2 p 2 求的最大值 12 2pp 3 若 求 3 p ab Rl 12 n n appl 12 nn Saaa n S 知识点 向量的数量积公式 向量的坐标表示 分类讨论的思想方法 等比数列求和 答案解析 1 2 3 3 cos ab 2 1 1 2 2 2 n n n S l ll l l 解析 解 1 3 分 12 12 2 cos pp pp p 在方向上的投影为 2 2 1212 2 5 4cos 9 2 3pppp 当 即当时 7 分cos 1 2 kkZ 12 max 2 3pp 3 9 分 12 cos 1 2 3 nn n n n app a 12 111 222 n n S 21 22 12 分 2 11 1 22 20 1 1 2 0 0 n n n