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3 1定积分的简单应用 1 定积分的几何意义 1 当f x 0时 表示的是y f x 与x a x b和x轴所围曲边梯形的面积 2 当f x 0时 y f x 与x a y b和x轴所围曲边梯形的面积为 一 复习回顾 2 例1 求如图所示阴影部分图形的面积 分析 图形中阴影部分的面积由两个部分组成 一部分是x轴上方的图形的面积 记为s1 另一部分是x轴下方图形的面积 记为s2 根据图像的性质 s1 s2 所以 所求阴影部分的面积是4 二 例题分析 3 思考 求如下图形中阴影部分面积 4 例2 求抛物线y x与直线y 2x所围成平面图形的面积 2 求出曲线y 与直线y 2x的交点为 0 0 和 2 4 设所求图形的面积为S 根据图像可以看出S等于直线y 2x x 2以及x轴所围成平面图形的面积 设为S1 减去抛物线y 直线x 2以及x轴所围成的图形的面积 设为S2 解 画出抛物线y 与直线y 2x所围成的平面图形 如图所示 5 6 思考 求曲线y 与直线x y 2围成的图形的面积 小结 求平面图形的面积的一般步骤 1 根据题意画出图形 2 找出范围 确定积分上 下限 3 确定被积函数 4 写出相应的定积分表达式 5 用微积分基本定理计算定积分 求出结果 7 抽象概括 一般地 设由曲线y f x y g x 以及直线x a y b所围成的平面图形 如图1 的面积S 则 图1 图2 图3 想一想 上图中 2 3 满足上面的公式吗 8 例3 求曲线x 和直线y x 2所围成的图形的面积 解 阴影部分面积S S1 S2 S1由y y x 1围成 S2由y y x 2 x 1围成 9 10 三 练习 1 求曲线y 1 x 直线x 1 x 2以及x轴所围成的平面图形的面积 2 求由曲线xy 1及直线x y y 3所围成的平面图形的面积 3 求曲线y sinx x 和y cosx x 围成的平面图形的面积 11 2 变力沿直线所做的功 例4 如果1N能拉长弹簧1cm 为了将弹簧拉长6cm 需做功 A 0 18JB 0 26JC 0 12JD 0 28J 所以做功就是求定积分 A 说明 物体在变力F x 的作用下做直线运动 并且物体沿着与F x 相同的方向从x a点移动到x b点 则变力F x 所做的功为 12 四 总结 1 利用定积分求所围平面图形的面积 要利用数形结合的方法确定被积函数和积分上 下限 2 当平面图形是由多条曲线围
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