二项式定理 教案

二项式定理 教案 二项式定理【教学目标】使学生掌握二项式定理及其证明(数学归纳法)，培养学生发现和揭示事物内在客观规律能力和逻辑推理能力。 通过介绍“杨辉三角”，对学生进行爱国主义教育。 【教学重、难点】重点二项式定理的推导及证明难点二项式定理的证明【教学过程】 (一)新课引入(提问)若今天是星期一，再过810天后的那一天是星期几？在初中，我们已经学过了(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)3(a+b)2(a+b)a3+3a2b+3ab2+b3(提问)对于(a+b)4，(a+b)5如何展开?(利用多项式乘法)(再提问)(a+b)100又怎么办？(a+b)n(nN+)呢？我们知道，事物之间或多或少存在着规律。 这节课，我们就来研究(a+b)n的二项展开式的规律性 (二)新课(如何着手研究它的规律呢)？采用从特殊到一般（不完全归纳）的方法。 规律(a+b)1=a+b(a+b)2=(a+b)(a+b)=aa+ab+ba+bb=a2+2ab+b2(a+b)3=(a+b)2(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)4=(a+b)3(a+b)=(a3+3a2b+3ab2+b3)(a+b)=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4根据以上的归纳，可以想到(a+b)n的展开式的各项是齐次的，它们分别为a n,a n-1b,a n-2b2,，b n,展开式中各项系数的规律，可以列表(a+b)111(a+b)2121(a+b)31331(a+b)414641(a+b)515101051（这表是我国宋代杨辉于1261年首次发现的，称为杨辉三角，比欧洲至少早了三百年。 ）如何从组合知识得到(a+b)4展开式中各项的系数(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b) (1)若每个括号都不取b，只有一种取法得到2a4即C40种1C4 (2)若只有一个括号取b，共有种取法得到a3b (3)若只有两个括号取b，共有C4种取法得到a2b23C (4)若只有三个括号取b，共有4种取法得到ab34C (5)若每个括号都取b，共有4种取法得b401C C11012C C C22xx3C C C C333301342C C C C C44444012345CCCCCC555555(a+b)n=C n0a n+C na n-1b+C na n-r br+C n1r nbn(nN+)（三）、指出这个公式叫做二项式定理（板书），它的特点不得随意变更展开式中各项的顺序；二项展开式共有n1项；系数依次为rC；其中n(r0，1，2，n)称为二项式系数rC说明二项式系数n与展开中某一项系数是有区别的。 例如(12x)6展开式22CC266中第3项中系数为260而第三项的二项式系数是15。 a的指数从n起依次减少1，直到0为止，而b的指数以0起依次增加1，直到n为止；a、b可以是数，也可以是式（单项式，多项式分式，根式等）我们既要做到能写出二项展开式，又要做到能逆用公式，同时还能使用它解决一些整除问题、二项展开式的通项公式二项展开式中的第r1项为.(r0，1，2，n).这里需注意此通项公式是对，则分别为；这个标准二项式而言的.若是.或利用二项展开式我们可求指定的一些特殊项（如常数项，有理项，整数项等）和一些项的系数、二项式系数等这里要特别注意区别项的系数与项的二项式系数的区别.例如的二项展开式的第r1项的系数与二项式系数分别为和. (四)、小结 （1）二项式定理(a+b)n=C n0a n+C na n-1b+C na n-r br+C n1r nbn是通过不完全归纳法，并结合组合的概念得到展开式的规律性，然后用数学归纳法加以证明。 （2）二项式定理的特点1项数2系数3指数 (五)、例题例 1、求的展开式.解析可以直接利用二项式定理展开再化简，也可以先化简再展开解方法1方法2例 2、已知求S的值.分析逆用公式.解而例 3、求证.能被7整除.，分析利用二项式定理将576，657展开，使其成为7的倍数.证明例 4、求7（8k+k），显然能被7整除.展开所得的x的多项式中，系数为有理数的项数是多少？分析利用通项公式讨论r的取值便可得结论.解设的展开式的通项为.要使系数为有理数，必须使.r必须既是2的倍数，又是3的倍数，即r6k，且06k100，k0，1，2，16.故展开式中系数为有理数的项数是17项.例 5、求x2的系数等于多少？分析可先求各（x-1）i的展开式中x2的系数，后利用组合数性质求和，也可先利用等比数列求和公式化简后再求和解法1展开式中x2的系数为的展开式中解法2所求x2的系数即为此式中x3的系数. 3、二项式系数的性质及“取特例”研究问题的数学方法 （1）对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. （2）增减性与最大值，如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项系数相等且最大. （3）二项展开式中的二项式系数和为2n，即 （4）二项展开式中奇数次与偶数项的二项式系数和相等，即.并 （5）“取特例”研究问题的数学方法是一个重要的方法，使用它对“任意”都成立的问题的探究与求解，在数学各章节中都有具体例子，它也是我们探究其它问题，寻找、发现解决问题的突破口的一种方法.例 6、若，则的值为（）A0B2C1D1分析令x1，x1可得进而求解问题.解令x1，有令x1，有.，和的值，例 7、的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系