《高数Ⅱ》教案范文

高数教案范文 1高等数学课程教案 （1）课题第八章空间解析几何与向量代数第一节向量及其线性运算教学准备熟悉教案及讲稿教学目标使学生对（自由）向量有初步了解，掌握向量的线性运算、掌握向量的坐标表示式、掌握用坐标作向量的线性运算，理解方向余弦的概念，为空间曲面等相关知识打好基础。 教学重点1.向量的概念2.向量的线性运算3.空间直角坐标系的概念4.利用坐标作向量的线性运算5.向量的模与方向余弦的坐标表示式教学难点向量的模与方向余弦的坐标表示式教学方式研讨式教学内容（板书）演示与推导时间导入1回顾中学所学的向量概念及平面解析几何中数形结合的思想。 2本章内容的性质与目的口述中学所述的向量概念，平面解析几何中数形结合的思想。 口述。 口述。 约6分钟讲授新课 一、向量的概念1向量、自由向量。 2向量的表示方法有:a、i、F、OM等等。 3向量相等b a?4向量的模5向量的夹角6向量平行b a/0)(,?ba或?。 向量垂直2)(,?ba。 零向量与如何向量都平行或垂直7.向量共线与共面终点与公共起点在一条线上或在一个平面上。 二、向量的线性运算1.向量的加减法加法运算规定如下 （1）三角形法则首尾相接。 (2)平行四边形法则注向量a和b不平行时由物理中的一些量引入向量及自由向量的概念围绕向量的两要素讲解与讨论结合推出向量相关概念及性质讨论物理上力的合成，推出两个加法法则。 大约13分钟大约15分钟2讲授新课 （3）向量的加法符合交换律和结合律 （4）负向量由此规定向量的减法c b a?即c b a?)(把向理量a和b移到同一起点，则从b的终点向a的终点所引向量便是C3向量与数的乘法a? （1）定义 （2）运算的性质 （3）单位向量的表示 （4）定理1设向量a0，那么，向量b平行于a的充分必要条件是存在唯一的实数，使ba? （5）例1 三、空间直角坐标系通过坐标把空间的点M、向量r与一个有序数组一一对应起来。 （向量r的坐标分解式zk yjxi r?，） 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影1向量的模与两点间距离公式2.方向角与方向余弦3.向量在轴上的投影启发学生讨论向量加法的性质诱导学生得出负向量的概念，从而得到将减法变为加法来运算（这一事实可联想到计算机的运算），并推导出减法运算的几何表示。 叙述数乘的概念，启发学生得到性质及单位向量的表示式。 简要叙述定理的证明与学生讨论例题讲解，注意向量由高中的平面上发展到空间中。 简要叙述公式，启发式讲解例子启发并推导出向量的模与两点间距离公式的联系，方向角、方向余弦的定义及计算公式，叙术投影的概念，讲解例子大约16分钟大约10分钟大约35分钟小结1.向量的概念2.向量的线性运算3.空间直角坐标系的概念4.利用坐标作向量的线性运算5.向量的模与方向余弦的坐标表示式简要叙述约5分钟作业教材P12习题8- 14、 14、153高等数学课程教案 （2）课题第八章空间解析几何与向量代数第二节数量积向量积*混合积教学准备熟悉教案及讲稿教学目标让学生搞清楚数量积与向量积的概念及其应用，掌握向量平行、垂直等重要的结论，为空间曲面等相关知识打好基础。 教学重点1.数量积、向量积的概念及其等价的表示形式2.向量平行、垂直的应用教学难点1.活学活用数量积、向量积的各种形式2.向量平行与垂直的相应结论教学方式研讨式教学内容（板书）演示与推导时间导入1复习上节课内容；2实例引入数量积概念引例物理上物体在常力F作用下沿直线位移s，力F所作的功为?cos sF?W其中?为F与s的夹角。 1.复习回顾向量的概念、向量的线性运算、空间直角坐标系的概念、利用坐标作向量的线性运算、向量的模与方向余弦的坐标表示式2.作图，讲解，归纳总结得出数量积的概念约10分钟讲授新课 一、数量积1.定义?cos b a b a?，式中?为向量a与b的夹角。 2.投影表示式当0?a时，b a b aajPr?；当0?b时，a bb abjPr?3.性质.2a a a?.两个非零向量a与b垂直b a?的充分必要条件为0?b a.交换律a bb a?.分配律c bc ac b a?)(.结合律)()(c ac a?为数4.坐标表示式设,z y xa aa?a，,z y xb bb?b则z z y y x xb a b a b a?ba叙述启发推导演绎推导约40分钟4讲授新课两向量夹角可以由b aba?cos式求解5.两个例子 二、向量积1.实例2.概念3.性质.0aa?.两个非零向量a与b平行ab的充分必要条件为0ba?.a bba?.c bc ac ba?)(.)()()(c ac ac a?为数4.几个等价公式坐标表示式设,z y xa aa?a，,z y xb bb?b则kj iba)()()(x y y xz x xz yz z yb a b aba bababa?.行列式表示式z y xz y xb bba aak jib a?补充|ba?表示以a?和b?为邻边的平行四边形的面积5.三个例子启发式讲解例子作图讲解实例，导出向量积概念。 启发，讨论，演绎推导出性质、公式启发，讲解例子约40分钟小结向量的数量积（结果是一个数量），向量的向量积（结果是一个向量）（注意共线、共面的条件）收敛数列的有界性；简要叙述留时间让学生提问约10分钟作业P22习题8- 21、 3、95高等数学课程教案 （3）课题第八章空间解析几何与向量代数第三节曲面及其方程教学准备熟悉教案及讲稿，制作二次曲面的截痕法演示PPT教学目标介绍各种常用的曲面及描绘二次曲面的截痕法，为学习重积分、线面积分打下基础。 学生应该会写出常用的曲面方程，并对已知曲面方程能知道所表示曲面的形状。 教学重点1.曲面方程的概念2.球面方程3.旋转曲面的方程和柱面方程教学难点旋转曲面和二次曲面的截痕法教学方式研讨式教学内容（板书）演示与推导时间导入由日常生活中所见的各种曲面引入口述约10分钟讲授新课 一、曲面方程的概念1.实例2.曲面方程的定义如果曲面S与三元方程0),(?z y x F （1）有下述关系1）曲面S上任一点的坐标都满足方程 （1）2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程 （1）那么，方程 （1）就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程 （1）的图形。 3几种常见曲面的方程 （1）球面例1-例2 （2）线段的垂直平分面（平面方程）例3-例4由上述例子，可知研究空间曲面有两个基本问题 （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程。 （讨论旋转曲面） （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状。 （讨论柱面、二次曲面） 二、旋转曲面叙述与高中平面解析几何中的平面方程对应起来讲解曲面方程的定义通过例子说明几种常见曲面的方程启发总结得出结论一边演示一边叙述定义启发并推导出旋转曲面方程的求法，并举例说明推导几种常见的旋转曲面的方程大约25分钟大约25分钟6讲授新课1.定义2.旋转曲面图绕哪个轴旋转，该变量不变，另外的变量将缺的变量补上改成正负二者的完全平方根的形式。 例5-例6 （1）双曲线12222?czax分别绕x轴和z轴；绕x轴旋转122222?cz yax绕z轴旋转122222?czay x （2）椭圆?012222xczay绕y轴和z轴；绕y轴旋转122222?cz xay绕z轴旋转122222?czay x （3）抛物线?022xpz y绕z轴；pz y x222?旋转抛物面 三、柱面1定义2特征x，y，z三个变量中若缺其中之一（例如y）则表示母线平行于y轴的柱面，其准线为xoz平面上的曲线。 3.几个常用的柱面a)圆柱面222R y x?（母线平行于z轴）b)抛物柱面x y22?（母线平行于z轴）叙述柱面定义，由定义启发学生导出特征介绍几个常用的柱面叙述定义大约20分钟旋转双曲面旋转椭球面7c)椭圆柱面12222?czby（母线平行于x轴）d)双曲柱面12222?byax（母线平行于z轴） 四、二次曲面1.定义三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面相应地平面被称为一次曲面2.截痕法用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面（一）椭球面1222222?czbyax（二）抛物面1.椭圆抛物面zqypx?2222，（p与q同号）2.双曲抛物面（马鞍面）zqypx?2222，（p与q同号）（三）双曲面1.单叶双曲面1222222?czbyax2.双叶双曲面方程为1222222?czbyax叙述截痕法用多媒体进行演示，并讲解，并总结各种图形规律特点，可以写出其它的方程表达式。 大约25分钟小结曲面方程的概念，旋转曲面的概念及求法，柱面的概念(母线、准线)，椭球面、抛物面、双曲面、截痕法.（熟知这几个常见曲面的特性）总结性简介约5分钟作业P31习题8- 32、58高等数学课程教案 （4）课题第八章空间解析几何与向量代数第四节空间曲线及其方程教学准备熟悉教案及讲稿教学目标介绍空间曲线的各种表示形式，为重积分、曲面积分作准备的让学生掌握各种常用立体的解析表达式，并会简单描图；让学生学会计算空间曲线在坐标面上的投影教学重点1空间曲线的一般表示形式2空间曲线的参数方程3空间曲线在坐标面上的投影教学难点空间曲线参数方程的建立教学方式研讨式教学内容（板书）演示与推导时间导入复习曲面及其方程叙述曲面方程的概念，启发学生联想曲线与曲面的关系约3分钟讲授新课 一、空间曲线的一般方程空间曲线可以看作两个曲面的交线，故可以将两个曲面联立方程组形式来表示曲线?0), (0),(z y x Gz y x F特点曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程例1-例2 二、空间曲线的参数方程将曲线C上的动点的坐标表示为参数t的函数?)()()(t z zt y yt x x当给定1t t?时，就得到曲线上的一个点),(111z y x，随着参数的变化可得到曲线上的全部点例3 三、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线C的一般方程为启发学生，导出空间曲线的一般方程用例题作示范，让学生学会分析曲线的方程，导出曲线的图形叙述举例说明，曲线参数方程的导出，进一步阐述螺旋线的性质大约32分钟大约25分钟9讲授新课?0), (0),(z y x Gz y x F （3）消去其中一个变量（例如z）得到方程0),(?y xH （4）曲线的所有点都在方程 （4）所表示的曲面（柱面）上此柱面（垂直于xoy平面）称为投影柱面，投影柱面与xoy平面的交线叫做空间曲线C在xoy面上的投影曲线，简称投影，用方程表示为?00),(zy xH同理可以求出空间曲线C在其它坐标面上的投影曲线yoz面上的投影曲线?00),(xz yR；xoz面上的投影曲线?00),(yz xT在重积分和曲面积分中，还需要确定立体或曲面在坐标面上的投影，这时要利用投影柱面和投影曲线例 4、例 5、例6叙述启发学生同理推导通过例子示范，让学生掌握空间曲线在坐标面上的投影的求法大约35分钟大约20分钟小结1空间曲线的一般方程、参数方程?0), (0),(z y x Gz y x F?)()()(t z zt y yt x x2空间曲线在坐标面上的投影?00),(zy xH?00),(xz yR?00),(yz xT简要回顾主要内容约5分钟作业教材P P37习题8- 43、610高等数学课程教案 （5）课题第八章空间解析几何与向量代数第五节平面及其方程教学准备熟悉教案及讲稿教学目标让学生了解平面的各种表示方法，领会各种特殊位置平面的表示方法，会求出各种位置上的平面，了解平面与其法向量之间的关系教学重点1平面方程的求法2两平面的夹角教学难点平面的几种表示及其应用教学方式研讨式教学内容（板书）演示与推导时间导入空间曲面方程的概念与学生一起复习回顾空间曲面方程的概念约3分钟讲授新课 一、平面的点法式方程1平面的法线向量定义垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直2平面的点法式方程0)()()(000?z z C y y B x x A此即平面的点法式方程平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形例1例2 二、平面的一般方程由平面的点法式方程0)()()(000?z zC yy B x xA0)(000?Cz By Ax CzBy Ax，令D CzBy Ax?000得到任一平面都可以用三元一次方程来表示平面的一般方程为0?D CzByAx几个平面图形特点1）D0通过原点的平面2）A0法线向量垂直于x轴，表示一个平行叙述概念启发并导出平面的点法式方程通过例题示范，怎样求平面的点法式方程启发诱导学生，由平面的点法式方程推导出平面的一般方程与平面解析几何中直线的点斜式方程对照由方程分析几个特殊的平面大约30分钟11讲授新课于x轴的平面同理B0或C0分别表示一个平行于y轴或z轴的平面3）AB0方程为0?D CZ，法线向量,0,0C，方程表示一个平行于xoy面的平面同理0?D AX和0?D BY分别表示平行于yoz面和xoz面的平面4）反之任何的三元一次方程，都表示一个平面例、例 4、例5三两平面的夹角定义两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角设平面0:11111?D zC y B xA，0:22222?D zC yB xA,1111C B A n?，,2222C BA n?按照两向量夹角余弦公式有222222212121212121|cosC BA C B ACC BBAA?几个常用的结论1)两平面垂直（法向量垂直）2)两平面平行（法向量平行）3)平面外一点到平面的距离公式例3例7通过例题示范，怎样求平面的一般方程叙述定义启发推导两向量夹角余弦公式启发分析得到结论示范用公式求两平面的位置关系证明平面外一点到平面的距离公式大约30分钟大约30分钟小结1.平面的方程三种常用表示法点法式方程，一般方程，截距式方程2.两平面的夹角以及点到平面的距离公式简要叙述约7分钟作业教材P72P42习题8- 53、612高等数学课程教案 （6）课题第八章空间解析几何与向量代数第六节空间直线及其方程教学准备熟悉教案及讲稿教学目标让学生掌握直线方程的求法，及直线与直线、直线与平面的夹角的计算教学重点1直线方程2直线与平面的综合题教学难点直线与平面的综合题教学方式研讨式教学内容（板书）演示与推导时间导入 1、复习空间曲线的一般方程 2、复习平面的一般方程口述约5分钟讲授新课 一、空间直线的一般方程空间直线可以看成是两个平面的交线故其一般方程为?0022221111D zC yB xAD zC yBxA 二、空间直线的对称式方程与参数方程 1、方向向量,p n m?s 2、对称式方程（或称为点向式方程）pz znyymx x000? 3、参数方程?pt z znt yymt x x000三种形式可以互换，按具体要求写相应的方程例1例2 三、两直线的夹角 1、两直线的方向向量的夹角（通常指锐角）叫做两直线的夹角 2、两直线的夹角的计算公式222222212121212121cosp nm p n mp p n nm m?两直线1L和2L垂直0212121?ppnnmm由空间曲线的一般方程启发导出空间直线的一般方程由平面的点法式方程，启发学生仿此导出空间直线的对称式方程口述用例题说明直线方程的求法及三种形式的互换与空间两平面的夹角对照，启发学生仿此导出约3分钟约42分钟约25分钟13讲授新课两直线1L和2L平行212121ppnnmm?）例3例4 四、直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时，直线与它在平面上的投影直线的夹角)20(?称为直线与平面的夹角，当直线与平面垂直时，规定直线与平面的夹角为2?设直线L的方向向量为,pnm?s，平面的法线向量为,CBA?n，直线与平面的夹角为?，那么222222sinp nm CB ACp Bn Am?直线与平面垂直s/n相当于pCnBmA?直线与平面平行s?n相当于0?CpBnAm平面束方程过平面直线?0101z y xz y x的平面束方程为0)()(22221111?D zC yBxA DzCyBxA?例5讲解、分析例子口述，直观画图，启发学生导出公式通过例子讲解公式的运用大约20分钟小结空间直线的一般方程，空间直线的对称式方程与参数方程，两直线的夹角（注意两直线的位置关系），直线与平面的夹角（注意直线与平面的位置关系）约5分钟作业教材P49习题8- 61、414高等数学课程教案 （7）课题第八章空间解析几何与向量代数第八章小结与习题课教学准备熟悉教案及讲稿教学目标复习本章内容，讲解典型例题，让学生进一步掌握本章重要知识教学重点1向量代数及空间解析几何的基本概念2典型的综合题教学难点直线与平面的综合题教学方式研讨式教学内容（板书）演示与推导时间导入讲授新课 一、向量的代数（一）向量的概念向量、向量的表示方法、向量相等ba?、向量的模、向量的夹角、向量平行、向量垂直、向量共线与共面（二）向量的线性运算1.向量的加减法2向量与数的乘法a? 3、向量的坐标表示法 4、利用坐标作向量的线性运算 5、向量模长的坐标表示式 6、向量方向余弦的坐标表示式（二）数量积（三）向量积 二、空间解析几何（二）曲面方程的概念1.曲面方程的定义2.研究空间曲面的两个基本问题 （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程 （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状3.旋转曲面 4、柱面5.二次曲面（三）空间曲线提问式复习提问式复习大约30分钟15讲授新课（四）平面1.平面的点法式方程2.平面的一般方程3.几个平面图形特点4平面的截距式方程5两平面的夹角6.几个常用的结论1)两平面垂直2)两平面平行3)平面外一点到平面的距离公式（五）空间直线1.空间直线的一般方程2.空间直线的对称式方程参数方程3.两直线的夹角4.直线与平面的夹角 二、典型例题例1试用向量证明三角形两边中点的连线平行于第三边。 （P50第5题）证明略例2设baba?，8,5,3?a，,1,1z b?，求z。 （P50第6题）解略，1?z。 例3求通过点A（3，0，0）和B（0，0，1）且与xoy面成3?角的平面方程。 （P51第15题）解略例4已知点A（1，0，0）及点B（0，2，1），试在z轴上求一点C，使ABC?的面积最小。 解略，51?z。 （P51第18题）分析、启发、讲解分析由已知条件建立关于z的方程，从而求之。 分析由A、B二点坐标的特点，设所求平面的方程为截距式方程分析先设点C（0，0，z），可用向量的向量积确定ABC?的面积，从而可得关于z的函数，再用导数知识确定使ABC?的面积最小的z。 大约30分钟约30分钟小结作业课后自已将本章知识梳理一下。 16高等数学课程教案 （8）课题第九章多元函数微分法及其应用第一节多元函数的基本概念教学准备熟悉教案及讲稿教学目标掌握平面点集的一系列概念，理解多元函数极限，了解连续的概念以及闭区域上连续函数的性质等。 教学重点邻域、多元函数极限、连续等概念。 教学难点多元函数极限的概念教学方式研讨式教学内容（板书）演示与推导时间导入回顾一元函数概念及所学过的一些函数性质；一元函数极限与连续的概念及性质。 很多实际问题有多个变量与一个变量的依赖关系，即多元函数。 约10分钟讲授新课 一、区域 1、邻域),(0?P U?|0PP P?.)()(|),(2020?yy x x y x 2、区域相关概念内点、边界、有界点集、无界点集、连通性。 连通的的开集称为区域或开区域开区域连同它的边界一起称为闭区域 3、n维空间设n为取定的一个自然数，称n元数组),(21nx x x?的全体为n维空间，记为nR。 二、多元函数概念定义1),(y x f z?（或)(P f z?）.例1求222)3arcsin(),(y xy xy x f?的定义域二元函数)y,x(f z?的图形 1、),(0?P U可简记为)(0P U2。 、点0P的去心邻域记为)(00P U，)(00P U?|00PP P?.)()(0|),(2020?yy x x y x例如0|),(?y x y x为开无界区域。 .41|),(22?y x y x为有界闭区域。 前述的邻域、区域等相关概念可推广到n维空间nR。 由定义1类似地可定义三元及三元以上函数；当2?n时，n元函数统称为多元函数；多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念大约20分钟大约20分钟17讲授新课点集),(),(|),(D y x y x f z z y x?。 三、多元函数的极限定义2A y x fy yx x?),(lim00（或A P fP P?)(lim0）例2（P58例4）例3（P59例5） 四、多元函数的连续性定义3)()(lim00P fP fP P?例4讨论函数?0,00,),(222222y xy xy xxyy x f在(0,0)处的连续性 五、闭区域上连续函数的性质1最值性2介值性3一致连续性 六、多元初等函数连续性 1、多元初等函数由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数2多元初等函数连续性一切多元初等函数在其定义区域内是连续的例5（P62例8）如线性函数c byax z?的图形为一平面。 注意定义中0PP?的方式是任意的；定义中的极限也叫二重极限；二元函数的极限运算法则与一元函数类似。 若二元函数)(P f在区域D内的每一点连续，则称函数)(P f在区域D内连续；如果)(P f在点0P处不连续，则称0P是函数)(P f的间断点.求)(lim0P fPP?时，如果)(P f是初等函数，且0P是)(P f定义域的内点，则)(P f在点0P处连续，于是).()(lim00PfP fPP?定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域大约20分钟大约20分钟小结多元函数的定义；多元函数极限的概念（注意趋近方式的任意性）；多元函数连续的概念；闭区域上连续函数的性质约10分钟作业教材P62习题9-12，5 (1) （2） (5)18高等数学课程教案 （9）课题第九章多元函数微分法及其应用第二节偏导数教学准备熟悉教案及讲稿教学目标掌握偏导数的定义、偏导数存在与连续的关系、偏导数的几何意义以及高阶偏导数及其计算方法等。 教学重点偏导数的定义及其计算方法教学难点高阶偏导数的计算教学方式研讨式教学内容（板书）演示与推导时间导入一元函数的微分法及其计算。 回顾一元函数的微分法及其计算。 约10分钟讲授新课 一、偏导数的定义及其计算方法 1、定义00y yxxxz?=xy x f y xx fx?),(),(lim0000000yyxxyz?=yy x f yy x fy?),(),(lim00000例1（P65）例2（P65）例3（P65）例4（P65） 4、偏导数的几何意义（图见P66）. 3、偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导，函数在该点一定连续，但多元函数中在某点偏导数存在，函数未必连续例如（P67例） 二、高阶偏导数偏导函数),(y x f x?，),(y xf y?的偏导数是),(y xf z?的二阶偏导数定义二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.强调偏导数的各种记号的书写偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数xu?是一个整体记号，不能拆分二阶偏导数有下面四个),(22y xfxzxzxxx?),(22y x fyzyzyyy?纯偏导大约25分钟大约15分钟19讲授新课例5（P67）问题混合偏导数都相等吗？问题具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？定理如果函数),(y xf z?的两个二阶混合偏导数x yz?2及y xz?2在区域D内连续，则在区域D内有x yz?2=y xz?2例6（P67）验证函数22ln),(y x y x u?满足拉普拉斯方程.02222?yuxu例7（P68）证明函数ru1?满足方程0222222?zuyuxu，其中222z y x r?。 ),(2y xfy xzxzyxy?),(2y xfx yzyzxyx?混合偏导。 设?)0,0(), (0)0,0(),(),(223y xy xy xy xy xf由定义可计算0=)0,0()0,0(yx xyff?=1例 6、例7中的两个方程都叫做拉普拉斯方程，它们是数学物理方程中一种重要的方程。 大约20分钟大约20分钟小结偏导数的定义（偏增量比的极限）；偏导数的计算、偏导数的几何意义；高阶偏导数纯偏导，混合偏导及其混合偏导相等的条件约10分钟作业教材P69习题9-21 (1) (3) (7)，3，820高等数学课程教案 （10）课题第九章多元函数微分法及其应用第三节全微分第四节多元复合函数的求导法则教学准备熟悉教案及讲稿教学目标通过教学使学生理解全微分的概念；掌握全微分应用；掌握多元复合函数的求导法则及其应用。 教学重点全微分的概念及多元复合函数的求导法则的应用教学难点多元复合函数的求导法则的应用教学方式研讨式教学内容（板书）演示与推导时间导入回顾一元函数微分的概念及表示法。 约10分钟讲授新课第三节全微分及其应用 一、全微分的定义定义1（P70全增量的概念）定义2（P70全微分的概念）定义3连续与可微的关系 二、可微的条件定理1（必要条件）定理2（充分条件）习惯上，记全微分为.dyyzdxxzdz?例1（P25）例2（P25）例3（P25）多元函数连续、偏导数存在、可微的关系偏导数连续的函数一定可微；可微一定存在偏导数；可微一定连续；其它则未必第四节多元复合函数的求导法则 一、求导法则定理1dtdvvzdtduuzdtdz?定理2xvvzxuuzxz?，函数若在某区域D内各点处处可微分，则称这函数在D内可微分.如果函数),(y xf z?在点),(y x可微分,则函数在该点连续.（P71）由此定理1及P71例可知，偏导数存在是可微的必要条件，而不是充分条件即可微则偏导数存在，但偏导数存在未必可微虽然偏导数存在并不能保证全微分存在，但偏导数存在且连续由一定能保证全微分存在。 习惯上，记全微分为dyyzdxxzdz?通常把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理叠加原理也适用于二元以上函数的情况。 说明大约20分钟大约20分钟大约20分钟21讲授新课yvvzyuuzyz?.特殊地:),(y xu f z?，其中),(y xu?,即,),(y x y xf z?则,xfxuufxz?.yfyuufyz?例1（P79）例2（P79例3）例3设)xyz,z y x(f w?，f具有二阶连续偏导数，求xw?和z xw?2. 二、全微分形式不变性设函数),(v u f z?具有连续偏导数，则有全微分dvvzduuzdz?;当),(y xu?、),(y xv?时，有dyyzdxxzdz?.全微分形式不变形的实质无论z是自变量v,u的函数或中间变量v,u的函数，它的全微分形式是一样的.例4已知02?z xzez e，求xz?和yz?.1)上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.2)以上公式中的导数dtdz称为全导数.3)上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况。 注意xz?把复合函数,),(y x y xf z?中的y看作不变而对x的偏导数；而xf?把),(y xuf z?中的u及y看作不变而对x的偏导数；yz?和yf?的区别与上面相同大约10分钟大约10分钟小结1多元函数全微分的概念；2多元函数全微分的求法；3多元函数连续、偏导数存在、可微的关系；4全微分形式不变性。 约10分钟作业教材P75习题9-31 （1） （2），2，4；教材P82习题9-42，5，11。 22高等数学课程教案 （11）课题第九章多元函数微分法及其应用第五节隐函数的求导公式教学准备熟悉教案及讲稿教学目标了解隐函数求导公式的推导；掌握隐函数求导公式的应用教学重点隐函数求导公式的应用教学难点隐函数求导公式的应用教学方式研讨式教学内容（板书）演示与推导时间导入约10分钟讲授新课 一、一个方程的情形01?)y,x(F.隐函数存在定理1yxFFdxdy?.例1（P84）例2已知xyy xarctan ln22?，求dxdy.02?)z,y,x(F.隐函数存在定理2zxFFxz?，zyFFyz?.例3（P85例2）例4设),(xyz z y xfz?，求xz?，yx?，zy?.若),(y xF的二阶偏导数存在且连续，则可得二阶导数。 二法求解。 思路把z看成y x,的函数对x求偏导数得xz?，把z看成y x,的函数对x求偏导数得xz?，把y看成zx,的函数对z求偏导数得zy?.大约15分钟大约30分钟23讲授新课 二、方程组的情形?00)v,u,y,x(G)v,u,y,x(F隐函数存在定理3,G GFFG GFF)v,x()G,F(J xuv uv uvxv x?1vuvux uxuG GFFG GFF)x,u()G,F(J xv?1,G GFFG GFF)v,y()G,F(J yuv uvuvyv y?1.G GFFG GFF)y,u()G,F(J yvvuv uy uyu?1例5设0?yv xu，1?xv yu，求xu?，yu?，xv?和yv?.解1直接代入公式；解2运用公式推导的方法。 例6（P88例4）提醒学生注意各函数得列式的特点。 大约20分钟大约15分钟小结隐函数的求导法则（分以下几种情况）01?)y,x(F.；02?)z,y,x(F.；3?00)v,u,y,x(G)v,u,y,x(F约10分钟作业教材P89习题9-52，4，10 （2）。 24高等数学课程教案 （12）课题第九章多元函数微分法及其应用第六节多元函数微分学的几何上应用教学准备熟悉教案及讲稿教学目标掌握微分法在几何上的应用教学重点微分法在几何上的应用教学难点微分法在几何上的应用教学方式研讨式教学内容（板书）演示与推导时间导入口述一元函数的导数在几何上有应用，同样多元函数微分学在几何上也有应用。 约10分钟讲授新课 一、一元向量值函数及其导数定义1（一元向量值函数）（P90）定义2（一元向量值函数的极限）（P91）定义3（一元向量值函数的连续）（P91）定义4（一元向量值函数的导数）（P91）向量值函数的求导法则（P92） （1） （7）例1（P93例3） 二、空间曲线的切线与法平面空间曲线?的方程)1()()()(?t zt yt x?则切线方程.)()()(00000/0tz ztyytx x?法平面方程0)()()(000000?z ztyy txxt?例2（P94例4）例3（P96例5）解1直接利用公式；解2方程两边对x求导 三、曲面的切平面与法线由定义 1、定义 2、定义3可知，一元向量值函数、极限、连续性和可导性是普通一元函数、极限、连续性和可导性的推广。 特殊地 （1）空间曲线方程为,)()(?x zx y?则切线方程为)()(100000xz zxyy xx?，法平面方程为0)()()(00000?zzx yy xxx? （2）空间曲线方程为,0), (0),(?z y x Gzy xF则切线方程为My xyxMx zxzMz yz yG GFFz zGGF FyyG GFFx x000?大约20分钟大约20分钟大约25讲授新课设曲面方程为0),(?zyxF，则过点M的切平面方程为)(,(0000xxzyxFx?+0)(,()(,(00000000?zzzyxFyyzyx Fzy过点M的法线方程为),(),(),(000000000000zyx Fzzz yx Fyyz yx Fxxz yx?特殊地曲面的方程为),(yxfz?，则曲面在处的切平面方程为0)()(,()(,(0000000?zzyyyxf xxyxfyx曲面在M处的法线方程为1),(),(0000000?z zyxfyyy xfx xyx全微分的几何意义（P99）法向量的方向余弦若用?、?、?表曲面的法向量的方向角，并假设法向量的方向是向上的，即它与z轴的正向所成的角?是一锐角，则法向量的的方向余弦为221cosy xxfff?，221cosy xyfff?，2211cosy xff?例4（P99）例5（P99）法平面方程为)(0x xGGF FMzyzy?+0)()(00?z zGGF FyyG GFFMy xyxMx zxz20分钟大约20分钟小结1一元向量值函数、连续性以及导数的概念；2空间曲线的切线与法平面；3曲面的切平面与法线。 约10分钟作业教材P100习题9-63，4，6。 26高等数学课程教案 （13）课题第九章多元函数微分法及其应用第七节方向导数与梯度第八节多元函数的极值及其求法教学准备熟悉教案及讲稿教学目标掌握方向导数与梯度的概念及其计算，了解多元函数的极值的概念，掌握多元函数的极值的求法。 教学重点多元函数的极值的概念及其求法教学难点多元函数的极值的求法教学方式研讨式教学内容（板书）演示与推导时间导入口述我们知道，偏导数反映的是函数沿坐标轴方向的变化率，但有时我们还需讨论函数沿任一指定的变化率。 约10分钟讲授新课第七节方向导数与梯度 一、方向导数定义.),(),(lim0?yxf yyxx flf?定理（方向导数与偏导数的关系）（P102）例1（P102）例2（P103） 二、梯度与方向导数有关联的一个概念是函数的梯度定义?),(yx gradf jyfixf?.结论函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值等高线梯度与等高线的关系例3（P106）例4（P107例5）函数),(yxf在一点P沿某一方向的变化率问题方向导数可推广到三元函数上。 问题函数在点P沿哪一方向增加的速度最快？22|),(|?yfxfy xgradf推广.),(kzfjyfixfz yxgradf?大约20分钟大约20分钟27讲授新课第八节多元函数的极值及其求法 一、多元函数的极值和最值1二元函数极值的定义例1（P109）例2（P109）2多元函数取得极值的条件定理1（必要条件）仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.注意极值点为驻点；驻点不一定是极值点定理2（充分条件）例3（P111例4） 3、多元函数的最值与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.求最值的一般方法将函数在内的所有驻点处的函数值及在的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.例4（P112例5） 二、条件极值、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法（P115）要找函数),(yxfz?在附加条件0),(?yx?下的可能极值点例5将正数12分成三个正数zyx,之和使得zyxu23?为最大.例6在第一卦限内作椭球面1222222?czbyax的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标.该定理可推广。 问题如何判定一个驻点是否为极值点？由此定理归纳出求函数),(yxfz?极值的一般步骤（三步）无条件极值对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.条件极值对自变量有附加条件的极值拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况大约20分钟大约20分钟小结方向导数的概念、梯度的概念，方向导数与梯度的关系梯度的方向就是函数),(yxf在这点增长最快的方向。 多元函数的极值（取得极值的必要条件、充分条件）；多元函数的最值；拉格朗日乘数法。 约10分钟作业教材P108习题9-71，5，8；教材P118习题9-82，6。 28高等数学课程教案 （14）课题第十章重积分第一节二重积分的概念与性质教学准备熟悉教案及讲稿教学目标理解二重积分的概念，了解二重积分的性质教学重点二重积分的概念及性质教学难点二重积分的概念教学方式研讨式教学内容（板书）演示与推导时间导入回顾定积分的概念及性质口述定积分的定义，口述定积分的四类性质。 约10分钟讲授新课 一、二重积分的概念1实例 （1）曲顶柱体的体积（四个步骤） （2）平面薄片的质量（四个步骤）2二重积分的定义（四个步骤）?nii iiDf d yxf10,lim,?=?dxdy yx fD?, 二、二重