【毕业学位论文】（Word原稿）建构理论指导下的三角函数概念教学探究-学科教学•数学

分类号： 64 单位代码： 10636 密 级： 公 开 学 号： 专业学位硕士论文 中文论文题目 ： 建构理论指导下的三角函数概念教学探究 英 文 论 文 题 目 ： F O 论文作者 ： 胡敏 指导教师 ： 马岷兴 教授 专业学位类别 ： 教育硕士 专业领域 ： 学科教学 数学 论文形式： 所在学院： 四川师范大学数学 与软件科学 学院 论文提交 日期 ： 2013 年 3 月 20 日 论文答辩日期 ： 2013 年 5 月 26 日 I 四川师范大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交学位论文 建构理论指导下的三角函数概念教学探究 ，是本人在导师 马岷兴 指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本声明的法律结果由本人承担。 本人承诺：已提交的学位论文电子版与论文纸本的内容一致。如因不符而引起的学术声誉上的损失由本人自负。 学位论文作者： 签字日期： 2013 年 3 月 25 日 四川师范大学学位论文版权使用授权书 本人同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管理规定： 学校作为申请学位的条件之一 ，学位论文著作权拥有者须授权所在大学拥有学位论文的部分使用权，即： 1）已获学位的研究生必须按学校规定提交印刷版和电子版学位论文， 可以 将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 供 检索； 2）为教学、 科研 和学术交流 目的，学校可以将公开的学位论文或解密后的学位论文作为资料在图书馆、资料室等场所或在 有关 网 络 上供阅读、浏览。 本人授权万方数据电子出版社将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务。同意按相关规定享受相关权益。 （保密的学位论文在解密后适用本授权书） 学位论文作者签名 ： 导师签名： 签字日期： 2013 年 3 月 25 日 签字日期： 年 月 日 构理论指导下的三角函数概念教学探究 学科教学（数学）专业 研究生 胡敏 指导教师 马岷兴 摘要 随着社会的发展与进步，生活、生产实践向劳动者提出了更高的数学文化素质。伴随着新世纪数学新课程 改革的进程，在以人为本和素质教育的教育教学理念下如何因材而宜、因人而宜地实施科学有效、事半功倍的教学呢？它需要一种理论来支持它，而皮亚杰 提 出的建构理论正是一种影响力大而又十分科学有效的理论。 在此理论的指导下，如何创新教学模式进行高效率的课堂教学呢？ 本人采用文献研究法和访谈调查法，对建构理论指导下的三角函数概念教学进行了探究。 在论文的第一部分，从社会进步与时代发展、新课程改革、三角函数在教材中的地位及变化说明了对三角函数概念教学进行探究的必要性，交代了本论文的探究问题及意义： 在新理论与建构理论的指导下如何对三角函数概念进行科学有效地课堂教学？ 影响学生学习三角函数概念的因素有哪些？ 在文章的第二部分，介绍了国内、 国外的三角函数教学内容与教学要求，以及国内外对三角函数概念教学的研究。在论文的第三部分，介绍了皮亚杰提出的建构理论：学习不是被动吸收而是学习者主动建构知识的意义的过程，叙述了 建构理论的教学观、学习观、学生观与 （ 1）建构理论的实质是：学习者建构自己关于客观世界的主观知识与概念，使得它们与社会所接受的概念与知识相反应，建构理论的属性是协作、情境、会话与意义建构。（ 2）建构理论对教学认为：老师与学生都在质疑对方的观点， 试图重新给予解释，接受或拒绝，但是并不忽视这些观点。 （ 3）建构理论对学生认为：学生已经形成一定的经验与知识，他们在建构的过程中，现有的知识经验起着决定性的作用。 在论文的第四部分，介绍了数学概念的产生与发展，以及数学概念教学的二变性理论与建构理论： （ 1） 数学概念的形成要经历：活动、过程、对象与图示四个阶段。 （ 2） 概念的认知结构是建立事物的本质属性，归纳入变式中，叙述这些内容。 （ 3） 论下的数学概念教学要让学生感受情境，揭示过程；把握过程与对象的双重性；把握本质，形成图式。 在论文的第 五部分，设计了三角函数概念教学的实践探索：活动、过程、对象与图示四阶段的 过程。在论文的第六部分，总结了探究的结论、不 及启示。 （ 1）保持教学的连续性。（ 2）对情境的引导深化，延伸拓展与提炼。（ 3）重视概念教学的过程阶段。（ 4）概念建立的反复性与螺旋式。 关键词 ：新课程改革 ； 高中数学 ； 三角函数 ； 数学概念教学 。 of to in in of to to It a to is a of to In of of in s of on in to of of In of to In of is (1) a by (2) on s of to or do (3) of a in of a In of of (1) of to (2) V of is of a (3) of to In of In of (1) of (2) to of (3) to (4) 录 摘要 .次 一章 绪 论 1 究 的必要性 . 改革数学教育是社会进步和时代发展的要求 . 课程改革 . 三角函数在高中数学中的地位 . 课程改革前后三角函数的变化 .究问题 .究意义 .二章 三角函数 概念 教学 探究 现 状 5 角函数的产生与发展 内研究现状 . 课程改革前后三角函数教学内容的异同 5 高中三角函数概念教学的研究 6 外研究现状 7 外的三角函数教学内容和教学要求 8 外对三角函数概念教学的研究 8 第三章 建构 理论 概述 .构 理论 的产生与发展 .构 理论 的研究现状 .构 理论 的教学观 .构理论 下的数学概念 建构理论视角下认识数学概念 . 建构理论中的 论 . 论指导下改革数学概念教学 15 第 四 章 三角函数 概念 教学 实践探究 学内容与教学目标 18 堂教学实录 18 动阶段，情境中认识任意角的三角函数 . 过程阶段，尝试探究，感受三角函数的形成过程。 对象阶段，认识本质，形成概念。 概型阶段，概念应 用，逐步形成心理图式。 .后 反馈与教学反思 22 后反馈 22 学反思 22 第 五 章 探究结论及教学启示 究结论 24 助学生形成恰当的概念表象 . 函数概念与角的推广是学习三角函数的基础 . 学生对任意角三角函数的认识存在障碍。 . 新课程改革对概念理解的影响 .究启示与教学建议 保持 概念教学中的连 贯 性 . 创设情境不是数学教学的终极目的 . 注意过程阶段的地位与意义 . 建立 数学对象 的 反复 性 对象与图式阶段循环上升 究不足及努力方向 26 参考文献 .谢 .1 建构理论指导下的三角函数概念教学探究 第一章 绪论 究的必要性 改革数学教育是社会进步和时代发展的要求 在日新月异的今天 ，人类社会正在由工业经济时代向知识经济时代迅速转变，推动人类社会进步的生产要素既不再是土地和资本，也不再是劳动力，而是科学技术和知识以及人的素质，这些生产要素将是创造经济奇迹的决定性因素。为了提高劳动者的素质，尤其是劳动者的科学素质 ，数学教育起了决定性的作用。其影响的广度和深度是其他任何学科教育无法比拟的。在科学知识日新月异的今天，通过数学学科教育会让劳动者掌握一些数学知识，数学文化与数学思想，同时，还会提高吸取其他科学文化知识的能力，让劳动者具有科学的精神、思想和态度，对培养劳动者具有科学的价值观与人生观有很大的促进作用，尽快开创出数学教育的新局面，在保持我们原有优势的基础上，加快突破原来死板教条的传统模式，创新出因人制宜因材施教的新的教学模式，这是我国数学教育工作者面临的一个现实而又迫切突出的问题。 课程改革 20世纪 90 年代初， 教育部 发布了高级中学 课程改革计划，到了 20世纪 90年代末 ，教育部 又计划新课 程改革并 在 1999年 开始实施 。为了贯彻国务院关于基础教育 改革与发展的决定和中共中央国务院关于深化教育改革全面推进素质教育的决定，教育工作者 要调整和改革数学新课程的内容、编排，构建以人为本和符合素质教育的 课程体系 。 四川省高中数学教育课程改革实验是从 2010年开始有计划、有步骤、分 阶段实施的，普通高中数学课程标准 指出 :高中数学是培养劳动者基本素质的基础课程， 帮助学 生 获得必要的双基 ，理解数学概念 的本质，了解概念 产生的背景 ，体会其中所蕴涵的数学思想和方法 。通过各种 探究活动，体 验数学发现的历程； 提高数学地提出、分析和 解决问题的能力，数学表达和交流的能力 ；发展数学应用意识和 创新意识，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和作出判断； 提高学习数 学的兴趣，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度；具有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值 和文化价值，形成批判性的思维习惯 1 2 进入 21世纪初 ，高中数学 新课程 改革有了 初步 的发展，以 人为本形成共识 ，素质教育 成为核心 。 数学 课程 的 内容、结构、体系也发生了巨大的变化。在新课程中采取的 模块教学 增加了 对 学 生 的考试次数， 保证了学生对知识的掌握和理解 。新课程标准降 低了部分知识内容的教学要求 ， 强调 数学知识与生产生活实践 之间的联系。其中三角函数就是发生较大变化的内容之一：（ 1）三角函数知识的结构安排发生了变化，在三角函数的概念、图像及性质、同角公式与诱导公式等内容与和 差 角公式、倍 半 角公式等三角恒等变换之间安排了向量知识，并 用向量方法证明了 某些三角恒等变换公式。（ 2）不同的教材对任意三角函数概念的教学与引入有较大的不同。（ 3）降低了对三角恒等变换的化简求值的难度要求。（ 4）大量删除了三角恒等变换公式 ，保留了两角和与差的公式、倍角公式、删除了半角公式、万能公式、和差化积公式、积化和差公式的理解与应用。 三角函数在高中数学中的地位 函数是高中数学的主线，而三角函数又是六种基本初等函数之一。它 搭起了几何学与代数学之间的鸿沟，体现了数形结合的基本思想 。三角函数可以将平面几何中定性研究的三角形边角关系 定量化。三角函数 也是每年高考 舞台上的主角 ，分值一般为整套试题的 14% 15%左右，题型通常是两道小题 ，一道解答题 。 重点考查任意角三角函数的基本概念 、 图像与性质 ， 突出三角函数与向量、 导数、解析几何等 方面的知识交汇与综合联系。 三角函数的教学内容经历了多次的调整与改革，在 21世纪初， 教育部颁发了全日制普通高中各科课程标准，把三角函数知识安排在必修 4中第一章和第三章，其内容与要求规定如下：（ 1）角的推广、弧度制。（ 2）利用角的终边上的点的坐标来定义任意角的三角函数（正弦、余弦、正切、余切）。（ 3）借助单位圆理解正弦、余弦、正切的定义。（ 4）利用三角函数线 证明 诱导公式，并画出正弦函数 等 的图像，了解三角函数的基本性质：周期性、单调性、有界性、奇偶性、最大值与最小值、对称性与对称中心。（ 5）理解同角三角函数 的基本关系式。（ 6）借助多媒体技术画出图像，观察对函数图像变化的影响，了解 各个参数 在物理问题中的意义。（ 7）解三角形放在必修 5中，主要是正弦定理和余弦定理。 课程改革前后三角函数的变化 3 从 20世纪 70年代至今，三角函数在中学数学课程中发生了明显的变化。70年代以前， 三角学与几何 学 、代数学 在高中数学课程中地位平等 ，平分秋色 ，是一个独立的学科，研究的主要内容为：研究三角形中的边角关系；解三角形、解三角方程、而三角函数只是作为研究三角形的一个工具。 20世纪 80 年代初 ，高中数学课程开始以函数的视角 看待三角函数。三角函数和三角学的内容安排和定位发生了巨大的变化，使得高中数学学科的内容和结构体系也发生了巨大的变化，三角函数已不再是解三角形的工具，而成了描述事物周期运动变化规律的一种重要函数模型 。 20世纪末，国家教育部颁发了全日制中学数学教学大纲。大纲规定 的教学内容是：角的推广、任意角的三角函数、诱导公式、同角三角函 数的基本关系式，利用单位圆定义三角函数，已知三角函数值求角， 正弦函数的图像变换和性质， 和角公式、差角公式、倍角公式、半角公式、万能公式、积化和差公式与和差化积公式，要求中学生掌握三角函数 的概念，图像和性质。 2 在 2007年国家教育部颁发了普通高中课程标准教学要求，教学要求认为：通过三角函数的学习，正确理解三角函数的概念、图像和基本性质、体会三角函数在日常生产生活中的应用；体会三角函数是反映事物周期性运动变化规律的重要函数模型，通过三角恒等变换的学习，让学生以向量为工具推导三角恒等变换公式，并进行恒等变形。 3 探究问题 高中数学课程的变化会引起中学生数学素质的变化，学生的综合素质能否达到新课程标准规定的要求，受到教育专家和教学工作者的高度关注，新课程改革也使得教材编排 发生了变化，这也是教育专家和第一线教学工作者的关注之一。那么，在新课程标准实施之后，中学生对三角函数概念的学习状况又如何呢？第一线的教学工作者又是如何进行三角函数概念的教学呢 ？ 本文选择三角函数概念教学作为研究课题，具体依据在于：（ 1）三角函数是新课程标准中变化比较大的知识体系之一。（ 2）函数是高中数学的主线和核心内容，函数思想是高中数学课程最基本最重要的思想之一，从定义方式看，它独特的数形结合定义方式与以前所学的函数定义方式差别很大；从映射的视角看，它是实数集到实数集的一个满射；从性质角度看，它是高中数学 课程中唯一研究得比较系统的周期函数。（ 3）新课程标准实施之后，初中阶段降低了运算能力要求特别是含字母的运算要求，降低了教学内容的难度，函数思想要求降低，这些将影响学生对高中数学课程的学习，在三角函数概念的理解和三角恒等变换运算上特别突出。（ 4）三角函数在高中数学课程中占有很大的比重， 4 并且也是每年高考中关注的热点和热衷的考点，在教材必修 4 中，教材编排 横跨三角函数和三角恒等变换，并且这一专题的知识与函数、几何 及向量等有着紧密的联系 ， 与其他章节之间 相互渗透，并且对这些章节的学习和掌握也离不开三角函数知识，于是，针 对中学生对三角函数概念的学习状况，结合笔者的教育教学的具体条件，希望对以下问题进行探究： (1)新课程标准实施后，在新的教学理念和教学思想下怎样对三角函数概念进行科学有效、因材而宜，因人而宜的教学呢？ (2)影响中学生学习三角函数概念的主要因素有哪些？ 探究意义 数学概念教学是数学教学的重要组成部分，是数学教育的基础，数学概念是数学科学大厦的基石，数学教师应该在新课程标准的教学理念和教学思想指导下，用科学有效的概念教学过程，用最合理的概念教学设计，开创性地运用教材，让学生在自主探究中理解概念，不 能急功近利应用概念，而应该引导探究概念的产生与发展过程，只有经历这样的探究过程学生才会学的好，学的牢、学的活。数学概念是对客观数学现象及本质的一种理性认识。 科学有效的数学概念教学是培养学生数学创造能力的前提条件，因而就要求我们应该认真对待和开展这项工作，建构主义理论认为：学习者应该在现实生活情境下，在教师的帮助下，运用科学有效的学习资料，通过意义的建构来获得知识，而不是由教师的直接传授来获得知识的，在建构主义理论的指导下，使我们的数学概念教学能更大地激发学生的求知欲望，学习效率和学习兴趣，最大程度地激发学 生的学习动机。 三角函数学习的基础是任意角三角函数的概念 ，分析影响他们理解任意角三角函数的主要因素，找出问题存在的 症结，启发今后教师的教学；观察学生在学 习任意角三角函数前后的表现， 探究他们对三角函数的学习方式和理解模式；高中教师对新课程标 准的实际教学，进一步探讨如何更加科学有效地对 三角函数进行教学，同时也为新课程改革提供建议。 5 第二章 三角函数 概念 教学探究现状 三角函数的产生与发展 三角学是以三角形的边角关系为基础、研究几何图形中的数量关系及其在测量方面应用的一门数学分支。 “ 三角 ” 一词是 英文 是由两个希腊词 “ 三角形 ” 和 “ 测量 合成的，三角形一词最先是由波兰人皮蒂斯楚斯创用的，原意是三角形的测量即解三角形。 三角学主要包括球面三角和平面三角两部分内容，它为了适应航海、测量和天文学的需要而逐步产生的。古 欧洲 的 数 学家希帕恰斯 被认为 是三角学的奠基人。阿耶婆多（大约公元 5 6世纪）对三角学做出了两项 贡献和改进 ：（ 1）用单位弧长度量半径，计算 出了 半弦弦长表。（ 2）把半弦和全弦所对弧的一半相对应，正弦就相当于现在的正弦线长的 阿拉伯的天文学家巴塔尼用代数方 法从三角线出发得到八种三角线以及相互关系，并且研究了各种斜三角形的解法，还编制了余切表。 4 15世纪德国数学家雷琼蒙塔努斯写成了三角全书， 在人类数学史上首次 将平面三角 从 球面三角 中削 离 出来 。该 著作的问世 ，标志着三角学 成为一门独立的数学学科。法国人韦达首次在三角学中引入代数变换方法，并且发现了许多三角恒等式。 5 近代瑞士数学家及自然科学家欧拉提出了函数的定义，定 义 三角函数是对应的三角函数线与圆半径的比值，提出了角的弧度制的概念，研究了三角函数的周期性，引入了一些三角符号，发现了有名的欧拉定理，这些研 究使三角学从研究静态问题走向研究运动变化问题。 19世纪数学有了 日新月异 的发展，产生了微积分，建立了非欧几何，形成了公理化方法。三角函数不仅有高中课程中的几何定义，还有三角函数的公理化定义、微积分方程中的特解定义、微积分中的幂级数定义，现代三角学是函数、代数、几何的混血儿，这样我们可以用三种不同的视角认识三角函数：（ 1）在几何的视角下用三角函数理论解决三角形中的边角关系问题；（ 2）在代数观点的视角下研究三角函数的恒等变换；（ 3）在函数观点的视角下研究三角函数的概念、性质和图像。 国内研究现状 课程改革前后三角函数教学内容的异同 6 20世纪末，高中数学课程中的三角函数概念是用几何方法引入的，左铨如建议：用单位有向线段在坐标轴上的射影直观引入余弦函数，然后作出余弦 函数的图像，讨论余弦函数的性质，利用诱导公式引进正弦函数。不仅 与 三角函数的特征性质，而且与向量的内积、余弦定理、夹角公式有密切联系，对于其他公式不必要求学生记忆。 6 余丽伟通过访谈和问卷调查，发现 ;(1)三角函数 线将三角函数概念直观化，是三角函数概念的压缩；五点法作图在学生的学习中起了明显的作用。（ 2）传统教材在高观点下 教学 三 角函数，由于不符合学生的 实际情况， 造成了学生 学习 上的 困难 。 7 姚琳认为可以把平面直角坐标系中点的位置确定作为切入点，将学生头脑中的锐角三角比延伸推广到任意角三角函数， 在分析 三角函数的背景，对三角函数教学片段进行案例分析后，他提出：（ 1） 教学中要注重三角函数的产生与发展的过程展示，让学生从数形两个 方面 理解和掌握三角函数概念。（ 2）教学过程中要注意新旧知识之间的结合点与交汇点。（ 3）设计的问题要具有挑战性，能够激发学生强烈的求知欲。（ 4）推理的设计要与严密的叙述论证相结合。 8 朱勋彬发现多数的职高中、普 高中都畏惧三角函数，函数概念的理解 不深刻对学习三角函数是一个巨大的挑战，认为学习三角函数 在于解三角形和掌握函数的性质，他 提出建议 ：（ 1）改革三角函数的定义，直接利用单位圆的有向动半径 在坐标轴 投影定义角的正弦 和 角的余弦。（ 2） 直接画出三角函数的图像并研究其性质。（ 3）删去两角的和角公式、差角公式、倍角公式、半角公式、万能公式。 9 高令乐比较了我国人教 排 体系，发现：二种教材各 有各的 特色 和个性 ，都 设置了各式各样的图表，注重数形结合，两种教材在习题的题型、 素材 、 知识体系上存在差异。 后者 最 突出的 是数学 探究、 建模与数学文化，该教材的课程理念为我国实施新课程改革提供了有益的借鉴。天才教材也受到中国学生和教师的喜欢，这样的教材学生学得愉快，教师教得轻松。 10 上述研究有的是讨论三角函数的编排体系，有的是在讨论三角函数的知识内容与整个相关知识体系之间的关系，有的是在 比较两种不同的教学策略与方法， 他们都发现：三角函数的编排次序会影响学生对三角函数的学习，教学要突出数学思想方法，必须重视三角函数的概念教学，但是对三角函数的概念怎样进行教学，才能使学生更有效更透彻地理解掌握三 角函数的概念呢？ 对高中三角函数概念教学的研究 7 中国科学院院士张景中对三角函数的概念教学改革发表了自己的 见解 ，他认为：三角函数的定义 为 三角函数提供了一种几何模型，那么就可以定义正弦是菱形的单位面积，根据菱形和三角形的关系可以推导出三角形的面积公式，任意三角形中的正弦定理，也可以依此推导两角和的正弦公式、 倍角公式、特殊角的正弦值，在约定以后可以引出余弦，并 以此为基础 研究 它 的性质，但是张院士的这一建议是针对 有三角函数知识基础的同学 而言的。 11 章建跃认为：任意角三角函数 和 三角学是两类不同的问 题，建议用单位圆上的点的坐标来定义任意角的三角函数，理由是：（ 1）对构建任意角三角函数的结构体系有利，三角函数的定义与单位圆 中的三角函数线直接有了联系，因而能够在数形结合的思想下方便 研究同 角基本关系式，讨论 三角函数的 图象与性质。（ 2） 突显三角函数的周期性质，这样编排使得学生结束了对三角函数概念的学习后仍然对三角函数概念的理解模糊，运用生疏。（ 3）有利于今后进一步的学习，例如推导两角的和角公式与差角公式，讨论函数的性质等。（ 4）任意角三角函数就是因为 研究 圆周运动的需要而产生的，这样的定义符合三角函数的发展历史 。 12 国家教育部在 2007年公布的普通高中课程标准的教学要求和 2008年版的高中数学教学参考书（必修 4）对三角函数概念教学这样建议：在教学三角函数概念时，应该 充分利用单位圆。单位圆可以形象直观地帮助学生理解任意角 三角函数的 图象与 基本性质 ，利用单位圆的形象直观，引导 学生自主探究任意角三角函数的有关性质，培养 学生的各种数学 的能力。 13 许钦彪利用人民教育出版社的 2007 版数学必修 4，比较了老教材中任意角三角函数的坐标比值定义和任意角三角函数的单位圆定义，认为 :采用单位圆定义教学三角函数简洁 ，但是 没有普遍 性，尽管 教材中是先求出原点与所选点的距离，然后再利用相似三角形 转换成角的终边与单位圆的交点坐标来得到解。但是由于相似比与符号没有一般性，若在其他象限，其比值符号也是一个难题，结果把一个简单问题变成了复杂问题，在学生学习时，也普遍反映理解不清思维别扭，难以理解掌握，因此许钦彪对三角函数概念教学的建议是这样的：根据初中锐 角三角函数的比值定义，推广到平面直角坐标系中 的 任意角 ，然后再来研究任意角三角函数的单位圆定义。 14 张景中院士的教学建议更适合初中生，章建跃先生的单位圆定义在教学实践中有一些质 疑，在实际教学中，教师是怎样教的，学生是怎样学的，还需要做进一步的探究。 国外研究现状 8 国外的三角函数教学内容和教学要求 新加坡 A 水平课程考试纲要（纯数学部分）要求学生理解掌握六种任意角三角函数的定义，表示反三角函数的主值，能记住特殊角的三角函数值，能将三角函数的基本性质和图像结合起来，能运用任意角三角函数的单调性、周期性、奇偶性、对称性；能够进行简单的三角恒等变形和化简求值；能求简单的三角方程和三角不等式，并给出图像解释；能够估计三角函数值。 15 新加坡南洋理工大学 中学数学教学参考用书中将中学三角函数分成为三角函数和三角学，三角函数从实际出发，利用三角函数的图像讨论探究函数的奇偶性质、周期性质、单调性质，利用三角函数来描述生产生活中的周期运动变化现象。 16 俄罗斯的数学教育标准要求：正确理解并掌握任意角的三角函数（正弦、余弦、正切、余切），角的推广和弧度制；同角三角函数的基本关系式；两角的和角公式与差角公式；倍角公式；半角公式；和差化积公式与积化和差公式；能进行简单的三角恒等变形；会求解简单的三角不等式和三角方程；理解反三角函数；任意角三角 函数的图像与基本性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）。 17 由此可见，世界 各国在三角函数的知识结构和编排体系上基本是一致的，在有些内容上 ， 外国的标准和要求甚至更高。 国外对三角函数概念教学的研究 对学生进行调查研究的基础上建议，在教学三角函数概念时 ，要发展学生的任意角和弧度制等概念 ，使学生能从图像、符号和代数表达式多角度理解三角函数的概念；密切联系函数的概念和有关性质，在函数的视角下深刻理解认识三角函数的本质特征。 18 1958年就提出， 以向量知识为桥梁来进行三角函数相关知识的教学，使学生更好地理解与掌握三角函数的概念、两角的和角公式与差角公式等有关知识。但他没有对实际的教学实践进行研究，只提供了教学思路与理论。 19 量 结合起来，突出三角的工具作用，能够促进学生对三角函数的理解 。但是他们没有进行实验对照。 20 年级学生对任意角概念的理解，发现学生对角的认识有惊人的类似性，在认识 0度、 180度、 360 度时有困难。因而，教师要重视学生 的新旧知识 在概念形成发展时期的 联系与区 别。 21 9 查了计算机代数系统对各种数学教学的影响，调查认为：使用了计算机可以避免繁杂的三角函数化简求值运算，使学生的注意力集中于函数的图像特征和三角函数概念的本质，从而学生对三角函数的图像与性质的理解更加深入透彻。但是调查也同时指出在解三角方程和三角不等式方面，使用计算器存在缺陷，某些问题还不如使用笔算简便实用。 22 较了三角函数的单位圆定义和直角三角形 中 边的比值定义，他们把学生随机分成两组， 用两种 不同的 方式进行教学， 结果采取直 角三角形中边的比值定义 进行教学 ，学生的学习 情感 更加 浓烈 ， 学习态度更加踊跃， 对三角函数概念的理解也更加透彻深入。因此研究者建议：在进行三角函数概念 教学时，使用直角三角形边与边的比值定义更加能促使学生的理解 。但是他们没有从函数视角分析三角函数的本质特征，也没有将角的度量和范围进行推广。 23 议使用多媒体技术，有利于学生理解任意角三角函数的概念和 性质。他们对两所学校学生进行比较后，对照实验组与对照组，发现 :对照组的成绩普遍低于实验组，实验组的女生尤其明显。 24 种不同的课程模式下，大学生对三角函数概念的理解，一种是建立在对象理论，过程基础上的实验教学法。他采用单位圆定义来进行三角函数概念 教学。另一种是 传统教法， 用 三角函数的坐标比值定义来进行教学，然 后 通过访谈和测验调查发现 ：采用第一种教学方法，学生对三角函数的概念的理解更加深入透彻深刻，绝大部分学生能利用三角函数概念说明同角三角函数基本关系式，解释三角函数的本质特征，探讨三角函数的基本性质，估算任意角三角函数值。 25 计了一个教学用具：在大小固定的圆盘边缘上固 定放置一个小球，将圆盘绕圆心转动时，观察小球在墙上的投影位置，以便学生形象直观地理解三角函数的定义域、函数值与图像性质，尽管他们联系函数知识，探讨了三角函数的概念、性质与图像，但是这种教学方法是否有利于学生理解与掌握三角函数的概念、性质及图像，研究者对此并没有进行教学实践的调查。 26 国内外研究的主要内容是学生学习三角函数概念的障碍和易错点，三角函数教学内容的编排，对中学生学习三角函数概念进行了探讨，有的从心 理 学视角研究的，有的从教育学视角出发的，为我们进行三角函数教学提供了有益的帮助和借鉴。但是 ，任意 角三角函数概念是用坐标比值定义还是用单位圆定义来引入， 还 存在 各种 争议， 他们也没有考虑 我国的新课程改革实际。 对三角函数概念的多种表示方法与本质特征的深入研究目前还较少，有一定的研究空 10 间。故而，本研究以三角函数是函数本质为出发点，了解教师对新课程改革后教材的看法及实际教学处理。同时分析影响三角函数概念 学习 的主要因素。 11 第三章 建构 理论 概 述 建构 理论 的产生与发展 建构 理论 （ 译作建构主义 ，其最早提出者可以追溯至瑞士的心理学家、哲学 家皮亚杰。他被看成是现代建构学说的主 要代表人物之一，也是认知发展领域最有影响的一位心理学家。建构 理论 是学习理论中一种关于知识如何被个人和社会文化所建构起来的理论，行为主义和认知主义是把学习数学看成学习者的个体活动，不同的是前者指向个体外部（行为反应），后者指向个体内部（信息加工过程），而建构 理论 则认为学习是个体原有经验和社会环境的互动加工过程，在教育心理学中，建构就是指认知个体通过旧知识和新知识之间的双向、反复的互相作用，形成和整合自己的解释结构（认知结构）的过程，建构学说的基本观点为：学习不是被动吸收而是 学习者主动建构知识的意义的过程。它的三要素是社会性、建构性与能动性。它的实质是：个体建构自己关于客观世界的主观知识和概念，使得它们与社会所接受的概念与知识相反应，建构学说理论的属性是协作、情境、会话与意义建构。 建构 理论 作为一种认知方式或教学实践模式由来已久，不系统的零碎的建构学说思想和实践并不是当代才有的，自古以来就存在着，在反对直接教学方式以形成知识基础方面，古希腊哲学家舒格拉底（ 元前 469公元前 399）和柏拉图（ 公元前 427公元前 347）是教育活动上最早的建构学说 者，从建构视角看，古希腊哲学家舒格拉底著名的产婆术无疑是建构学说教学的经典范例，杜威的做中学对建构 理论 的影响也很大，现代建构 理论 的先导者当属皮亚杰，他的理论蕴含了唯物辩证法，他坚持从外因与内因互相作用的视角 来探究个体的认知发展，个体在社会生活 中 逐步建构起关于世界的认知，从而 完善 与 补充 自己的解释结构。个体与环境的相互作用包括同化与顺应，所谓同化就是个体以原有的经验为基础将获得新经验意义融合