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文档简介

传染病模型 稳定性理论 传染病的随机感染模型 在人群中有病人 带菌者 和健康人 易感人群 任何两个人之间的接触都是随机的 当然健康人 与非健康人之间的接触时是否被感染也是随机的 这时如何估计平均每天有多少健康人被感染 接触概率 感染概率 总的感染人数 一个健康人被其他的所有病人感染的概率 一个健康人被一名指定病人感染的概率 人群中只分为健康人和病人两种 人群中任何两人的接触是相互独立的 每人 当一健康人与一病人接触时 健康人被感染 的概率为 模型假设 接触概率 接触人数服从二项分布 感染概率 一健康人被一指定病人感染的概率 一健康人被感染的概率 健康人被感染的人数也服从二项分布 每天被 感染的人数也服从二项分布 离散 连续 变化是时间的函数 人群中只分为健康人和病人两种或者易感染者 Susceptible 和已感染者 Infective 病人数和健 康人数在总人数中所占比例分别记为 人群中任何两人的接触是相互独立的 每个病 人平均每天的有效接触为常数 变化最大 具有免疫性SIR 不具有免疫性SIS 随着时间的变化 如何变化 单调递增 单调递减 则 0 则 先单调递增 达到最大值 减小且趋向于零 单调递增 单调递减 减小且趋向于零 单调递减至 稳定性理论 设微分方程 方程右边不显含自变量 称之为自治方程 的实根 显然也是该方程的解 称为 方程的平衡点 奇点 如果存在某个邻域 使得该方程的解在邻域内的某 满足 则称平衡点为 稳定点 主要利用直接法 若 若 的两个实根 称为该微分方程的平衡点 则称该点为稳定点 是非线性 这时应用泰勒公式 只保留其线 性主部 而这时的新方程和原来的方程有相同的稳定性 当特征根为负数或者有负实部时 该点为稳定 点 否则该点为非稳定点 感谢
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