《数理统计》教案——抽样分布

数理统计教案抽样分布 数理统计教材杨虎钟波等编，应用数理统计清华大学出版社任课教师李正耀数理统计授课教案李正耀第2章统计概念第一节绪论 1、什么是数理统计？数理统计是研究怎样用有效的方法去收集、分析和使用受随机影响的数据的学科。 2、研究对象受随机影响的数据。 3、数据随机性1）抽样的随机性。 2）试验中的误差 4、数理统计的研究内容1）用有效的方法收集数据抽样理论与试验设计。 2）有效地使用数据统计推断（本课程主要内容）。 5、数理统计方法的特点方法的使用不需要高深的数学知识，但不具备一定的数学知识，无法理解这些方法。 6、应用的广泛性由于随机性影响无处不在，故在人类活动的一切领域都有它的应用。 数理统计授课教案李正耀第二节总体、样本及统计量 1、总体研究对象的某项数量指标的值的全体叫总体（母体）。 总体中的每个元素为个体。 例所有显像管的寿命取值是一总体，故可以认为总体是一大堆数。 由于各个取值的比例（概率）不一样，可用一个随机变量X描述，这样总体就与r.v.X联系起来，即总体XF(x)=P(Xx),xR 2、样本总体中至少某些参数是的，为进行推断，必须从总体中抽出一定数量的个体进行观测（抽样），抽取n个个体试验，得到一组观测值x1,x2,?,x n，由于这组数值x1,x2,?,x n是n维随机变量X1,X2,?,X n的一个观测值，称X1,X2,?,X n是总体X的一个容量为n的样本，x1,x2,?,x n为样本的一组观测值。 因此，样本具有两重性。 简单样本满足以下两条1）独立性X1,X2,?,X n相互独立。 2）代表性X1,X2,?,X n与总体X的分布相同。 数理统计授课教案李正耀? 3、样本的分布设总体X的分布函数为F(x),X1,X2,?,X n是X的一个样本，则该样本的联合分布函数为F(x1,x2,?,x n)=P(X1x1,X2x2,?,X nx n)=P(X ix i)=F(x i)i=1i=1n n当总体X是连续型且密度为f(x)时，样本的联合密度为f(x1,x2,?,x n)=f(x i)i=1n当总体是离散型且分布律为P(X i=x i),i=1,2,时，样本的联合分布律为P(X1=x1,X2=x2,?,Xn=x n)=P(X i=x i)i=1n为叙述上的方便，采用记号?P(X=x)x=x i;i=1,2,?f(x)=?0其它?则离散总体样本的联合分布律仍可记为f(x)ii=1n例设灯泡的寿命X服从指数分布，密度函数为?ex0f(x)=?x0?0则样本(X1,?,X n)的联合密度函数为?xf(x)=eii=1i=1n n?x i=en?x ii=1n=en?nx例设总体（如产品的状况；保险人年内生存状况）服从(0-1)分布，即Xb(1,p)，分布律为f(x)=P(X=x)=p(1?p)则样本的联合分布律为n nx1?xx=0,1f(x)=pii=1i=1x i(1?p)1?x ix i n?x inx n?nx=p(1?p)=p(1?p) 4、统计量样本中的信息一般比较分散，必须经过加工、提炼，把分散的信息集中起来，这就需要构造统计量?,X n)是总体X的一个样本，T(X1,X2,?,X n)为定义设(X1,X2,?样本的一个实值函数，且T中不含任何参数，则称T(X1,X2,?,X n)是一个统计量。 常用统计量1样本均值X=X ini=1n11222样本方差S=(X i?X)=(Xi?nX)n?1i=1n?1i=12n n12样本标准差S=(X i?X)n?1i=1n1k样本k阶原点矩Ak=Xi,k=1,2,?ni=1n数理统计授课教案李正耀1k样本k阶中心矩B k=(X i?X),k=1,2,?ni=1它们的观察值分别为n1x=x ini=111222s=(x i?x)=x i?nxn?1i=1n?1i=1n1ka k=x i,k=1,2?ni=12nnnni=11b k=n(x i?x),k=1,2?k性质设X1,X2,?,X n为总体X的一个样本，EX=?,DX=,则有1).(X i?X)=0i=1n22).EX=?,DX=P2n.3).当n时,X?.4).ES=,n ni=1i=122且对任意实数a,有22(x?x)(x?a).ii1n1n1n证明2）.EX=E(X i)=EX i=?=?.ni=1n i=1n i=11n1n1n22DX=D(X i)=2DXi=2=.ni=1n i=1n i=1n数理统计授课教案李正耀3).由辛钦大数定律即可得证。 n n11n222224).ES=E(X i?nX)=EX i?EXn?1i=1n?1i=1n?11nn22=(DX i+(EX i)?(DX+(EX)n?1i=1n?12n n2222=(+?)?(+?)=.n?1n?1n(x?x)=(x?a)+(a?x)2i ii=1i=1nn n2=(x i?a)+n(a?x)+2(a?x)(x i?a)22n=(x i?a)+n(x?a)?2(x?a)(x i?a)22i=1ni=1n=(x i?a)?n(x?a)(xi?a).222i=1i=1i=1n ni=1?第三节顺序统计量和直方图 1、顺序统计量定义设X1,X2,?,X n为总体X的样本，x1,x2,?,x n为样本x (1)x (2)?x(n)，当的观测值，将x1,x2,?,x n由小到大排序样本X1,X2,?,X n取值为x1,x2,?,x n时，定义X(k)取值为x(k)k=1,2,?,n，由此得到n个统计量X (1),X (2),?,X(n)，称其为样本的顺序统计量。 特别地，称X (1)为最小次序统计量，X(n)为最大次序统计量，称X(n)?X (1)为极差，称X0.5Xn+1n为奇数?()?2?=?1?(Xn+Xn)n为偶数(+1)?2 (2)22样本中位数、极差统计量分别与X和S的作用类似。 ?次序统计量的分布若连续型总体X的密度函数为f(x),则X(k)的密度为n!k?1n?kf(k)(x)=F(x)?1?F(x)?f(x)k=1,2,?,n(k?1)!(n?k)!特别地f (1)(x)=n?1?F(x)n?1?f(x)f(n)(x)=n?F(x)n?1?f(x)例:设总体X服从参数为的指数分布，X1,X2,?,X n是X的样本，求1）X的密度。 ）求2X (1)及X(n)的密度。 解1）?1?xx e?注(,)的密度为f(x;,)=?()?0?XExp()=(1,)x0x0数理统计授课教案李正耀由于-分布具有可加性，X1,X2,?,X n相互独立，服从同一分布(1，)，故Y=X i(n,)i=1n从而Y的密度为?nn?1?yy ey0?f Y(y)=?(n)?0y0?Y再由X=，可得X的密度为n?(n)n?1?nxx e?fX(x)=nf Y(nx)=?(n)?0?nx0即X(n,n)xn?2?n?f(y)=?2?2?其他?0f(y)n=1n=5n=15yO分布密度函数曲线2数理统计授课教案李正耀分布具有如下两个重要性质21).(n1),(n2),且，独立，则有2221+2(n1+n2)21222221222).E=n,D=2n证EXi=0,DXi=1,2i4i22i22XiN(0,1)2EXi=1,DX=EX?(EX)=3?1=2,i=1,2,?n所以E=E(22n2Xi)=i=1nn2EXi=n.D=D(i=1i=1n2Xi)=i=12DXi=2n.注1)若XN(0,1),则X (1)?X?22)若XN(?,),则? (1)?22223)若X1,X2,?,X n是XN(?,)的一个样本,则?Xi?2?(n)?i=1?n22122?若记S=(X i?),则ni=122224?ES=,DS=nn2?nS2(n)2数理统计授课教案李正耀分位数定义给定p,若满足P(Xv p)=v p?f(x)dx=p,则称v p为r.v.X的(下侧)分位数.f(y)pyv pO对于常用分布的分位数(点)，的值已制成表格，可以查用。 使用时，数。 注意分清是上侧还是下侧分位数。 分布的分位数记为(n).222t?分布设XN(0,1),Y(n),且X与Y相互独立，相互独立，则随机变量2XT=Yn服从自由度为n的t分布,记为Tt(n)。 t(n)分布的概率密度函数为n+1()n+12?t2f(t,n)=(1+)2?1时,ET=0,密度函数曲线关于轴x=0对称;n2)当n2时,DT=n?23）当n=1时,T的密度函数为11f(t,n)=,tR（柯西分布）21+t4）当n很大时，t(n)的分布接近于标准正态分布，（利用函数性质，可以证明1lim f(t,n)=en2t2?2,tR）数理统计授课教案李正耀关于t分布的分位数1）t1?(n)=?t(n)2)当n45时,t p(n)u（标准正态的分位数）pf(t)t?t(n)O t(n) 3、F分布22设U(n1),V(n2)且U与V相互独立，则随机变量U/n1F=V/n2服从自由度为(n1，n2)的F分布，记为FF(n1，n2)F(n1,n2)分布的概率密度函数为n1n2?n1n1+n2()+?1?n nn11122?(y)2(1+2y)y0?n(y)=? (1)(n2)n2n2n2?22?0其他?数理统计授课教案李正耀(y)n1=10,n2=25n1=10,n2=5OyF分布的性质11)若FF(n1,n2)，则F(n2,n1)F2)当Tt(n)时,TF(1,n)分位点满足3)F分布的(下侧)分位点满足1F1?(n1,n2)=F(n2,n1)211例F0.05(12,9)=0.357F0.95(9,12)2.801证明若FF(n1,n2),则FF