人教A版必修二 第四章 §4.3　空间直角坐标系 课件（36张）.pptx

4 3空间直角坐标系 第四章圆与方程 学习目标1 了解空间直角坐标系 会用空间直角坐标系刻画点的位置 2 掌握空间两点间的距离公式 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一空间直角坐标系 答案空间直角坐标系需要三个坐标轴 它们之间两两相互垂直 思考空间直角坐标系需要几个坐标轴 它们之间有什么关系 梳理 1 空间直角坐标系及相关概念 空间直角坐标系 从空间某一定点引三条两两垂直 且有相同单位长度的数轴 这时我们说建立了一个 相关概念 叫做坐标原点 叫做坐标轴 通过 的平面叫做坐标平面 分别称为平面 平面 平面 2 右手直角坐标系在空间直角坐标系中 让右手拇指指向的正方向 食指指向的正方向 如果中指指向的正方向 则称这个坐标系为右手直角坐标系 x轴 y轴 z轴 空间直角坐标系oxyz 点o x轴 y轴 z轴 每两 个坐标轴 xoy yoz zox x轴 y轴 z轴 3 空间一点的坐标空间一点m的坐标可以用来表示 叫做点m在此空间直角坐标系中的坐标 记作 其中叫做点m的横坐标 叫做点m的纵坐标 叫做点m的竖坐标 有序实数组 x y z 有序实数组 x y z m x y z x y z 1 空间两点间的距离公式 1 在空间中 点p x y z 到坐标原点o的距离 op 2 在空间中 p1 x1 y1 z1 与p2 x2 y2 z2 的距离 p1p2 2 空间中的中点坐标公式在空间直角坐标系中 若a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 则线段ab的中点坐标是 知识点二空间两点间的距离 1 空间直角坐标系中 在x轴上的点的坐标一定是 0 b c 的形式 2 空间直角坐标系中 在xoz平面内的点的坐标一定是 a 0 c 的形式 3 关于坐标平面yoz对称的点其纵坐标 竖坐标保持不变 横坐标相反 思考辨析判断正误 题型探究 例1如图 在棱长为1的正方体abcd a1b1c1d1中 m在线段bc1上 且 bm 2 mc1 n是线段d1m的中点 求点m n的坐标 类型一求空间中点的坐标 解答 解如图 过点m作mm1 bc于点m1 连接dm1 取dm1的中点n1 连接nn1 由 bm 2 mc1 因为m1m dd1 反思与感悟1 建立空间直角坐标系时 应遵循的两个原则 1 让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上 2 充分利用几何图形的对称性 2 求某点m的坐标的方法作mm 垂直平面xoy 垂足m 求m 的横坐标x 纵坐标y 即点m的横坐标x 纵坐标y 再求m点在z轴上射影的竖坐标z 即为m点的竖坐标z 于是得到m点的坐标 x y z 3 坐标平面上的点的坐标特征xoy平面上的点的竖坐标为0 即 x y 0 yoz平面上的点的横坐标为0 即 0 y z xoz平面上的点的纵坐标为0 即 x 0 z 4 坐标轴上的点的坐标特征x轴上的点的纵坐标 竖坐标都为0 即 x 0 0 y轴上的点的横坐标 竖坐标都为0 即 0 y 0 z轴上的点的横坐标 纵坐标都为0 即 0 0 z 跟踪训练1已知正四棱锥p abcd的底面边长为侧棱长为13 建立的空间直角坐标系如图 写出各顶点的坐标 解答 例2在空间直角坐标系中 已知点p 2 1 4 1 求点p关于x轴对称的点的坐标 解答 解由于点p关于x轴对称后 它在x轴的分量不变 在y轴 z轴的分量变为原来的相反数 所以对称点坐标为p1 2 1 4 类型二空间中点的对称问题 2 求点p关于xoy平面对称的点的坐标 解答 解由点p关于xoy平面对称后 它在x轴 y轴的分量不变 在z轴的分量变为原来的相反数 所以对称点坐标为p2 2 1 4 3 求点p关于点m 2 1 4 对称的点的坐标 解答 解设对称点为p3 x y z 则点m为线段pp3的中点 由中点坐标公式 可得x 2 2 2 6 y 2 1 1 3 z 2 4 4 12 所以p3的坐标为 6 3 12 反思与感悟 1 空间中点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题 要掌握对称点的变化规律 才能准确求解 2 对称点的问题常常采用 关于谁对称 谁保持不变 其余坐标相反 这个结论 跟踪训练2已知点p 2 3 1 关于坐标平面xoy的对称点为p1 点p1关于坐标平面yoz的对称点为p2 点p2关于z轴的对称点为p3 则点p3的坐标为 解析 答案 2 3 1 解析点p 2 3 1 关于坐标平面xoy的对称点p1的坐标为 2 3 1 点p1关于坐标平面yoz的对称点p2的坐标为 2 3 1 点p2关于z轴的对称点p3的坐标是 2 3 1 命题角度1求空间两点间的距离例3已知 abc的三个顶点a 1 5 2 b 2 3 4 c 3 1 5 1 求 abc中最短边的边长 解答 类型三空间中两点间的距离问题 2 求ac边上中线的长度 解答 反思与感悟求空间两点间的距离的方法求空间两点间的距离时 一般使用空间两点间的距离公式 应用公式的关键在于建立合适的坐标系 确定两点的坐标 确定点的坐标的方法视具体题目而定 一般来说 要转化到平面中求解 有时也利用几何图形的特征 结合平面直角坐标系的知识确定 跟踪训练3已知三点a 1 0 1 b 2 4 3 c 5 8 5 则a 三点构成等腰三角形b 三点构成直角三角形c 三点构成等腰直角三角形d 三点构不成三角形 解析 答案 命题角度2空间两点间距离公式的应用例4 1 已知点a 1 t 1 t t b 2 t t 则 ab 的最小值为 解析 答案 2 已知点a 0 1 0 b 1 0 1 c 2 1 1 若点p x 0 z 满足pa ab pa ac 试求点p的坐标 解答 解 pa ab pab为直角三角形 pb 2 pa 2 ab 2 即 x 1 2 z 1 2 x2 1 z2 1 1 1 即x z 1 又 pa ac pac为直角三角形 pc 2 pa 2 ac 2 即 x 2 2 1 z 1 2 x2 1 z2 4 0 1 即2x z 0 点p的坐标为 1 0 2 反思与感悟利用空间两点间的距离公式 将空间距离问题转化为二次函数的最值问题 体现了数学上的转化思想和函数思想 此类题目的解题方法是直接设出点的坐标 利用距离公式就可以将几何问题代数化 分析函数即可 跟踪训练4已知点a 4 5 6 b 5 0 10 在z轴上有一点p 使 pa pb 则点p的坐标为 解析 答案 解析设p 0 0 z 由 pa pb 0 0 6 解得z 6 点p的坐标为 0 0 6 达标检测 1 2 3 4 1 在空间直角坐标系中 点p 1 2 3 到平面yoz的距离是a 1b 2c 3d 答案 5 1 2 3 4 5 2 以棱长为1的正方体abcd a1b1c1d1的棱ab ad aa1所在的直线为坐标轴 建立空间直角坐标系 如图所示 则正方形aa1b1b的对角线的交点坐标为 解析由题图得a 0 0 0 b1 1 0 1 所以对角线的交点即为ab1的中点 解析 答案 解得x 1 所以点p的坐标为 1 0 0 或 1 0 0 1 2 3 4 5 3 设点p在x轴上 它到点p1 0 3 的距离为到点p2 0 1 1 的距离的两倍 则点p的坐标为a 1 0 0 b 1 0 0 c 1 0 0 或 0 1 0 d 1 0 0 或 1 0 0 解析因为点p在x轴上 所以设点p的坐标为 x 0 0 由题意 知 pp1 2 pp2 解析 答案 1 2 3 4 5 4 如图 在空间直角坐标系中 有一棱长为a的正方体abcd a b c d a c的中点e与ab的中点f的距离为 解析 a a 0 a c 0 a 0 a a 0 0 b a a 0 解析 答案 1 2 3 4 5 5 点p 1 1 1 关于xoy平面的对称点p1的坐标为 点p关于z轴的对称点p2的坐标为 答案 1 1 1 1 1 1 解析点p 1 1 1 关于xoy平面的对称点p1的坐标为 1 1 1 点p关于z轴的对称点p2的坐