2012届高考数学一轮复习 第9单元第54讲 空间距离及其计算、折叠问题课件 理 湘教版

第54讲空间距离及计算 折叠问题 1 了解空间各种距离的概念 掌握求空间距离的一般方法 2 能熟练地将直线与平面之间的距离 两平行平面之间的距离转化为点到平面的距离 3 了解折叠问题的基本内涵 掌握分析求解折叠问题的基本原则 1 在长方体ABCD A1B1C1D1中 若AB BC a AA1 2a 则点A到直线A1C的距离为 C A aB aC aD a 解析 如图 点A到直线A1C的距离 即为Rt A1AC斜边上的高AE 由AB BC a 得AC a 又AA1 2a 所以A1C a 所以AE a 2 在正三棱柱ABC A1B1C1中 若AB 2 AA1 1 则点A到平面A1BC的距离为 B A B C D 解析 取BC的中点M 连接AM A1M 可证平面A1AM 平面A1BC 作AH A1M 垂足为H 则AH 平面A1BC 在Rt A1AM中 AA1 1 AM A1M 2 故AH 3 如图 四边形ABCD中 AD BC AD AB BCD 45 BAD 90 将 ABD沿BD折起 使平面ABD 平面BCD 构成几何体ABCD 则在几何体ABCD中 下列命题中正确的是 D A 平面ABD 平面ABCB 平面ADC 平面BCDC 平面ABC 平面BCDD 平面ADC 平面ABC 解析 由已知BA AD CD BD 又平面ABD 平面BCD 所以CD 平面ABD 从而CD AB 又BA AD 故AB 平面ADC 又AB 平面ABC 所以平面ABC 平面ADC 4 正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a E F分别是B1C1 BB1的中点 则 1 直线EF与平面D1AC1的距离是 2 平面AB1D1与平面C1BD间的距离是 解析 1 易知EF 平面D1AC1 过E作EH BC1H 因为D1C1 平面BB1C1C 所以D1C1 EH 故EH 平面D1AC1 从而EF与平面D1AC1的距离为EH a 2 因为平面AB1D1 平面C1BD 连接A1C 设A1C分别与平面AB1D1和平面C1BD交于O1 O2 则为所求距离 且O1O2 A1C a 一 空间距离1 两点间的距离 连接两点的 的长度 2 点到直线的距离 从直线外一点向直线引垂线 的长度 3 点到平面的距离 自点向平面引垂线 的长度 4 平行直线间的距离 从两条平行线中的一条上任意取一点向另一条直线引垂线 的长度 线段 点到垂足之间线段 点到垂足间线段 点到垂足间线段 5 异面直线间的距离 两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的 的长度 6 直线与平面间的距离 如果一条直线和一个平面平行 从这条直线上任意一点向平面引垂线 的长度 7 两平行平面间的距离 夹在两平行平面之间的 的长度 线段 这点到垂足间线段 公垂线段 二 求距离的一般方法与步骤 一 传统方法1 两点间距离 点到直线的距离和两平行线间的距离其实是平面几何中的问题 可用 求解 2 平行直线与平面间的距离 平行平面间的距离可归结为求 的距离 3 求距离的基本步骤是 找出或作出有关距离的图形 证明它符合定义 在平面图形内计算 平面几何方法 点面间 三 折叠问题1 概念 将平面图形沿某直线翻折成立体图形 再对折叠后的立体图形的线面位置关系和某几何量进行论证和计算 就是折叠问题 2 折叠问题分析求解原则 1 折叠问题的探究须充分利用不变量和不变关系 2 折叠前后始终位于折线的同侧的几何量和位置关系保持 不变 题型一用基本法求空间距离 评析 点到平面的距离是有关距离的重点 它主要由两种方法求得 1 用定义直接作出这段距离 经论证再计算 即 找 作 证 算 2 等积法 转化为锥体的高 用锥体的体积公式求解 题型二用向量法求空间距离 则 评析 由上可知 用向量求立体几何中有关距离的问题 不但可以减少一些辅助线的添加 而且求解简捷 利用向量法求点到平面的距离的步骤如下 1 求出该平面的一个法向量n 2 找出以该点及平面内的某点为端点的线段对应的向量a 3 利用公式d 求距离 题型三折叠问题 例3在直角梯形ABCD中 D BAD 90 AD DC AB a 如图 将 ADC沿AC折起 使D到D 记平面ACD 为 平面ABC为 平面BCD 为 如图 1 若二面角 AC 为直二面角 求二面角 BC 的大小 2 若二面角 AC 为60 求三棱锥D ABC的体积 解析 1 在直角梯形ABCD中 由已知 DAC为等腰直角三角形 所以AC a CAB 45 过点C作CH AB 由AB 2a 可推得AC BC a 所以AC BC 取AC的中点E 连接D E 则D E AC 又二面角 AC 为直二面角 所以D E 又因为BC 平面 所以BC D E 所以BC 而D C 所以BC D C 所以 D CA为二面角 BC 的平面角 由于 D CA 45 所以二面角 BC 的大小为45 2 取AC的中点E 连接D E 再过点D 作D O 垂足为O 连接OE 因为AC D E 所以AC OE 所以 D EO是二面角 AC 的平面角 所以 D EO 60 在Rt D OE中 D E AC a D O sin60 D E a 所VD ABC S ABC D O AC BC D O a a a a3 评析分析求解折叠问题的关键是分辨折叠前后的不变量和不变关系 在求解过程中充分利用不变量和不变关系 素材3如图 已知四边形ABCD是上 下底边长分别为2和6 高为3的等腰梯形 如图 将它沿对称轴OO1折成直二面角 如图 1 证明 AC BO1 2 求二面角O AC O1的正弦值 解析 方法1 1 证明 由题设知 OA OO1 OB OO1 所以 AOB是所折成的直二面角的平面角 即OA OB 从而AO 平面OBCO1 OC是AC在面OBCO1内的射影 因为tan OO1B tan O1OC 所以 OO1B 60 O1OC 30 从而OC BO1 由线面垂直得AC BO1 2 由 1 知 AC BO1 OC BO1 知BO1 平面AOC 设OC O1B E 过点E作EF AC于F 连接O1F 则EF是O1F在平面AOC内的射影 由线面垂直得AC O1F 所以 O1FE是二面角O AC O1的平面角 由已知 OA 3 OO1 O1C 1 所以O1A 2 AC 从而O1F 又O1E OO1 sin30 所以sin O1FE 方法2 1 证明 由题设知OA OO1 OB OO1 所以 AOB是所折成的直二面角的平面角 即OA OB 故可以O为原点 OA OB OO1所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 如右图 则相关各点的坐标是 2 因为 3 0 所以BO1 OC 由 1 知AC BO1 AC OC C 所以BO1 平面OAC 所以是平面OAC的一个法向量 设n x y z 是平面O1AC的一个法向量 n 0 3x y z 0n 0y 0 由 得 取z 得n 1 0 设二面角O AC O1的大小为 由n 的方向可知 n 所以cos cos n 则sin 即二面角O AC O1的正弦值为 n 1 对于空间中的距离 我们主要研究点到平面的距离 直线和平面的距离及两个平行平面之间的距离 其重点是点到直线 点到平面的距离 点到平面的距离要注意其作法 一般要利用面面垂直的性质来做 求点到平面的距离也可以用等体积法 2 求距离传统的方法和步骤是 一作 二证 三计算 即先作出表示距离的线段 再证明它是所求的距离 然后再计算 其中第二步证明易被忽略 应当引起重视 3 用向量法求距离 方便快捷 应注意掌握 一般转化为点面距离后 按如下步骤操作 1 求出平面的法向量n 2 找出以该点及面内某点为端点的线段对应的向量a 3 代